- •Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •Санкт-Петербург
- •Информация о дисциплине
- •1.1. Предисловие
- •Содержание дисциплины и виды учебной работы
- •Объем дисциплины и виды учебной работы
- •Перечень видов практических занятий и контроля:
- •2. Рабочие учебные материалы
- •2.1. Рабочая программа (объем 150 часов) Введение
- •Раздел 1. Случайные события (50 часов)
- •Тематический план дисциплины для студентов очно-заочной формы обучения
- •Тематический план дисциплины для студентов заочной формы обучения
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины
- •Математика ч.2. Теория вероятностей и элементы математической статистики Теория
- •Раздел 1 Случайные события
- •Раздел 3 Элементы математической статистики
- •Раздел 2 Случайные величины
- •2.5. Практический блок
- •2.6. Балльно-рейтинговая система
- •Информационные ресурсы дисциплины
- •Библиографический список Основной:
- •3.2. Опорный конспект по курсу “ Математика.Часть 2 Теория вероятностей и элементы математической статистики” введение
- •Раздел 1. Случайные события
- •1.1. Понятие случайного события
- •1.1.1. Сведения из теории множеств
- •1.1.2. Пространство элементарных событий
- •1.1.3. Классификация событий
- •1.1.4. Сумма и произведение событий
- •1.2. Вероятности случайных событий
- •1.2.1. Относительная частота события, аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности
- •1.2.2. Геометрическое определение вероятности
- •Вычисление вероятности события через элементы комбинаторного анализа
- •1.2.4. Свойства вероятностей событий
- •1.2.5. Независимые события
- •1.2.6. Расчет вероятности безотказной работы прибора
- •Формулы для вычисления вероятности событий
- •1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
- •1.3.2. Условная вероятность события
- •1.3.4. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Раздел 2. Случайные величины
- •2.1. Описание случайных величин
- •2.1.1. Определение и способы задания случайной величины Одним из основных понятий теории вероятности является понятие случайной величины. Рассмотрим некоторые примеры случайных величин:
- •Чтобы задать случайную величину, надо указать ее закон распределения. Случайные величины принято обозначать греческими буквами ,,, а их возможные значения – латинскими буквами с индексамиxi,yi,zi.
- •Рассмотрим события Ai , содержащие все элементарные события , приводящие к значению XI:
- •Пусть pi обозначает вероятность события Ai :
- •2.1.3. Непрерывные случайные величины
- •2.1.4. Функция распределения и ее свойства
- •2.1.5. Плотность распределения вероятности и ее свойства
- •2.2. Числовые характеристики случайных величин
- •2.2.1. Математическое ожидание случайной величины
- •2.2.2. Дисперсия случайной величины
- •2.2.3. Нормальное распределение случайной величины
- •2.2.4. Биномиальное распределение
- •2.2.5. Распределение Пуассона
- •Раздел 3. Элементы математической статистики
- •Гистограмма
- •3.3. Точечные оценки параметров распределения
- •Основные понятия
- •Точечные оценки математического ожидания и дисперсии
- •3.4. Интервальные оценки
- •Понятие интервальной оценки
- •Построение интервальных оценок
- •Основные статистические распределения
- •Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения
- •Интервальная оценка дисперсии нормального распределения
- •Заключение
- •Глоссарий
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных работ
- •Библиографический список
- •Лабораторная работа 1 описание случайных величин числовые характеристики
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Лабораторная работа 2 Основные определения. Систематизация выборки. Точечные оценки параметров распределения. Интервальные оценки
- •Понятие статистической гипотезы о виде распределения
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Ячейка Значение Ячейка Значение
- •5. Методические указания к выполнению контрольной работы Задание на контрольную работу
- •Пояснения к выполнению контрольной работы События и их вероятности
- •Случайные величины
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Элементы математической статистики
- •6. Блок контроля освоения дисциплины
- •Вопросы для экзамена по курсу « Математика.Часть 2. Теория вероятностей и элементы математической статистики»
- •Продолжение таблицы в
- •Окончание таблицы в
- •Равномерно распределенные случайные числа
- •Содержание
- •Раздел 1. Случайные события………………………………………. 18
- •Раздел 2 . Случайные величины ..………………………… ….. 41
- •Раздел 3. Элементы математической статистики ............... . 64
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных
- •5. Методические указания к выполнению контрольной
2.2.2. Дисперсия случайной величины
Из определения математического ожидания следует, что оно определяет среднее значение случайной величины. Дисперсия характеризует среднюю величину отклонения значений случайной величины от математического ожидания.
Пусть обозначает дискретную или абсолютно непрерывную случайную величину.
Определение. Моментом второго порядка случайной величины называется математическое ожидание квадрата этой случайной величины, т. е. число M(2).
Пусть в формулах (2.18) и (2.19) функция g(x)=x2. Тогда для моментов второго порядка случайной величины имеют место формулы
, (2.21)
. (2.22)
Величина -M() определяет отклонение случайной величины от математического ожидания M().
Определение. Дисперсией случайной величины называется момент второго порядка случайной величины ( - M()). Дисперсию обозначают D(). Таким образом, дисперсия случайной величины определяется формулой
D()=M[(- M())2] . (2.23)
Стандартным или средним квадратическим отклонением называют величину, равную квадратному корню из дисперсии и обозначают :=.
Из равенств (2.18), (2.19) для моментов второго порядка следуют формулы для вычисления дисперсии дискретной и абсолютно непрерывной случайных величин соответственно
(2.24)
(2.25)
Дисперсия не существует, если ряд (2.24) или несобственный интеграл (2.25) расходятся.
Свойства дисперсии
1. Для любой случайной величины выполняется неравенство D() ≥ 0.
2. При умножении случайной величины на постоянное число С дисперсия умножается на квадрат этого числа, т.е. справедливо равенство
D(C)=C2D().
3. Справедлива следующая формула для вычисления дисперсии
D()=M(2)- M2() , (2.26)
то есть дисперсия случайной величины равна разности второго момента этой величины и квадрата математического ожидания этой же величины.
4. Если случайные величины и независимы, дисперсия их алгебраической суммы равна сумме дисперсий, т.е.
D(+)=D()+D(). (2.27)
5. Дисперсия постоянной величины С равна нулю.
Пусть обозначает дискретную случайную величину с рядом распределения
xi x1 x2 , …, xn…
pi p1 p2 , …, pn… .
В этом случае согласно свойству 3 дисперсия вычисляется по формуле
D()=.(2.28)
2.2.3. Нормальное распределение случайной величины
Нормальное распределение часто используется для описания случайных явлений, в которых на результат измерения влияет большое число независимых случайных факторов.
Определение. Случайная величина ξ имеет нормальное или гауссовское распределение, если ее плотность распределения вероятностей при всех x задается равенством . (2.29)
Числаm и σ называются параметрами распределения: параметр m может быть любым действительным числом: -∞ < m < +∞, а параметр σ – положительным: σ>0. Символическая запись означает, что cлучайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрамиm и σ2.
y
F(x)
Отметим некоторые свойства графика этой функции (кривой нормального распределения).
Во-первых, функция принимает максимальное значениеприx=m.
Во-вторых, функция симметрична относительно вертикальной прямойx=m.
В-третьих, асимптотой кривой нормального распределения является ось Ох. Особую роль играет нормальное распределение с параметрами m=0, σ=1, которое часто называют стандартным (или нормированным) нормальным распределением.
Плотность стандартного нормального распределения имеет вид
,(2.30)Ниже приведен график y = f0(x).
Функция распределения случайной величины, имеющей нормальный закон, может быть представлена в виде несобственного интеграла
F(x) =. (2.31)
Функцию распределения стандартного нормальногозакона
Ф(х) = (2.32)
часто называют функцией Лапласа, для которой имеются таблицы значений, широко используемые в статистических исследованиях. Рассмотрим свойства нормального распределения.
Свойство 1. Пусть случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами m и σ, т.е. . Тогда математическое ожидание равно параметруm, а дисперсия равна σ2 , т.е.
M(ξ)=m; D(ξ)= σ2.
Свойство 2. Между функциями распределения F(x) и имеет место следующее соотношение
. (2.33)
Таблицы значений функции не содержат значений при x<0. В таких случаях можно использовать следующее свойство.
Свойство 3. При любых значениях x имеет место равенство
. (2.34)
Следующее свойство позволяет вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал, используя таблицы значений функции .
Свойство 4. Пусть случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами m и σ, т.е. . Тогда вероятность попадания случайной величиныξ в интервал [a,b] можно найти по формуле
. (2.35)
В частности, для симметричного интервала относительно m имеет место формула для любого :
. (2.36)
Формула (2.36) непосредственно следует из (2.35), в которой надо положить и использовать свойство, что .Тогда получим
.
Свойство 5 (закон трех сигм). Пусть случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами m и σ, т.е. . Тогда с вероятностью больше 0,99 значения случайной величины содержатся в интервале
Действительно, по свойству 4, . Из таблицы функцийнаходим значение=0,9987. Отсюда следует, что