- •Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •Санкт-Петербург
- •Информация о дисциплине
- •1.1. Предисловие
- •Содержание дисциплины и виды учебной работы
- •Объем дисциплины и виды учебной работы
- •Перечень видов практических занятий и контроля:
- •2. Рабочие учебные материалы
- •2.1. Рабочая программа (объем 150 часов) Введение
- •Раздел 1. Случайные события (50 часов)
- •Тематический план дисциплины для студентов очно-заочной формы обучения
- •Тематический план дисциплины для студентов заочной формы обучения
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины
- •Математика ч.2. Теория вероятностей и элементы математической статистики Теория
- •Раздел 1 Случайные события
- •Раздел 3 Элементы математической статистики
- •Раздел 2 Случайные величины
- •2.5. Практический блок
- •2.6. Балльно-рейтинговая система
- •Информационные ресурсы дисциплины
- •Библиографический список Основной:
- •3.2. Опорный конспект по курсу “ Математика.Часть 2 Теория вероятностей и элементы математической статистики” введение
- •Раздел 1. Случайные события
- •1.1. Понятие случайного события
- •1.1.1. Сведения из теории множеств
- •1.1.2. Пространство элементарных событий
- •1.1.3. Классификация событий
- •1.1.4. Сумма и произведение событий
- •1.2. Вероятности случайных событий
- •1.2.1. Относительная частота события, аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности
- •1.2.2. Геометрическое определение вероятности
- •Вычисление вероятности события через элементы комбинаторного анализа
- •1.2.4. Свойства вероятностей событий
- •1.2.5. Независимые события
- •1.2.6. Расчет вероятности безотказной работы прибора
- •Формулы для вычисления вероятности событий
- •1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
- •1.3.2. Условная вероятность события
- •1.3.4. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Раздел 2. Случайные величины
- •2.1. Описание случайных величин
- •2.1.1. Определение и способы задания случайной величины Одним из основных понятий теории вероятности является понятие случайной величины. Рассмотрим некоторые примеры случайных величин:
- •Чтобы задать случайную величину, надо указать ее закон распределения. Случайные величины принято обозначать греческими буквами ,,, а их возможные значения – латинскими буквами с индексамиxi,yi,zi.
- •Рассмотрим события Ai , содержащие все элементарные события , приводящие к значению XI:
- •Пусть pi обозначает вероятность события Ai :
- •2.1.3. Непрерывные случайные величины
- •2.1.4. Функция распределения и ее свойства
- •2.1.5. Плотность распределения вероятности и ее свойства
- •2.2. Числовые характеристики случайных величин
- •2.2.1. Математическое ожидание случайной величины
- •2.2.2. Дисперсия случайной величины
- •2.2.3. Нормальное распределение случайной величины
- •2.2.4. Биномиальное распределение
- •2.2.5. Распределение Пуассона
- •Раздел 3. Элементы математической статистики
- •Гистограмма
- •3.3. Точечные оценки параметров распределения
- •Основные понятия
- •Точечные оценки математического ожидания и дисперсии
- •3.4. Интервальные оценки
- •Понятие интервальной оценки
- •Построение интервальных оценок
- •Основные статистические распределения
- •Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения
- •Интервальная оценка дисперсии нормального распределения
- •Заключение
- •Глоссарий
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных работ
- •Библиографический список
- •Лабораторная работа 1 описание случайных величин числовые характеристики
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Лабораторная работа 2 Основные определения. Систематизация выборки. Точечные оценки параметров распределения. Интервальные оценки
- •Понятие статистической гипотезы о виде распределения
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Ячейка Значение Ячейка Значение
- •5. Методические указания к выполнению контрольной работы Задание на контрольную работу
- •Пояснения к выполнению контрольной работы События и их вероятности
- •Случайные величины
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Элементы математической статистики
- •6. Блок контроля освоения дисциплины
- •Вопросы для экзамена по курсу « Математика.Часть 2. Теория вероятностей и элементы математической статистики»
- •Продолжение таблицы в
- •Окончание таблицы в
- •Равномерно распределенные случайные числа
- •Содержание
- •Раздел 1. Случайные события………………………………………. 18
- •Раздел 2 . Случайные величины ..………………………… ….. 41
- •Раздел 3. Элементы математической статистики ............... . 64
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных
- •5. Методические указания к выполнению контрольной
2.1.3. Непрерывные случайные величины
Кроме дискретных существуют непрерывные случайные величины. Примером непрерывной случайной величины является расстояние от точки попадания до центра мишени.
Определение. Случайная величина называют непрерывной, если ее значения целиком заполняют конечный или бесконечный интервал числовой оси.
Определение. Непрерывная случайная величина называется абсолютно непрерывной, если существует такая функция f(x), что для любых действительных чисел x функция распределения этой случайной величины F(x) представима в виде , (2.7)
т. е. функция распределения F(x) этой случайной величины является интегралом с переменным пределом от f(x). Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины такой, что
.
Рассмотрим пример абсолютно непрерывной случайной величины.
Пример 2.5. Равномерное распределение
Случайная величина ξ распределена равномерно на промежутке [a,b], если ее плотность распределения вероятностей задается равенством
,(2.8)
и имеет график
Построим функцию распределения F(x) этой случайной величины, используя равенство (2.7). При всех x<a по определению f(x) подынтегральная функция f(t)=0. Следовательно, функция распределения F(x)=0.
При всех a x <b по определению f(x) подынтегральная функция . Тогда из равенства (2.7) получаем
.
При по свойству определенного интеграла и определению подынтегральной функции получаем следующее равенство
.
Следовательно, функция распределения равномерного закона имеет вид:
. (2.9)
Г
y
y=F(x)
1
0 a
b x
0 a b
x
2.1.4. Функция распределения и ее свойства
Для функции распределения F(x) случайной величины ξ имеют место следующие свойства:
1) Для всех x выполняются неравенства .
2)Функция распределенияслучайной величины есть неубывающая функцияаргументаx: F(x1) F(x2),если. (2.10)
3) , .
4) Функция распределения непрерывна справа F(x+0)=F(x).
5) Вероятность попадания случайной величины в интервал (a,b] можно вычислить по формуле
. (2.11)
2.1.5. Плотность распределения вероятности и ее свойства
Плотность распределения вероятностей f(x) удовлетворяет следующим свойствам.
1) В точках x непрерывности f(x) имеет место равенство
. (2.12)
.
2) Для всех x плотность распределения вероятностей неотрицательна, т.е. .
3) Вероятность попадания случайной величины в любой интервал [a,b] равна
. (2.13)
Это свойство означает, что удаление конечного числа точек из промежутка [a,b] не влияет на величину вероятности попадания в этот интервал.
4) Условие нормировки . (2.14)
График y=f(x) называют кривой распределения. Графически свойство 3) означает, что вероятность попадания случайной величины в интервал [a,b] численно равна площади S криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой распределения y=f(x), снизу - осью Ox, вертикальными прямыми x=a и x=b. Графически свойство 4) означает, что площадь криволинейной трапеции под всей кривой распределения y=f(x) равна 1.
Вопросы для самопроверки
Какая величина называется дискретной случайной величиной?
Какую случайную величину называют непрерывной?
Что такое ряд распределения случайной величины?
Сформулируйте определение функции распределения случайной величины и ее свойства.
Что такое плотность вероятности случайной величины и ее свойства?