сводится некоторая NP-полная задача. К NP-трудным могут относиться не только задачи распознавания свойств, но и другие переборные задачи.

Точное решение NP-трудной (так же как и NP-полной) задачи в общем случае может быть получено только за экспоненциальное время. Следовательно, решать ее переборным алгоритмом неэффективно при большом количестве вариантов перебора. Одним из подходов к решению NP-трудных задач является сокращение перебора по схеме ветвей и границ. Эта схема перебора позволяет опознать бесперспективные частичные решения, в результате чего от дерева поиска на одном шаге отсекается целая ветвь. Однако в общем случае схема ветвей и границ не выводит рассматриваемые задачи из класса NP-трудных.

Приведем примеры NP-трудных задач: задача коммивояжера и задача построения сингулярной скобочной формы.

Задача коммивояжера. Эта задача, поставленная еще в 1934 г., является одной из самых важнейших задач в теории графов. В области оптимизации дискретных задач задача коммивояжера служит своеобразным полигоном, на котором испытываются все новые методы.

Постановка задачи. Коммивояжер (бродячий торговец) должен выйти из первого города, посетить по разу в неизвестном порядке города 2, 3, …, n и вернуться в первый город. Расстояния между всеми городами известны. В каком порядке следует обходить города, чтобы замкнутый путь коммивояжера был кратчайшим? В терминах теории графов: найти гамильтонов цикл в графе минимальной длины.

Вопросы для самопроверки по теме 7.4

1.Дайте определение NP-трудных задач.

2.Приведите пример NP-трудной задачи.

81

Заключение

Перспективы развития математической логики и теории алгоритмов тесно связаны с распространением информационных технологий и производств для выпуска информационно-емкой продукции. Это прежде всего развитие методов математической логики для решения задач спецификации и верификации программно-аппаратных средств, создания систем искусственного интеллекта и Семантической Web (англ. Semantic Web − Семантическая паутина).

Внастоящее время развиваются два основных направления в программировании: императивное и декларативное. Императивное программирование − это подход к программированию, который, в отличие от декларативного программирования, включающего функциональное и логическое, описывает процесс вычисления в виде команд (инструкций), изменяющих состояние поля памяти программы.

Концепция Семантической Web − это часть глобальной концепции развития сети Интернет, целью которой является реализация возможности машинной обработки информации, доступной во Всемирной паутине. Основной акцент концепции делается на работе с метаданными, однозначно характеризующими свойства и содержание ресурсов Всемирной паутины. Ресурсы предназначены для восприятия человеком, тогда как метаданные используются машинами (интеллектуальными агентами) для проведения однозначных логических заключений о свойствах этих ресурсов. Для внедрения концепции предполагается создание сети документов, содержащих метаданные о ресурсах Всемирной паутины, существующей параллельно с ними.

3.3.Учебное пособие

Вкачестве учебного пособия рекомендуется использовать работы [1] и [3] основного списка.

82

3.4. Глоссарий

(краткий словарь основных терминов и положений)

А

Адекватная Интерпретация называется адекватной, если она

интерпретация правильная и каждому истинному утверждению содержательной теории ставится в соответствие теорема формальной теории.

Аксиоматическая Аксиоматический (дедуктивный) подход − это подход от теория общего к частному. Аксиоматическая теория строго задана, если строго сформулирован (задан) язык теории, ее

аксиомы и правила вывода.

83

Д

84

Исчисление Это формальная теория, в которой осуществляется

высказывания попытка формализации понятий логического закона и логического следования.

85

перемещается по ленте и способна считывать символ в ячейке, против которой она находится, а также замещать обозреваемый символ новым.

Н

Недетерминированное Идеальная модель вычисления, в которой для решения

вычисление переборных задач любое число параллельных ветвей алгоритма может выполняться одновременно. Такая модель имитирует распараллеливание исполнения программы на многопроцессорной вычислительной машине с неограниченным количеством процессоров.

Недетерминированная Композиция двух машин, одна из которых угадывает

машина Тьюринга ответ, а другая − проверяет его правильность за время, ограниченное полиномом.

M , принадлежащих первому или второму подмножеству.

86

Отрицание предиката Отрицанием предиката А называется новый n -местный

предикат А , множество истинности которого является дополнением множества истинности предиката А.

П

Переборная задача Формулируется как задача о существовании объекта, для

распознавания Π которого выполняется заданное свойство, наличие которого проверяет полиномиальная машина Тьюринга.

сводимость языков и отображающей цепочки одного языка в цепочки другого.

задач распознавания

87

Правило резолюции Правило вывода в исчислении высказываний и

исчислении предикатов. Например, правило вывода, которое позволяет из двух предложений A ↔ B и B ↔ C вывести третье A ↔ C .

Правильная Интерпретация называется правильной, если каждой

интерпретация теореме формальной теории ставится в соответствие истинное утверждение содержательной теории.

Р

Равносильность Два сложных высказывания являются равносильными,

если они имеют одинаковые таблицы истинности. Две формулы логики высказываний Ф1 (P1 , P2 , ..., PN ) и

Ф2 (P1 , P2 , ..., PN ) являются равносильными, если они принимают одинаковое значение для любых значений

P1 , P2 , ..., PN .

Разрешимость Аксиоматическая теория разрешима, если для любой

аксиоматической правильно построенной формулы (ППФ) Ф существует теории процедура (алгоритм), которая за конечное число шагов

позволяет определить, является ли Ф теоремой теории

y X или y X .

88

89

выполнимый, и ложным - в противном случае.

90

4. Блок контроля освоения дисциплины

4.1.Задания на контрольные работы

иетодические указания к их выполнению

По дисциплине “Математическая логика и теория алгоритмов” студенты выполняют две контрольных работы. Текст заданий на контрольные работы 1 и 2 генерируется с помощью программы MLTA2007. В качестве номера варианта студент использует не менее четырех последних цифр своего шифра, либо весь шифр (программа MLTA2007 допускает ввод шифра вместе с разделителем “- ”). Для этого программа MLTA2007.exe переводится в режим ЗАДАНИЕ. Например, вариант #1 задания выглядит, как показано на рис.4.1. Контрольная работа 1 содержит задания 1, 2 и 3, а контрольная работа 2 – задания 4, 5 и 6 (на рис. 4.1 номера заданий указаны римскими цифрами).

В тексте задания используются следующие обозначения логических связок: “->” для импликации, “~” для эквивалентности, “\/” для дизъюнкции и знак минус “-“ для отрицания. Для обозначения кванторов всеобщности и существования используются символы “A” и “E” соответственно.

4.1.1. Методические указания к выполнению контрольной работы 1

Контрольная работа 1 состоит из трех заданий: 1, 2 и 3.

Задание 1 включает 12 задач на упрощение формул исчисления высказываний, в которых требуется получить формулу, равносильную исходной, но содержащую, по возможности, меньшее число пропозициональных букв и символов логических операций.

Например, задана формула, которую необходимо упростить:

(X1 X2 X3) & (X1 X2 X3) & (X1 X3) & ( X2 X3 X4) & & ( X1 X2 X3) & ( X1 X3 X4) & ( X1 X2).

91

Кафедра компьютерных технологий и ПО, СЗТУ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ - Вариант #1: MLTA2007 Студент - Ф.и.о.: Шифр:

Задание на контрольную работу 1

I.Упростить формулы исчисления высказываний:

1)((-q&-s) ~ -s) ~ (-s -> -q)

2)((-v&-q) -> -r) ~ (-v -> (-q -> -r))

3)((q&-s) -> -p) ~ (-q -> (-s -> -p))

4)((-v -> -q)&(-v -> -r)) -> (-v -> (-q&-r))

5)(-s\/q)(-p\/q\/r)(p\/-q)(-p\/-q\/-s)(-r\/s\/-q)(q\/s\/p)(s\/-r\/-p)

6)-((v&-q)&(-v\/-r))

7)(-q\/-p\/s)(-p\/q\/r)(-s\/q)(p\/q\/s)(p\/-q)(s\/-p\/-r)(-q\/-p\/-s)

8)(-v -> (-q -> -r)) -> ((-v -> -q) -> (-v -> -r))

9)(q\/r\/-p)(s\/q\/p)(s\/r\/-q)(-r\/s\/-p)(-s\/q)(-q\/p)(-q\/-p\/-s)

10)(-v -> -q) -> ((-r -> -q) -> ((-v&-r) -> -q))

11)(-q\/-p\/s)(q\/-s)(-s\/-p\/-q)(r\/q\/-p)(p\/-q)(q\/s\/-r)(s\/-r\/-p)

12)((-v -> -q)\/(-v -> -t)) -> (-v -> (-q\/-r))

II.Даны высказывания:

1)ЧТОБЫ N ДЕЛИЛОСЬ НА 10 ДОСТАТОЧНО,ЧТОБЫ N ДЕЛИЛОСЬ НА 5.

2)N НЕ ДЕЛИТСЯ НА 5 TOЛЬKO TOГДА, KOГДA N НЕ ДЕЛИТСЯ НА 10.

3)TO,ЧTO N ДЕЛИТСЯ НА 5 ЕСТЬ НЕОБХ.УСЛОВИЕ ТОГО,ЧТОБЫ N ДЕЛИЛОСЬ НА 10.

4)N ДЕЛИТСЯ НА 5 ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА,КОГДА N ДЕЛИТСЯ НА 10.

5)TO,ЧTO N НЕ ДЕЛИТСЯ НА 5 ВЛЕЧЕТ TO, ЧTO N НЕ ДЕЛИТСЯ НА 10.

Какие из них следуют из высказывания

6) TO,ЧTO N ДЕЛИТСЯ НА 10 ВЛЕЧЕТ TO, ЧTO N ДЕЛИТСЯ НА 5. III. Дано универсальное множество = {j,i,k,h,b,g,a,f,c,e,d} и два подмножества I={k,f,b,a,g,h} и F={c,a,f,d,e,g};

два предиката B(x)=" x принадлежит I" и A(x)=" x принадлежит F". Найдите область истинности предикатов:

P1(x)=B(x)\/A(x); P2(x)=B(x)~A(x); P3(x)=B(x)&A(x); P4(x)=B(x)->A(x)

Задание на контрольную работу 2

IV. Найдите значения истинности формул, если B(x) и A(x) имеют интерпретацию из задачи III:

1)(Av)(-B(v) -> A(v)) ~ (-Ev)(-B(v)&-A(v))

2)(-Ay)(B(y) -> -A(y)) ~ (-Ey)(B(y)&A(y))

3)(Aq)(-B(q) -> -A(q)) ~ (-Eq)(-B(q)&A(q))

4)(-At)(B(t) -> A(t)) ~ (-Et)(B(t)&-A(t))

5)(-Aw)(-B(w) -> -A(w)) ~ (Ew)(-B(w)&-A(w))

6)(-Az)(B(z) -> A(z)) ~ (-Ez)(-B(z)&A(z))

7)(Ar)(-B(r) -> -A(r)) ~ (Er)(-B(r)&A(r))

8)(Au)(B(u) -> -A(u)) ~ (-Eu)(-B(u)&A(u))

V. Определите функцию последовательности 3 присваиваний:

Q:= -R-3*P; R:= Q+3*P; P:= 2*Q-2*R

VI.Определите функцию последовательности 2 усл.операторов:

IF Q<2 THEN Q:=2*Q-P ELSE IF P<-2 THEN P:=-2*Q+P;

IF P<-5 THEN P:=-Q-3*P ELSE Q:=Q+3*P;

Преподаватель: Дата:

Рис. 4.1

В исходной или промежуточной формуле отмечаем подформулы, к которым применяется преобразование, номером равносильности, который используется

92

для упрощения формулы. Для этого студент должен выписать те равносильности, которые он использует, перенумеровать их и ссылаться на эту нумерацию при их использовании в контрольной работе.

Кподформулам (X1 X3) и (X1 X3) снова применим равносильность (4.1)

иполучаем еще более простую формулу, равносильную исходной:

Для рассматриваемой формулы запись всех упрощений может иметь, например, следующий вид:

(X1 X2 X3)1 & (X1 X2 X3)1 & (X1 X3) & ( X2 X3 X4) & ( X1X2 X3) & ( X1 X3 X4) & ( X1 X2) =

(X1 X3)1 & (X1 X3)1 & ( X2 X3 X4) & ( X1 X2 X3) & ( X1 X3 X4) & ( X1 X2) =

X12 & ( X2 X3 X4) & ( X1 X2 X3)2 & ( X1 X3 X4)2 & ( X1 X2)2 =

X1 & ( X2 X3 X4)2 & ( X2 X3)2 & (X3 X4) & X22 =

93

X1 & (X3 X4)2 & ( X3)2 & (X3 X4)2 & X2 =

X1 & X43 & X3 & X43 & X2 = (X1 & 0 & X3 & X2)4 = 0.

Если в формуле используются операции импликации и эквивалентности, то, как правило, их следует преобразовать с помощью соответствующих равносильностей. Например:

((X1 → X2)5 (X1 → X4))5 → (X1 → (X2 X3))5 = ( X16 X2 X16 X4) → ( X1 X2 X3) = (( X1 X2 X4) →( X1 X2 X3))5 =

( ( X1 X2 X4))7 X1 X2 X3 =

( X18 & (X2 X4)7) X1 X2 X3 =

Из этого примера видно, что некоторые правила можно применить независимо к отдельным формулам.

В задании 2 необходимо выяснить, является ли одно составное высказывание логическим следствием другого. Возьмем высказывание: "Pавные треугольники подобны". Это высказывание можно записать символически Ф1 = A → B, где A = "Треугольники равны", B = "Треугольники подобны".

Рассмотрим высказывание: Треугольники подобны только в случае их равенства", которое можно записать символически как Ф2 = B → A, где A и B определены выше. Является ли Ф2 логическим следствием Ф1? Рассмотрим

94

импликацию Ф3 = (A → B) → (B → A) и, чтобы проверить, является ли она

Таким образом, Ф3 не является тавтологией и, следовательно, нельзя

подмножества L={b,c,d} и K={d,e,f}, а также два предиката P(x) и Q(x), причем {x: P(x)}=L и {x: Q(x)}=K, т.е. L и K являются множествами истинности предикатов P(x) и Q(x) соответственно.

Требуется найти множество истинности предика E(x) = P(x) ↔ Q(x). Для решения используем определение эквивалентности предикатов

{x E(x)} = (¬L ∩ K) (L ∩ ¬K) = ({a,b,e,f} ∩ {d,e,f}) ({b,c,d} ∩ {a,b,c}) = {e,f} {b,c} = {e,f,b,c}.

4.1.2. Методические указания к выполнению контрольной работы 2

Контрольная работа 2 состоит из трех заданий: 4, 5 и 6.

В задании 4 необходимо установить, какие формулы являются общезначимыми, какие формулы являются противоречивыми, т.е. являются отрицанием общезначимых, а для остальных формул установить их логическое значение для заданной интерпретации.

Пусть задана формула x ( P(x) → Q(x)) ↔ x ( P(x) & Q(x)). Можно попытаться установить общезначимость данной формулы (тем более что, для

95

одноместных предикатов это алгоритмически разрешимая задача). Для этого левую часть заданной эквивалентности заменим равноcильной формулойx (P(x) Q(x)) на основе (4.5), а правую часть – формулой x ( P(x) & Q(x)) на основе x T(x) x T(x). Далее, с учетом эквивалентности

(P1 & P2) P1 P2

правая часть примет вид x (P(x) Q(x)), т.е. исходная формула преобразована к виду x (P(x) Q(x)) ↔ x (P(x) Q(x)), где левая часть равна правой.

интерпретация P(x) и Q(x) берется из задачи 3. Левую часть этой формулы можно преобразовать к виду x ( P(x) & Q(x)). Таким образом, левая часть не равна правой части или ее отрицанию. Используем заданную интерпретацию для установления истинности левой и правой частей. Левая часть x ( P(x) &Q(x)) ложна, так как существует x=a, при котором P(a)=0 и Q (a)=0. Правая часть x ( P(x) & Q(x)) истинна, так как существует x=e, при котором P(e)=0 и Q(e)=1. Таким образом, исследуемая формула сведена к виду 0 ↔1 и, следовательно, ложна при заданной интерпретации (в ответ записываем 0).

Задания 5 и 6 посвящены верификации программ, т.е. анализу действия программ над данными. В задании 5 рассматривается верификация простой линейной программы, а в задании 6 – программы с ветвлениями. Подробная методика решения приведена в учебном пособии [1, с.29–35] и в разделе “Верификация алгоритмов и программ” опорного конспекта настоящего учебно-методического комплекса.

96

4.1.3. Представление результатов и автоматическая проверка выполнения контрольных работ

Для облегчения проверки контрольных работ в конце работы следует привести основные результаты, как показано на рис.4.2, а именно:

Вариант #1: MLTA2007

1)1;1; s\/-p; 1; q-sp-r;-v\/q\/r; 0;1;0;1; -q-s-p-r; v\/-q\/-r\/t;

2)2 3 5

3){k,h,b,g,a,f,c,e,d} {j,i,g,a,f} {g,a,f} {j,i,g,a,f,c,e,d}

4)T; C; T; C; 1; 0; C; 1;

5)Q=-Ro-3*Po; R=-Ro; P=-6*Po

6)1.1 (Qo<2)&(Po<-5): Q:= 2*Qo-Po; P:= -2*Qo-2*Po;

1.2(Qo<2)&((Po>=-5): Q:= 2*Qo+2*Po; P:= Po;

2.1(Qo>=2)&(Po<-2): Q:= Qo; P:= 5*Qo-3*Po;

3.2(Qo>=2)&(Po>=-2): Q:= Qo+3*Po; P:= Po;

Рис.4.2

•по заданию 1 даются ответы в том порядке, в котором приведены исходные формулы;

•по заданию 2 приводятся номера высказываний, являющихся следствием заданного высказывания;

• по заданию 3 даются множества истинности предикатов в том порядке, в котором заданы предикаты;

•по заданию 4 выписываются значения формул, причем используются обозначения: T (лат) – тавтология, C (лат) – противоречие, 1 – истинна для заданной интерпретации, 0 – ложна для заданной интерпретации;

•по заданию 5 выписываются результирующие присваивания;

•по заданию 6 выписываются условия и результирующие присваивания для каждого возможного пути.

Автоматическая проверка. Программа MLTA2007 позволяет студенту проверить основные результаты контрольной работы. Для этого студент

97

должен набрать в любом текстовом редакторе файл ответов, как показано на рис. 4.3.

1, Петров, 555-777;

1)1 , 1 ,-\/s, 1, q-sp-r, -v\/q\/r, 0, 1, 0, 1, -q-s-p-r, 1;

2)5,3,2 ;

3){k,h,b,g,a,f,c,e,d}, {j,i,g,a,f}, {g,a,f}, {j,i,g,a,f,c,e,d};

4)T, C, T, C, 1, 0, 0, 1;

5)(0,-1,-3), (0, -1 , 0), (0, 0, -6);

6)1.1: (2, -1), ( -2, -2);

END;

Рис.4.3

Имя этого файла должно иметь расширение “.R”.Программа MLTA2007 запускается в режиме ПРОВЕРКА. При наличии синтаксических ошибок, программа выдает соответствующие сообщения. Для исправления файла ответов можно использовать встроенный текстовый редактор (режим РЕДАКТОР).

Если синтаксических ошибок нет, то программа дает оценку правильности

(Y) или неправильности (N) по каждой задаче или отдельной части задачи (рис. 4.4). Эта оценка добавляется в конец файла ответов.

РЕЗУЛЬТАТЫ ПРОВЕРКИ 1 - Петров - 555-777:

1)Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y

2)Y

3)Y Y Y Y

4)Y

5)Y Y Y

6)1.1:Y Y ; 1.2:Y Y ; 2.1:Y Y ; 2.2:Y; 3.1:Y; 3.2:Y Y ; SCORE=100, GRADE=5 Code=26535

Рис. 4.4

Файл ответов оформляется строго в соответствии со следующими правилами:

98

•сначала следует номер задания, через запятую – Фамилия И.О. студента, через запятую - шифр студента, а затем разделитель ";";

•номер задания, скобка ")", компоненты ответа, разделенные запятыми (за исключением задания 4), разделитель ";" ;

•в конце файла ответов набирается ключевое слово "END;";

•по разделу 5 запись в файле ответов имеет вид

" 5) (k11,k12,k13),(k21,k22,k23),(k31,k32,k33);",

где общая форма ответа содержит коэффициенты kIJ;

•Q=k11*Qo+k12*Ro+k13*Po;

•R=k21*Qo+k22*Ro+k23*Po;

•P=k31*Qo+k32*Ro+k33*Po;

•по заданию 6 ответы для каждого пути содержат вначале номер пути и разделяются точкой с запятой, причем для записи ответов используется тот же принцип, что и в задании 5.

4.2. Тестирование

4.2.1. Тест по разделу 1

1. Сопоставьте каждой формуле из табл. 4.1 равносильное ей упрощенное выражение.

99

2. Какая из приведенных формул является тавтологией:

1) (A & A) ~ A , 2) (A A) ~ A, 3) (A & A) ~ A 4), (A A) ~ A 5), 5) (A ~ A) A.

3. Какая из приведенных формул является тавтологией:

1) (A & B) → A , 2) (A A) → A, 3) (A A) → A , 4) (A ~ A) → A , 5) (A & B) → A.

4. Какая из приведенных формул является тавтологией:

1)(A & B) → A B , 2) (A & B) → A B , 3) (A & B) → A B ,

4)(A & B) → A B , 5) (A & B) → A B .

5. Какая из приведенных формул исчисления высказываний является тавтологией:

1)(A & B) ~ (A B) , 2) (A & B) ~ (A B), 3) (A & B) ~ (A B) ,

4)(A & B) ~ (A B), 5) (A & B) ~ (A B).

6. Какая из приведенных формул исчисления высказываний является тавтологией:

1)(A ~ A) A, 2) (A & A) ~ A , 3) (A & B) → A , 4) (A & B) → A,

5)(A & B) → A B , 6) (A & B) ~ (A B) , 7) (A & B) → A B ,

8)(A & B) ~ (A B).

7. Сопоставьте каждой формуле из табл. 4.2 равносильное ей упрощенное выражение.

100

Ответы для теста по разделу 1:

1 − (1,3), (2,6), (3,4), (4,2), (5,1), (6,5); 2 − 3; 3 − 5; 4 − 4; 5 − 2; 6 − 2, 4, 7, 8; 7 − (1,3), (2,8), (3,6), (4,5), (5,7), (6,4), (7,1), (8,2).

4.2.2. Тест по разделу 2

1. Сопоставьте каждому понятию из табл. 4.3 правильное определение.