MODELIROVANIE_metodichka
.pdfПрактическая работа № 2 МЕТОД ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
(АПРИОРНОЕ РАНЖИРОВАНИЕ ФАКТОРОВ)
Цель работы: 1) ознакомить с методом экспертных оце- нок; 2) овладеть практическими навыками статистической обра- ботки результатов априорного ранжирования факторов.
Рекомендуемая литература: [1, 2, 7].
Теоретические сведения
Технологические процессы пищевых производств пред- ставляют собой сложные системы с большим количеством взаи- мосвязанных параметров, изменение которых влияет на эффек- тивность переработки исходного сырья и качество готовой про- дукции.
Прежде чем приступить к построению математической мо- дели, необходимо решить вопрос о том, сколько и какие факторы следует принять во внимание, т. е. определить важность каждого из них.
Оценить значимость выбираемых факторов может только опытный человек. В результате этого задача их выделения явля-
ется наиболее сложной и для ее решения прибегают к методам экспертного оценивания (априорного ранжирования). Это пока единственный метод обобщения неформальных, качественных представлений о исследуемом технологическом процессе. Отбор факторов проводится только из полного списка. Лучше включить несколько десятков несущественных факторов, чем пропустить один существенный. Процедура такого выбора сводится к сле- дующему.
Для проведения экспертного оценивания приглашают M специалистов, работающих в данной области, которым предла- гают список N факторов, характеризующих и влияющих на изу- чаемый технологический процесс. Экспертам предлагают опре- делить степень влияния каждого фактора X i на изучаемый про-
10
цесс в выбранной системе оценок (например, по 10-балльной шкале).
Данные опроса собирают в экспертной карте, примерный |
||||||
вид которой представлен в табл. 1. |
|
|
|
|||
|
|
Экспертная карта |
|
Таблица 1 |
||
|
|
|
|
|||
№ |
Наименова- |
Степень влияния (оценка) фактора |
||||
фактора |
ние фактора |
Сущест- |
|
Заметное |
Малое |
Не влия- |
венное (4) |
|
(3) |
(2) |
ет (1) |
||
|
|
|
||||
1 |
Вязкость |
+ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
. |
Влажность |
|
|
+ |
|
|
5 |
|
|
|
|
||
После этого проводят ранжирование оценок, т. е. самой вы-
сокой оценке присваивают наименьший ранг и по результатам строят матрицу рангов (табл. 2).
Таблица 2
Матрица рангов
№ |
|
|
Эксперты |
|
|
|
фактора |
1 |
2 |
… j … |
M |
Сумма |
|
рангов |
||||||
|
|
|
|
|
||
X1 |
a11 |
a12 |
a1 j |
a1M |
S1 |
|
X2 |
a21 |
a22 |
a2 j |
a2M |
S2 |
|
.. |
.. |
.. |
.. |
.. |
.. |
|
. |
. |
. |
. |
. |
. |
|
Xi |
ai1 |
ai2 |
aij |
aiM |
Si |
|
. |
. |
. |
. |
. |
. |
|
.. |
.. |
.. |
.. |
.. |
||
.. |
||||||
X N |
aN1 |
aN 2 |
aNM |
SN |
||
aNj |
Здесь aij – ранг, приписанный j -тым экспертом i -му фактору. Сумму рангов Si по каждому фактору определяют по формуле
M |
|
Si = åaij . |
(1) |
j =1
11
Затем находят среднее значение сумм рангов |
L по всем |
|||||
факторам |
|
|
|
|||
L = |
1 |
N Si . |
(2) |
|||
N |
||||||
|
|
å |
|
|
||
|
|
|
i=1 |
|
||
Сумму квадратов отклонений S сумм рангов Si |
от среднего |
|||||
значения L рассчитывают по формуле |
|
|||||
|
N |
|
|
|
||
S = å(Si − L)2 . |
(3) |
|||||
|
i =1 |
|
|
|
||
После этого находят коэффициент конкордации, характери- |
||||||
зующий степень согласованности мнений экспертов |
|
|||||
W = |
|
|
12S |
|
||
M 2 (N 3 − N ) |
. |
(4) |
||||
Коэффициент конкордации может принимать значения из интервала 0 ≤ W ≤ 1,0, причем W = 0 свидетельствует об отсут- ствии какого-либо согласия во мнениях экспертов, W = 1 – пол-
ное согласие всех экспертов относительно порядка убывания влияния факторов на изучаемый технологический процесс.
Затем оценивают значимость коэффициента конкордации. При N > 7 используют χ 2 - критерий Пирсона:
χр2 = |
12S |
|
, |
(5) |
|
NM (N + 1) |
|||||
|
|
|
|||
12
который сравнивают с табличным значением χт2 для выбранного числа степеней свободы f = N −1 и заданного уровня значимо- сти p (прил. 1).
При выполнении условия
χр2 > χт2 |
(6) |
степень согласованности мнений экспертов не вызывает сомне- ния.
В случае N < 7 используют F-критерий Фишера, расчетное
значение которого определяют по формуле
|
|
F = |
1 |
ln |
(M −1)W |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
р |
2 |
1 |
− W |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Расчетное значение критерия Фишера сравнивают с таб- |
|||||||
личным Fт при числе степеней |
свободы f1 = N −1 − |
2 |
, |
||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
f2 |
= |
M −1 и заданном уровне значимости p (прил. 2). При вы- |
|||||||
|
|
f1 |
|
|
|
|
|
|
|
полнении условия
Fр > Fт
мнения экспертов считаются согласованными.
Если условия (6) и (8) не выполняются, что может быть следст-
вием недостаточной квалификации специалистов или сложностью процесса, процедуру экспертного опроса повторяют.
Для наглядного представления коллективного мнения спе- циалистов, принявших участие в экспертном оценивании степени влияния факторов на изучаемый процесс, выполняют построение априорной гистограммы рангов.
При ее построении по горизонтали откладывают отрезки равной длины и присваивают им по очереди номера факторов в порядке возрастания сумм рангов. По вертикали откладывают сум-
13
мы рангов для каждого фактора. Чем меньше эта величина, тем сильнее влияет фактор на изучаемый процесс.
На рис. 1 представлены три типа гистограмм рангов. В слу- чае если по расчетам получилась первая гистограмма (рис. 1, а), то
естественно принять левую группу факторов в качестве наиболее значимых переменных, а влиянием факторов правой группы пре- небречь. Если же четкой границы между группами факторов про- вести нельзя, как на рис. 1, б, то количество отсеиваемых факто- ров устанавливают в зависимости от их характера (технологиче- ские, возмущающие и т. п.), либо на данном этапе их совсем не отсеивают. Наиболее благоприятен для планирования экспери- мента третий случай (рис. 1, в), когда степень влияния факторов быстро убывает по экспоненте, что позволяет ограничиться влия- нием 1 – 4 факторов и сократить число экспериментов.
В том случае, если выделить наиболее значимые факторы затруднительно, следует разделить факторы на группы по степе- ни влияния и отсеять несущественные показатели по K-критерию Линка – Уоллеса.
Сумма рангов |
Сумма рангов |
Сумма рангов |
Факторы |
Факторы |
Факторы |
а |
б |
в |
Рис. 1. Типы возможных гистограмм рангов
Для этого для выделенной группы факторов определяют расчетное значение критерия Линка – Уоллеса Kр
14
K |
р |
= |
k(amax − amin ) |
, |
(7) |
k |
|||||
|
|
|
åai |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
где k – число факторов, включенных в группу; ai |
– среднее зна- |
||||
чение суммы рангов ; amax , amin – соответственно максимальное
и минимальное среднее значение суммы рангов. Среднее значе- ние сумм рангов определяют как отношение суммы рангов к ко- личеству экспертов.
Расчетное значение критерия Линка – Уоллеса сравнивают с табличным Kт, которое выбирают при заданном уровне значи-
мости p и числе степеней свободы f1 = M и |
f2 = k (табл. 3). |
Если выполняется условие |
|
Kр ≤ Kт , |
(8) |
то сравниваемые средние ранги факторов, включенные в одну группу, не различаются между собой.
|
Табулированные значения K-критерия Линка – Уоллеса |
Таблица 3 |
|||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
(уровень значимости p = 0,05) |
|
|
|
|
||||
f1 |
|
|
|
|
f2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
9 |
|
10 |
|
|
|
|
|||||||||
2 |
3,43 |
2,35 |
1,74 |
1,39 |
1,15 |
0,39 |
|
0,87 |
0,77 |
|
0,70 |
3 |
1,90 |
1,44 |
1,14 |
0,94 |
0,80 |
0,70 |
|
0,62 |
0,56 |
|
0,51 |
4 |
1,62 |
1,25 |
1,01 |
0,84 |
0,72 |
0,63 |
|
0,57 |
0,51 |
|
0,47 |
5 |
1,53 |
1,19 |
0,96 |
0,81 |
0,70 |
0,61 |
|
0,55 |
0,50 |
|
0,45 |
6 |
1,50 |
1,17 |
0,95 |
0,80 |
0,69 |
0,61 |
|
0,55 |
0,49 |
|
0,45 |
7 |
1,49 |
1,17 |
0,95 |
0,80 |
0,69 |
0,61 |
|
0,55 |
0,50 |
|
0,45 |
8 |
1,49 |
1,18 |
0,96 |
0,81 |
0,70 |
0,62 |
|
0,55 |
0,50 |
|
0,46 |
9 |
1,50 |
1,19 |
0,97 |
0,82 |
0,71 |
0,62 |
|
0,56 |
0,51 |
|
0,47 |
10 |
1,52 |
1,20 |
0,98 |
0,83 |
0,72 |
0,63 |
|
0,57 |
0,52 |
|
0,47 |
11 |
1,54 |
1,22 |
0,99 |
0,84 |
0,73 |
0,64 |
|
0,58 |
0,52 |
|
0,48 |
12 |
1,56 |
1,23 |
1,01 |
0,85 |
0,74 |
0,65 |
|
0,58 |
0,53 |
|
0,49 |
13 |
1,58 |
1,25 |
1,02 |
0,86 |
0,75 |
0,66 |
|
0,59 |
0,54 |
|
0,49 |
14 |
1,60 |
1,26 |
1,03 |
0,87 |
0,76 |
0,67 |
|
0,60 |
0,55 |
|
0,50 |
15 |
1,62 |
1,28 |
1,05 |
0,89 |
0,77 |
0,68 |
|
0,61 |
0,55 |
|
0,51 |
20 |
1,72 |
1,36 |
1,12 |
0,95 |
0,82 |
0,73 |
|
0,65 |
0,59 |
|
0,54 |
50 |
2,23 |
1,77 |
1,45 |
1,22 |
1,06 |
0,94 |
|
0,85 |
0,77 |
|
0,71 |
15
Пример
Рассмотрим процедуру выявления факторов, характери- зующих и влияющих на процесс замеса пшеничного теста в тес- томесильной машине периодического действия.
В качестве показателей экспертам были предложены сле- дующие факторы: X1 – удельная интенсивность замеса; X 2 –
удельная работа замеса; X3 – эффективная вязкость теста; X 4 – температура теста; X5 – подъемная сила; X6 – кислотность тес- та; X7 – влажность теста; X8 – содержание жира (в пересчете на сухое вещество); X 9 – содержание сахара (в пересчете на сухое вещество); X10 – разрыхленность теста; X11 – объем образующе-
гося диоксида углерода.
Для экспертного опроса были приглашены 10 специали- стов, которым предложили проранжировать представленные фак- торы в зависимости от их степени важности. Результаты эксперт- ного опроса и обработки матрицы рангов по формулам (1) – (3) представлены в табл. 4.
По формуле (4) рассчитываем коэффициент конкордации
|
12 × 9981 |
W = |
102 (113 -11)= 0,90 . |
Значение коэффициента конкордации W = 0,90 свидетель- ствует о достаточно высоком согласии всех экспертов относи- тельно порядка убывания влияния факторов.
Так как M > 7, то статистическую значимость коэффициен- та конкордации W проверим по критерию Пирсона (5)
χр2 = |
|
12 × 9981 |
|
= 90,73 . |
|
11×10(11+ |
1) |
||||
|
|
||||
16
|
|
|
|
|
|
Результаты экспертного опроса |
|
|
Таблица 3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Эксперты |
|
|
|
|
|
Откло- |
Квадрат |
Среднее |
|
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
отклоне- |
значение |
Ранг |
|
фактора |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
рангов |
нения |
ний |
сумм |
|
Si − L |
(Si − L)2 |
рангов |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Si |
ai |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X1 |
4 |
3 |
5 |
4 |
3 |
3 |
3 |
4 |
3 |
3 |
35 |
25 |
625 |
3,5 |
3 |
X2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
14 |
46 |
2116 |
1,4 |
1 |
X 3 |
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
16 |
44 |
1936 |
1,6 |
2 |
X 4 |
3 |
4 |
4 |
3 |
4 |
4 |
5 |
3 |
4 |
4 |
38 |
22 |
484 |
3,8 |
4 |
X 5 |
5 |
5 |
3 |
5 |
5 |
9 |
4 |
5 |
6 |
5 |
52 |
8 |
64 |
5,2 |
5 |
X 6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
10 |
6 |
7 |
5 |
6 |
64 |
4 |
16 |
6,4 |
6 |
X 7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
11 |
7 |
6 |
7 |
7 |
73 |
13 |
169 |
7,3 |
7 |
X8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
5 |
8 |
8 |
8 |
8 |
77 |
17 |
289 |
7,7 |
8 |
X 9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
6 |
9 |
9 |
9 |
9 |
87 |
27 |
729 |
8,7 |
9 |
X10 |
10 |
10 |
10 |
10 |
10 |
7 |
10 |
10 |
10 |
10 |
97 |
37 |
1369 |
9,7 |
10 |
X11 |
11 |
11 |
11 |
11 |
11 |
8 |
11 |
11 |
11 |
11 |
107 |
47 |
2209 |
10,7 |
11 |
10
Сравнение расчетного значения |
критерия с табличным |
χт2 =18,31 при числе степеней свободы |
f = N −1 = 10 и уровне |
значимости p = 0,05 показало, что условие (6) выполняется, т. е. χр2 > χт2 . Это свидетельствует о том, что степень согласованности
мнений экспертов не вызывает сомнения.
Построим гистограмму рангов (рис. 2). Анализ гистограм- мы показывает, что все факторы можно разбить на четыре груп-
пы. В первую группу включим факторы X1 , X 2 , X 3 , X 4 ; во вто- рую – X 5 , X 6 ; в третью – X 7 , X8 ; в четвертую – X 9 – X11 .
Сумма рангов
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X2 |
X3 |
X1 |
X4 |
X5 |
X6 |
X7 |
X8 |
X9 |
X10 X11 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
Ранг
Рис. 2. Гистограмма распределения
единичных показателей процесса замеса теста
Проверим с помощью K-критерия Линка – Уоллеса (фор- мула (7)), различаются ли между собой средние ранги факторов, включенных в группы, т. е. образуют ли они в действительности единые группы.
10
Для группы факторов X1 , X 2 , X 3 , |
X 4 имеем |
||
Kр = |
4(3,8 −1,4) |
= 0,93 . |
|
|
|
||
10,3 |
|
|
|
Из табл. 3 при уровне значимости |
p = 0,05 и числе степе- |
||
ней свободы f1 = M = 10, f2 = k = 4 находим табличное значение критерия Линка – Уоллеса Kт = 0,98 . Поскольку Kр < Kт (усло-
вие (8) выполняется), можно считать, что факторы X1 – X 4 об-
разуют единую группу.
Объединим теперь факторы первой и второй групп, т. е. X1 – X 6 . В этом случае
Kр = 6(6,4 − 1,4) =1,37 . 21,9
При уровне значимости p = 0,05, числе степеней свободы f1 = M = 10, f2 = k = 6 имеем табличное значение критерия Линка – Уоллеса Kт = 0,72 . Так как по формуле (8) Kр > Kт , первая и
вторая группы факторов различаются между собой.
Попробуем включить в первую группу из второй только один фактор X 5 . При этом
Kр = 5(5,2 −1,4) =1,23 , 15,5
а Kт = 0,84 при p = 0,05, f1 = M = 10, f2 = k = 5, что также свиде-
тельствует о том, что фактор X 5 не может быть включен в пер- вую группу.
11