30

Раздел I. Теория множеств и бинарные отношения

Литература

1. Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов [Текст] / СбП: Питер, 2000. 304 с.

2. Бугаев Ю. В., Шурупова И. Ю. Теория множеств. Бинарные отношения: Учебное пособие [Компьют.]

3 Юдин Д. Б. Вычислительные методы теории принятия решений [Текст] / М.: Наука, 1989. 320 с.

4. Дискр_1_лекции [Компьют]

Теория множеств составляет основу современной математики. Необходимость ее изучения вытекает из следующих соображений:

1. Теория множеств имеет дело с самыми общими (абстрактными) математическими понятиями, такими, как множества и их элементы, причем не имеет значения, какие именно предметы сдержатся в множестве. Поэтому теоремы, доказанные в рамках теории множеств будут иметь универсальный характер.

2. Символы и выражения теории множеств составляют универсальный язык математики.

Тема 1. Основные понятия теории множеств

1. Множества и их элементы

Для множества не существует строгого определения, поэтому введем описательные понятия множества и его элементов.

Множеством называется совокупность некоторых предметов, объединенных общим признаком. Элементы множества – это те предметы, из которых состоит множество.

Пусть имеется множество А, элементом которого является предмет а. Это записывается как А={а}. Например, А={1, 2, 3}.

Если какой-то элемент а принадлежит множеству А, то это обозначается аА, а если b не принадлежит А, то bА. Например, пусть А – множество четных натуральных чисел, тогда 6А, а 3А.

Пусть имеется два множества А и В, причем все элементы множества А принадлежат множеству В, т.е. если хА, то хB. В этом случае говорят, что множество А включено в множество В. Обозначается: АВ ( – символ нестрогого включения, т.е. возможно совпадение множеств). Множество А совпадает с множеством В (А = В), если все элементы множества В являются элементами множества В и все элементы множества В являются элементами множества А. Это можно записать в виде

(А  В и В  А)  (А = В).

Множество А строго включено в множество В, если все элементы множества А принадлежат множеству В, но не все элементы множества В принадлежат множеству А. Например: А = { 1, 2, 3 }, В = { 0, 1, 2, 3 }, АВ.

Способы задания множеств. Возможны два способа задания множества.

1. Перечислением элементов, т.е. в фигурных скобках дается полное перечисление элементов данного множества. Например: N = {1,2,...,n,...} – множество натуральных чисел.

2. С помощью указания характерного свойства (указание свойства, которым обладают только элементы данного множества). Символически это записывается в виде A={x | P(x)} и читается: A есть множество всех элементов х, обладающих свойством P(x).

При задании множества вторым способом возможны различные противоречия и парадоксы. Рассмотрим примеры таких парадоксов.

1) Парадокс парикмахера: в городе жил парикмахер, который брил всех, кто не брился сам. Кто же брил парикмахера?

2) Пусть имеем натуральное число 11218321 – одиннадцать миллионов двести восемнадцать тысяч триста двадцать один. Это число можно описать с помощью восьми слов. Пусть А – множество натуральных чисел, которые нельзя определить с помощью фразы, имеющей меньше 20 русских слов. Обозначим а_min – наименьшее число из множества А, причем а_minA. Число а_min можно определить следующим образом: наименьшее натуральное число, которое нельзя определить с помощью фразы, имеющей менее двадцати слов. В этой фразе 14 слов. Значит, а_min можно определить с помощью фразы, содержащей менее 20 слов. Тогда получается, что а_min А.

Существует много подобных примеров, когда определение множества оказывалось внутренне противоречиво, однако, выяснение условий, при которых это может иметь место, требует специальных исследований, составляющих предмет математической логики, и выходит за рамки собственно теории множеств. Поэтому в дальнейшем изложении мы не станем касаться спорных случаев, и будем рассматривать лишь множества, которые определяются точно и без противоречий.

В теории множеств имеется специальное множество, называемое пустым множеством (), которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество по определению содержится в любом множестве А (А,  A). Это понятие вводится из следующих соображений. Задавая множество вторым способом не всегда заранее можно быть уверенным, существуют ли элементы, ему принадлежащие. Например, можно говорить о множестве четырехугольников на плоскости, у которых все углы прямые, а диагонали не равны. Только знания основ геометрии позволяют убедиться, что таких четырехугольников не существует и, следовательно, это множество пусто.

Доказательства в теории множеств. Большинство утверждений теории множеств связано с равенством двух множеств или включением одного множества в другое. Поэтому надо детально разобраться в методах доказательства этих фактов.

1. Доказательство включения АВ. Для этого нужно доказать, что любой элемент x, принадлежащий множеству А одновременно является элементом множества В, т.е.

( x  А)   (x  В).

2. Доказательство равенства А = В. Оно сводится к доказательству двух включений А  В и В  А.

Пример 1. Докажем следующую теорему. Для любых множеств А, В и С выполняется закон транзитивности нестрогого включения, т.е. если а) А  В и б) В  С, то из этого следует, что АС.

Доказательство. Пусть x – любой элемент множества А, (xА), тогда в силу условия А  В, по определению нестрогого включения, элемент х принадлежит также и множеству В (хB). Аналогично, используя условие В  С, можно доказать, что х принадлежит С (хС).

Итак, в качестве исходного допущения мы приняли, что x – любой элемент из А. Из этого допущения при выполнении условий а) и б) получено следствие хС. По определению нестрогого включения это означает А  С, что и требовалось доказать.