- •Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •Санкт-Петербург
- •Информация о дисциплине
- •1.1. Предисловие
- •Содержание дисциплины и виды учебной работы
- •Объем дисциплины и виды учебной работы
- •Перечень видов практических занятий и контроля:
- •2. Рабочие учебные материалы
- •2.1. Рабочая программа (объем 150 часов) Введение
- •Раздел 1. Случайные события (50 часов)
- •Тематический план дисциплины для студентов очно-заочной формы обучения
- •Тематический план дисциплины для студентов заочной формы обучения
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины
- •Математика ч.2. Теория вероятностей и элементы математической статистики Теория
- •Раздел 1 Случайные события
- •Раздел 3 Элементы математической статистики
- •Раздел 2 Случайные величины
- •2.5. Практический блок
- •2.6. Балльно-рейтинговая система
- •Информационные ресурсы дисциплины
- •Библиографический список Основной:
- •3.2. Опорный конспект по курсу “ Математика.Часть 2 Теория вероятностей и элементы математической статистики” введение
- •Раздел 1. Случайные события
- •1.1. Понятие случайного события
- •1.1.1. Сведения из теории множеств
- •1.1.2. Пространство элементарных событий
- •1.1.3. Классификация событий
- •1.1.4. Сумма и произведение событий
- •1.2. Вероятности случайных событий
- •1.2.1. Относительная частота события, аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности
- •1.2.2. Геометрическое определение вероятности
- •Вычисление вероятности события через элементы комбинаторного анализа
- •1.2.4. Свойства вероятностей событий
- •1.2.5. Независимые события
- •1.2.6. Расчет вероятности безотказной работы прибора
- •Формулы для вычисления вероятности событий
- •1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
- •1.3.2. Условная вероятность события
- •1.3.4. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Раздел 2. Случайные величины
- •2.1. Описание случайных величин
- •2.1.1. Определение и способы задания случайной величины Одним из основных понятий теории вероятности является понятие случайной величины. Рассмотрим некоторые примеры случайных величин:
- •Чтобы задать случайную величину, надо указать ее закон распределения. Случайные величины принято обозначать греческими буквами ,,, а их возможные значения – латинскими буквами с индексамиxi,yi,zi.
- •Рассмотрим события Ai , содержащие все элементарные события , приводящие к значению XI:
- •Пусть pi обозначает вероятность события Ai :
- •2.1.3. Непрерывные случайные величины
- •2.1.4. Функция распределения и ее свойства
- •2.1.5. Плотность распределения вероятности и ее свойства
- •2.2. Числовые характеристики случайных величин
- •2.2.1. Математическое ожидание случайной величины
- •2.2.2. Дисперсия случайной величины
- •2.2.3. Нормальное распределение случайной величины
- •2.2.4. Биномиальное распределение
- •2.2.5. Распределение Пуассона
- •Раздел 3. Элементы математической статистики
- •Гистограмма
- •3.3. Точечные оценки параметров распределения
- •Основные понятия
- •Точечные оценки математического ожидания и дисперсии
- •3.4. Интервальные оценки
- •Понятие интервальной оценки
- •Построение интервальных оценок
- •Основные статистические распределения
- •Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения
- •Интервальная оценка дисперсии нормального распределения
- •Заключение
- •Глоссарий
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных работ
- •Библиографический список
- •Лабораторная работа 1 описание случайных величин числовые характеристики
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Лабораторная работа 2 Основные определения. Систематизация выборки. Точечные оценки параметров распределения. Интервальные оценки
- •Понятие статистической гипотезы о виде распределения
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Ячейка Значение Ячейка Значение
- •5. Методические указания к выполнению контрольной работы Задание на контрольную работу
- •Пояснения к выполнению контрольной работы События и их вероятности
- •Случайные величины
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Элементы математической статистики
- •6. Блок контроля освоения дисциплины
- •Вопросы для экзамена по курсу « Математика.Часть 2. Теория вероятностей и элементы математической статистики»
- •Продолжение таблицы в
- •Окончание таблицы в
- •Равномерно распределенные случайные числа
- •Содержание
- •Раздел 1. Случайные события………………………………………. 18
- •Раздел 2 . Случайные величины ..………………………… ….. 41
- •Раздел 3. Элементы математической статистики ............... . 64
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных
- •5. Методические указания к выполнению контрольной
Среднее квадратическое отклонение
==
Вероятность попадания в интервал
P
Пример 5.8. Случайная величина распределена по нормальному закону с плотностью вероятности
f(x)= .
Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, вероятность попадания в интервал [-2;-1]. Построить кривую плотности вероятности этой случайной величины.
Решение
1. По виду формулы плотности вероятности определяем, что случайная величина распределена по нормальному закону, для которого плотность вероятности f(x) = . Приведем заданную функцию к стандартному виду:
f(x)= =.
Отсюда следует, что m = -1.5;σ= 0.5. Известно, что параметрm– математическое ожиданиеM[], аσ- среднее квадратическое отклонениеσ . Следовательно,M[] = -1.5,σ =0.5,D[] ==0.25.
2. Найдем вероятность попадания заданной случайной величины в интервал [-2,-1]. По свойствам функции распределения вероятность попадания случайной величины в интервал
,
где F(x) – функция распределения случайной величины. Для нормально распределенной случайной величины функция распределенияF(x) может быть выражена через её нормированную функцию Ф(х) формулой:
F(x)= Ф. (5.5)
Функция Ф(х) табулирована (см. табл. В приложения).
Таким образом
Р. (5.6)
Для решаемой задачи:=0,5 т.е.
Учитывая, что Ф(-х)=1- Ф(х), и найдя в табл.В приложения Ф(1)=0.8413, получим
Р(-1)=2Ф(1)-1=0,6826.
3. Построим кривую плотности вероятности. Для этого на графике построим сначала кривую нормированной плотности вероятности (на рис. 5.6 штриховая линия 1), т.е.. Затем сожмем её по оси ординат и растянем по оси абсцисс вσраз (т.е. максимум увеличится в два раза). Получим пунктирную линию 2. И, наконец, сдвинем по оси абсцисс на величинуmвлево, т.е. в данном случае максимум графика будет в точкех=-1,5. Окончательный результат на рисунке изображен сплошной линией.
Рис. 5.6
Пример 5.9.Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону,
если P{X>60}=0,98 иP{X<90}=0,84.
Решение.Для определения искомых числовых характеристик следует найти параметры распределения предлагаемой случайной величины, так как для нормально распределенной случайной величины математическое ожидание совпадает с параметромm, а среднее квадратическое отклонение с параметром σ. Для этого воспользуемся формулой, выражающей вероятность попадания случайной величины в данные в условиях интервалы через функцию распределения. Преобразуем задания в условии задачи равенства:
из P{x>60}= 0,98 получимр{х60} = 1-р(х>60) = 1-0,98. Отсюда
P{x60}=0,02.
По формуле (5.5) преобразуем левую часть , получим
F(60)= Ф()= 0,02.
Теперь по таблицам Ф(х) (табл. В приложения) необходимо найти значениех, при котором Ф(х) равняется 0,02. Такого значения в таблице нет, это означает, что искомое значение – отрицательное. Используя формулу
Ф(-х)= 1-Ф(х), (5.7)
можно записать
Ф()= 1-Ф()= 0,02,
т.е. Ф()= 0,98.
По табл.В приложения находим, что Ф(х)= 0,98 соответствует значению х=2,056, т.е. = 2,056.
Таким образом m-2.056=60.
Из второго условия следует P{X<90}=F(90)=Ф(= 0,84 ; по табл. В Приложения находим аргумент для значения функции 0,84 и получаем =0,995 , отсюда m+0,995 σ=90. Таким образом получаем систему уравнений относительно параметрови σ:
Находим из системы искомые параметры: 3,051 σ=30,σ@9,83,m=60+2,05×9,83@80,15.
Итак, =80,15, а σ=9,83.