MODELIROVANIE_metodichka

Другими словами, систему (5) решают n раз, каждый раз при новом значении Bii. В результате решения находят:

Следует отметить, что решение системы уравнений (5) мо- жет быть получено только с точностью до числового множителя.

Далее вычисляют величины:

где i, j = 1, 2, . . ., n.

Очевидно, при каждом значении i = 1, 2, . . ., n выполняется условие нормировки:

При числе факторов n > 2 приведение уравнения к канони- ческому виду требует значительного объема вычислений, поэто- му его следует осуществлять с помощью ЭВМ.

110

Угол поворота ϕ новых координатных осей относительно

старых определяют по формуле

Для двух факторов соотношение между переменными X1 , X2 и Z1 , Z2 в ряде случаев, целесообразно, представить в виде:

может быть представлена на факторной плоскости (x1, x2) линиями постоянных значений функции отклика (рис. 2).

На рис. 2, а поверхность отклика имеет вид «вершины» и соответствует области значений факторов, где расположен мак- симум величины у. Очевидно, аналогичный вид имеют линии по- стоянного уровня и в случае минимума функции у.

Поверхность, изображенная на рис. 2, б, характеризует плавное возрастание функции отклика с уменьшением фактора x1 и увеличением x2. Такую поверхность принято называть «стацио- нарным возвышением».

111

«Хребтом» называется поверхность, показанная на рис. 2, в. Его вершина соответствует наибольшим значениям функции от- клика. Аналогично располагаются линии постоянных значений у и в случае «оврага», дно которого соответствует минимальным значениям функции отклика.

Наконец, на рис. .2, г изображена поверхность, называемая «седлом». На двух ее участках наблюдается возрастание функции отклика, а на двух других – убывание.

Следует отметить, что на практике встречаются поверхно- сти отклика и с более сложной конфигурацией.

Рис. 2. Типы поверхностей отклика

112

Если число факторов больше двух, то для изображения по- верхности отклика пользуются ее двумерными сечениями. С этой целью каждый раз фиксируют все факторы, кроме двух.

Все многообразие поверхностей отклика, описываемых уравнением вида (1), можно разделить на три класса.

Кпервому – относят поверхности, имеющие экстремум (рис. 2, а). В этом случае все коэффициенты канонической формы (1) имеют одинаковые знаки, а центр поверхности находится вблизи центра эксперимента. Анализ таких поверхностей заканчивается после приведения уравнения регрессии к канонической форме.

Исследователю необходимо только поставить несколько опытов вблизи центра поверхности и убедиться, что значения функции отклика, предсказанные уравнением регрессии, достаточно хо- рошо совпадают с экспериментальными данными.

Во второй – входят поверхности типа «стационарного воз- вышения» (рис. 2, б). В этом случае некоторые коэффициенты канонической формы близки к нулю.

Ктретьему – относят поверхности типа «седло» (рис. 2, г). Они характеризуются тем, что коэффициенты канонической фор- мы имеют разные знаки, а центр поверхности находится поблизо- сти от центра опыта.

Имея дело с поверхностями отклика типа «стационарное возвышение» или «седло», исследователь должен пользоваться методами вычислительной математики и средствами вычисли-

тельной техники для нахождения условного экстремума критерия оптимальности с учетом ограничений, наложенных на влияющие факторы и остальные функции отклика.

Пример 1

Для построения математической модели, отражающей за- висимость эффективной вязкости помадной массы y (Па×с) от температуры x1 (°С) и массовой доли влаги x2 (%) при значении градиента скорости γ& = 5 с-1, было использовано ЦКРП, характе- ристики которого представлены в табл. 1.

113

Эксперименты проводили согласно матрице планирования с применением рандомизации. Каждый опыт дублировали два раза. В табл. 2 даны средние значения функции отклика по ре- зультатам двух параллельных опытов.

Обработку результатов ЦКРП проводили по типовой мето- дике. При этом были рассчитаны коэффициенты уравнения рег- рессии, определена значимость каждого из них. Установлено, что в соответствии с критерием Стьюдента, все коэффициенты явля- ются значимыми. Адекватность полученного уравнения регрес- сии устанавливали по критерию Фишера. Сравнение расчетного значения критерия Фишера с табличным показало, что уравнение регрессии адекватно описывает поверхность отклика.

114

Полученное уравнение регрессии в кодированных пере- менных выглядит следующим образом:

y = 475,25 -144,03X1 - 30,19X 2 + 9,25X1 X 2 + 47,62X12 +11,41X 22 .

Уравнение регрессии позволяет не только предсказать зна- чения функции отклика (эффективной вязкости) для заданных условий проведения эксперимента, но и дает информацию о фор- ме поверхности отклика. Исследование этой поверхности необ- ходимо для выбора оптимальных значений температуры и влаж- ности помадной массы.

Приведем уравнение регрессии к каноническому виду. Дифференцируя его по X1 и X 2 , составим систему алгебраиче-

Подставляя найденные значения в исходное уравнение, рассчи- таем значение функции отклика в центре поверхности Ys = 360,36 .

Составим характеристические уравнения в виде (3):

47,62 - B 0,5 × 9,25 = 0 , 0,5 × 9,25 11,41 - B

решая которое, находим его корни B11 = 48,2 и B22 = 10,83 . Уравнение регрессии в канонической форме примет вид:

Y = 360,36 + 48,21Z12 +10,83Z22 .

115

Как видно из этого уравнения, коэффициенты канониче- ской формы имеют положительные одинаковые знаки. Это дает основание предполагать, что исследуемая поверхность является экстремальной и имеет вид «впадины».

Перейдем к нахождению соотношений между координата- ми X1 , X 2 и Z1 , Z2 . Составим для этого систему уравнений: по форме (5)

ì (47,62 - 48,21)m11 + 0,5 × 9,25 × m12 = 0, íî0,5 × 9,25 × 9,25m11 + (11,41 -10,83)m12 = 0,

решая которое относительно m11 и m12 , получим m11 = 7,96 × m12 .

Решение данной системы уравнений возможно только с точностью до числового множителя, поэтому, полагая m12 = 1,

116

Представим связь между координатами в виде (9)

Z1 = 0,99(X1 -1,44)+ 0,12(X 2 - 0,73),

Z2 = 0,12(X1 -1,44)+ (X2 - 0,73)

или после преобразований

Z1 = 0,99X1 + 0,12X 2 -1,5 ,

Z2 = 0,12X1 + X 2 - 0,9 .

Угол поворота j новых координатных осей относительно старых в соответствии с формулой (10) равен ϕ = 7,01 . Он поло-

жительный, следовательно, новые координатные оси при канони-

ческом преобразовании повернуты относительно старых против часовой стрелки.

Пример 2

Для изучения адгезионных и реологических свойств теста было применено центральное композиционное ротатабельное планирование. В качестве функций отклика были использованы следующие показатели: адгезионная прочность теста y1 (Н) и эф- фективная вязкость теста y2 (Па×с); в качестве факторов, влияю- щих на реологические свойства, были выбраны – массовая доля ПАВ x1 (%) и pH используемой для замеса теста воды x2 (ед. pH). Пределы их изменения представлены в табл. 3.

117

Эксперименты проводили согласно матрице планирования с использованием рандомизации, каждый опыт дублировали два раза. В табл. 4 представлены средние арифметические значения функций отклика y1 и y2, полученных по результатам двух парал- лельных опытов.

При обработке данных были применены следующие стати- стические критерии: Стьюдента – для проверки значимости ко- эффициентов уравнения регрессии; Фишера – для проверки адек- ватности регрессионного уравнения. В результате были получены уравнения, адекватно описывающие зависимости адгезионной прочности и эффективной вязкости теста от изучаемых факторов:

y1 = 7,79 − 0,59X1 + 0,54X 2 + 0,37X1 X 2 + 0,15X12 + 0,39X 22 ;

y2 = 4,84 ×103 + 0,26 ×103 X1 + 0,06 ×103 X 2 - 0,002 ×103 X1 X 2 - - 0,3×103 X12 + 0,19 ×103 X 22 .

Приведем регрессионные уравнения к каноническому виду. Для этого находим координаты центра из систем уравнений, по- лученных дифференцированием уравнений регрессии по X1 и X2, приравняв частные производные к нулю:

118

¶Y1 = -0,59 + 0,37X 2 + 0,3X1 = 0 ,

¶X1

¶Y1 = 0,54 + 0,37X1 + 0,78X 2 = 0

¶X2

откуда определяем X1s = 6,8 и X1s = -3,89 .

¶Y2 = 0,26×103 - 0,002×103 X 2 - 0,6×103 X1 = 0 ,

¶X1

¶Y2 = 0,06×103 - 0,002×103 X1 + 0,38×103 X 2 = 0

¶X2

откуда находим X1s = 0,44 и X1s = 0,16 .

Подставляя найденные значения в исходные уравнения,

вычисляем значения функций отклика в центре поверхности

Y1s = 4,73 и Y2s = 4,91×103 .

Составляя для каждого регрессионного уравнения характе- ристический полином, решая его, определяем корни. Для функ- ции отклика y1 имеем: B11 = 0,1 и B22 = 0,4 . В функции отклика y2

B11 = -0,34 и B22 = 0,20 .

Окончательно уравнения регрессии в канонической форме примут вид:

Y1 - 4,73 = 0,1Z12 + 0,4Z22 ,

Y2 - 4,91×103 = -0,31×103 Z12 + 0,2 ×103 Z22 .

Как видно из уравнений, исследуемые двумерные поверх- ности имеют вид эллипсоида и гиперболоида соответственно,

причем в центре эллипсоида имеет место минимум выходного параметра, на что указывает знак “+” перед каноническими ко- эффициентами. На рис. 3 и 4 представлены кривые равных значе- ний адгезионной прочности и эффективной вязкости теста в зави- симости от содержания ПАВ и pH воды, идущей на замес теста.

119