MLTA_dlya_vsekh (1) / Электронные лекции 2013 / лекция 5

21

5.4. Трудноразрешимые задачи

NP-полная задача П называется универсальной,

если к ней полиномиально сводится любая NP-полная задача. Выше была доказана принадлежность задачи выполнимости к.н.ф. к классу NP-полных задач.

22

Примеры NP-полных задач

Задача о полном подграфе. Граф называется

полным, если любые две его вершины соединены ребром. По заданному неориентированному графу G и

числу k требуется определить, имеется ли в G полный подграф с k вершинами.

23

Задача о вершинном покрытии. Некоторое подмножество V, содержащее k= V вершин,

образует вершинное покрытие мощности k графа G,

если для любого ребра найдется инцидентная ему вершина в подмножестве V.

По заданному графу G и числу k требуется определить, имеет ли G вершинное покрытие мощности k.

24

Задача о сложности ДНФ частичной булевой

функции. По частичной булевой функции f и числу k

необходимо установить, можно ли построить д.н.ф.

для f, содержащую не более k букв.

Трехмерное сочетание. Дано множество

M W X Y, где W,X,Y – непересекающиеся дискретные множества мощности q. Необходимо установить, что M

содержит трехмерное сочетание, т.е. подмножество

M M такое, что M =q и никакие два разных элемента M не имеют ни одной равной координаты.

25

Например, W={a,b,c}, X={d,e,f}, Y={j,h,i} и M = {(a,d,i), (a,e,i), (a,f,j), (b,e,i), (b,f,j), (c,e,h), (c,d,i)}. Данный пример имеет положительное решение: M ={(a,d,i), (b,f,j), (c,e,h)} M.

Доказано, что задача выполнимости к.н.ф сводится к задаче о полном подграфе, которая сводится к задаче о вершинном покрытии, а последняя - к задаче о сложности д.н.ф. частичной булевой функции.

26

5.5. NP-трудные задачи

Задача называется NP-трудной, если -

произвольная задача (т.е. не обязательно, что NP)

распознавания свойств, к которой сводится некоторая

NP-полная задача.

Точное решение NP-трудной (так же как и NP-

полной) задачи в общем случае может быть получено только за экспоненциальное время.

27

Поэтому решать ее переборным алгоритмом неэффективно при большом количестве вариантов перебора. Одним из подходов к решению NP-трудных задач является сокращение перебора по схеме ветвей и границ. Эта схема перебора позволяет опознать бесперспективные частичные решения, в

результате чего от дерева поиска на одном шаге отсекается целая ветвь.

28

Задача коммивояжера - одна из самых важных в теории графов. На ней испытывают все новые методы оптимизации дискретных задач.

Постановка задачи. Необходимо выйти из пункта 1,

посетить по одному разу все остальные n-1 пункта и вернуться обратно. Расстояния между всеми пунктами известны. В каком порядке следует обходить пункты,

чтобы замкнутый путь был кратчайшим?

В терминах теории графов: на взвешенном графе найти гамильтонов цикл минимальной длины.

29

Задача построения сингулярной СНФ.

Скобочной нормальной формой (СНФ) булевой функции f называется такое представление f в базисе

{&,\/, }, при котором операция инверсии применяется только к отдельным переменным.

СНФ называется сингулярной (или особенной) если никакие две подформулы, входящие в одну конъюнкцию, не содержат одинаковых переменных.

Доказано, что задача выполнимости КНФ сводится к построению для нее сингулярной СНФ.