MLTA_dlya_vsekh (1) / Электронные лекции 2013 / лекция 1

1

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

Бригаднов Игорь Альбертович

доктор физико-математических наук, профессор

2

Лекция 1

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Логика изучает формальные законы мышления. В

основе классической логики лежат логика высказываний (пропозициональная логика) и логика предикатов.

Определение 1.0. Высказывание это повествовательное предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным.

3

Предметом изучения логики являются только

значения истинности высказываний, для которых вводят буквенные обозначения A, B, C, ... . Для краткости вместо значения истинно пишут 1, а вместо значения ложно – 0.

Например, A="Земля вращается вокруг Солнца"=1 и

B ="3>5"=0.

Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

4

Высказывания могут быть простыми и составными.

Высказывания "Земля вращается вокруг Солнца" и "3>5" являются простыми. Составные высказывания образуются из простых с помощью связок естественного языка:

НЕ, И, ИЛИ, ЕСЛИ-ТО,

ТОГДА-И-ТОЛЬКО-ТОГДА.

5

Для буквенной записи сложных высказываний

используются символы логических операций:

ТОЛЬКО-ТОГДА

7

Конъюнкция AB истинна

тогда и только тогда, когда A

и B одновременно истинны,

а в остальных случаях

ложна. Конъюнкция

называется логическим

произведением.

8

Дизъюнкция A B ложна тогда и только тогда, когда A

и B одновременно ложны, а

в остальных случаях истинна. Дизъюнкция называется логической

суммой.

9

Импликация A B ложна тогда и только тогда, когда

A=1 и B=0. Варианты чтения импликации A B:

"Если A, то B"; "A влечёт B"; "A является достаточным условием для B'';

"В является необходимым условием для A".

10

Эквивалентность A B

истинна тогда и только тогда, когда значения A и B

совпадают. Вариант чтения: “A необходимо и достаточно для B”.

Cвойства: A 1=1, A&1=A, A 0=A, A&0=0