6. Обработка результатов экспериментальных исследований.

6.1. Основы теории случайных ошибок и методов оценки случайных погрешностей в измерениях.

Анализ случайных погрешностей основывается на теории случайных ошибок, дающей возможность с определённой гарантией вычислить действительное значение измеренной величины и оценить возможные ошибки.

Основу теории случайных ошибок составляют предположения о том, что:

1. при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;

2. большие погрешности встречаются реже. Чем малые (вероятность появления погрешности уменьшается с ростом её величины);

при бесконечно большом числе измерений истинное значение измеряемой величины равно среднеарифметическому значению всех результатов измерений, а появление того или иного результата измерении как случай­ного события описывается нормальным законом распределения.

Различают генеральную и выборочную совокупность измерении. Под генеральной совокупностью подразумевают все множество возможных значений измерений или возможных значений погрешностей . Для выборочной совокупности число измеренийn ограничено, и в каждом конкретном случае строго определяется. Обычно считают, если n > 30 то среднее значение данной совокупности измерений достаточно приближается к его истинному значению.

Интервальная оценка с помощь доверительной вероятности.

Для большой выборки и нормального закона распределения общей оценочной характеристикой измерения являются дисперсия D и коэффициент вариации :

; (6.1)

где - среднеквадратическое отклонение, аопределяется

(6/2)

Чем больше значение D, тем больший разброс измеряемых величин. Чем больше , тем больше изменчивость измерений относительно среднего значения. Коэффициент вариацииоценивает также разброс, при оценке нескольких выборок.

Доверительным называется интервал значении , в который попадает истинное значение измеряемой величины с заданной вероятностью. Доверительной вероятностью (достоверностью) измерения называется вероят­ность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в дан­ный доверительный интервал, т.е. в зону а <<b, где а и b - мини­мальное и максимальное значение измеряемой величины. Доверительная ве­роятность определяется в долях единицы. Доверительная вероятность описывается выражением

,

где (t) - интегральная функция Лапласа определяемая выражением

.

Аргументом этой функции является t - гарантийный коэффициент, определяемый соотношением;

(6.4),

где - половина доверительного интервала, определяемая

(6.5) .

Доверительный интервал характеризует точность измерений данной; выборки, а доверительная вероятность - достоверность измерений. Требуемую точность измерений можно определить для разных уровней довери­тельной вероятности (= 0,9; 0,95; 0,9973), приняв значенияt по таблице интегральной функции Лапласа.

Определение минимального количества измерений.

Для проведения опытов с заданной точностью и достоверностью необходимо знать то количество измерений, при котором экспериментатор в положительном исходе. Задача сводится к установлению минимального объема выборки (числа измерений) при заданных значениях дове­рительного интервалаи доверительной вероятности. При выполнение измерений необходимо знать их точность:

(6. 6)

где - среднеарифметическое значение среднеквадратического отклонения

(6.7)

После подстановки 6.7 в 6.6 получим

(6.8)

Значение называют средней ошибкой. Минимальное количество из­мерений, гарантирующих требуемые значенияи определяется выраже­нием

(6.9)

Для определения может быть принята такая последовательность вычислений:

1) проводится предварительный эксперимент с количеством измерений n, который составляет в зависимости от трудоемкости опыта от 20 до 50;

2) вычисляется среднее значение данной совокупности измерений по формуле 6.2;

3) вычисляется среднеквадратическое отклонение по формуле 6.1;

4) в соответствии с поставленными задачами эксперимента устанав­ливается по формуле 6.8 требуемая точность измерений , которая не должна превышать точности прибора;

5) устанавливается по формуле 6.9 нормированное отклонение (га­рантийный коэффициент) t (при замене наn). значение которых обычно задается (зависит также от точности метода);

6) по формуле 6.9 определяют и тогда в процессе эксперимента число измерений не должно быть меньше.

Оценки измерений с помощью и поприведенным методам справед­ливы приn > 30. Для нахождения границы доверительного интервала при малых значениях n применяют метод Стьюдента.

Для малой выборки доверительный интервал

(6.10)

где - коэффициент Стьюдента, определяемый по таблице коэффициентов Стьюдентав зависимости от значений доверительной вероятности.

Зная можно вычислить истинное значение изучаемой величины для малой выборки

(6.11)

Возможна и иная постановка задачи. По n известных измерений вы­борки необходимо определить доверительную вероятность при условии, что погрешность среднего значения не выйдет за пределы. Задачу решают в такой последовательности: вычисляют значения х,и . С помощью , известного n и табл. определяют доверитель­ную вероятность.

В процессе обработки экспериментальных данных следует исключать грубые ошибки. Используется правило трех сигм: разброс случайных вели­чин не должен превышать

(6.12)

Применяются также методы, базируемые на использовании доверительного интервала, критерий В. И. Романовского и т. п.

Проведение вычислений заканчивают установлением по 6.11 истинного значения исследуемой величины и оценкой относительной погрешности (%) результатов серии измерений при заданной доверительной вероятности:

(6. 13)

При анализе измерений можно применять для приближенной оценки та­кую методику:

1) вычислить по 6.1 среднеквадратичное отклонение ;

2) определить с помощью 6.7 ;

3) принять доверительную вероятность и найти доверительные интервалыиз 6.10;

4) установить истинное значение измеряемой величины из 6.11.

В случае более глубокого анализа экспериментальных данных реко­мендуется последовательность:

1) устанавливают грубые ошибки, при их обнаружении исключают илии получают новый ряд скорректированных значений;

2) вычисляют среднеарифметическое и среднеквадратичноеочи­щенного ряда;

3) находят среднеквадратичное серии измерений , коэффициент ва­риации;

4) при большой выборке задаются доверительной вероятностью и по табл. интегральной функции Лапласа определяют t;

5) при малой выборке (n < 30) в зависимости от принятой довери­тельной вероятности и числа членов рядаn определяют коэффициент Стьюдента ;

6) с помощью формулы 6.4 для большой выборки или 6.10 для малой, выборки определяют доверительный интервал;

7) устанавливают по 6.11 истинное значение исследуемой величины;

8) оценивают относительную погрешность по формуле 6.13.