MODELIROVANIE_metodichka

Из представленных графических зависимостей видно, что можно получать равные значения адгезионной прочность теста y1 и эффективной вязкости теста y2, изменяя сочетание входных па- раметров X1 и X2, т. е. можно выбирать различные комбинации содержания ПАВ и pH, используемой для замеса воды, для полу- чения теста с заданными реологическими и адгезионными свой- ствами.

Задание

Уравнение регрессии второго порядка, полученное в прак- тической работе № 11, привести к канонической форме. Постро-

ить линии равных значений функции отклика и выполнить анализ конфигурации поверхности отклика. Рассчитать угол поворота новых координатных осей относительно старых. Установить за- висимость между координатными переменными при канониче- ском преобразовании.

Контрольные вопросы

1.Какие виды поверхностей отклика Вы знаете?

2.Как рассчитать коэффициенты канонической формы?

3.Как по уравнению регрессии, записанному в канониче- ской форме, определить вид поверхности отклика?

4.Что такое поверхность отклика? Как графически ее мож- но представить?

5.В чем заключается приведение уравнения регрессии вто- рого порядка к канонической форме?

6.Как рассчитать угол поворота новых координатных осей относительно старых при каноническом преобразовании?

7.Как установить зависимость между координатными пе- ременными при каноническом преобразовании?

8.Какой подход используют при графическом изображении поверхностей отклика при числе факторов, большем двух?

121

Практическая работа № 13 ОПТИМИЗАЦИЯ МЕТОДОМ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА

Цель работы: 1) ознакомить с методами оптимизации целе- вых функций; 2) овладеть практическими навыками оптимизации.

Рекомендуемая литература: [2, 7].

Теоретические сведения

Метод неопределенных множителей Лагранжа, относящий- ся к аналитическим методам оптимизации, позволяет определить экстремум целевой функции нескольких переменных, заданной аналитически, при условии, что на независимые переменные на-

дачи вводится вспомогательная функция Лагранжа, представ-

ляющая собой сумму

m

F(х1,......хn ,λ1,......λm )= f (x1,....xn )+ åλiϕi (x1,....xn ). (1)

i=1

Координаты экстремальных точек целевой функции в этом случае определяются решением системы уравнений, получаемой приравниванием нулю частных производных от функции (1) по всем независимым переменным xk (k =1,...,n)и по всем множите-

лям Лагранжа λi (i =1,...,m). При этом получается система урав- нений:

122

содержащая n + m уравнений, из которых можно исключить m неопределенных множителей Лагранжа, имеющих вспомогатель- ное значение, и найти координаты экстремальных точек, которых может быть несколько.

Каждое ограничение добавляет одно уравнение, и при этом вводится один множитель Лагранжа.

Представленный метод с успехом может быть использован при оптимизации целевых функций, представленных в виде урав- нений регрессий второго порядка, полученных по результатам ЦКРП. При этом на независимые переменные накладывается ог- раничение: значения факторов X1 ,…, X n не должны выходить за

область эксперимента, границы которой определяются значения- ми факторов в звездных точках. Указанное ограничение аналити-

чески может быть записано в виде выражения

что в факторном пространстве (для случая двух независимых пе- ременных) представляет собой сферу с центром в центре экспе- римента и с радиусом ρ (на факторной плоскости – окружность с радиусом ρ. Значение ρ при этом равно величине звездного пле- ча.

Следует помнить, что при составлении функции Лагранжа,

ограничения должны быть представлены в виде равенства

ϕi (x1, x2 ,.......xn )= 0 .

Так, для двухфакторной задачи оптимизации с учетом ог- раничения (3), функция Лагранжа, записанная в виде (1), прини-

123

F(l,b,h,λ1,λ2 )= 2(l × h + b × h + l × b)+ λ1(h - h0 )+ λ2 (l × b × h -V )

.

Дифференцируя последнее уравнение по переменным l, b, h и неопределенным множителям Лагранжа λ1, λ2, составим систе- му уравнений:

λ2 = - 2(h + b); bh

λ1 = -2(l + b)- lb - 2(h + b) = 2b (l - h). bh h

Подставим λ2 во второе уравнение

2(h + l)+ - 2(h + l)lh = 2h (b - l)= 0. bh b

Получим систему из трех уравнений:

125

ìï2bh (b - l)= 0; ïí h - h0 = 0;

ïï lbh -V = 0.

î

Решая последнюю систему уравнений, получим:

Подставляя в последние выражения V = 2 м3 и h0 = 1 м, окончательно получим l = 1,414 м, b = 1,414 м и h = 1 м. Площадь поверхности сборника для сахаро-паточного сиропа составит

S = 2[(1,414 +1,414)1 +1,414 ×1,414]= 9,656 м2.

Нетрудно убедиться, что любые другие размеры l и b при высоте сборника равна h0 = 1 м дадут большее значение площади поверхности сборника, т. е. больший расход нержавеющей стали на его изготовление.

Пример 2

Одним из направлений совершенствования существующих технологий шоколадного производства является электрохимиче- ская обработка какао-продуктов, позволяющая повысить выход какао-масла при прессовании и улучшить ароматические свойст- ва шоколадных изделий. Для изучения изменения физико- химических свойств какао-крупки в процессе электрохимической обработки было использовано центральное композиционное рота- табельное планирование. В качестве функции отклика y принято содержание жира (%) в какао-крупке; в качестве независимых фак- торов х1 – величина силы тока (А), х2 – продолжительность элек- трохимической обработки (мин) (табл. 1, 2). Эксперимент прово- дился на специальной установке для электрохимической обра- ботки пищевых продуктов. Содержание липидов в какао-крупке определялось рефрактометрическим методом.

126

Обработку результатов ЦКРП проводили по типовой мето- дике. При этом были рассчитаны коэффициенты уравнения рег- рессии. Установлено, что в соответствии с критерием Стьюдента все коэффициенты являются статистически значимыми. Адекват- ность полученного уравнения устанавливали по критерию Фише- ра. Сравнение расчетного значения критерия с табличным показало, что уравнение регрессии адекватно описывает поверхность отклика.

Полученное уравнение регрессии в кодированных пере- менных выглядит следующим образом:

y = 59,23 + 0,609X1 + 0,3X 2 −1,27X1 X 2 −1,707X12 − 0,767X 22 ,

где X1, X2 – соответственно, кодированные значения силы тока, А и продолжительность электрохимической обработки, мин.

127

При анализе коэффициентов при линейных членах уравне- ния регрессии установлено, что на содержание липидов в какао- крупке наибольшее влияние оказывает сила тока. Общее содер- жание свободных липидов в какао-крупке с увеличением силы тока возрастает. Следует отметить, что большое значение имеет межфакторное взаимодействие, оно оказывает нежелательное влияние на содержание свободных липидов. Длительное воздей- ствие электрического поля приводит к потерям какао-масла в процессе обработки, что видно из рис. 1.

Кроме полученного уравнения регрессии, представляет ин- терес исследование поверхности отклика с целью получения оп- тимального соотношения параметров. В качестве критерия опти- мальности примем максимум содержания липидов в какао-крупке

сучетом граничных условий изменения независимых переменных.

Сэтой целью уравнение регрессии приведем к канониче-

ской форме

y − 59,3 = −0,448X12 − 2,027X 22 .

Как видно из уравнения, исследуемая двухмерная поверх- ность представляет собой эллипсоид, причем в центре поверхно- сти имеет место максимум выходного параметра, на что указыва- ет знак “–” перед каноническими коэффициентами. На рис. 2

представлены кривые равных значений содержания липидов в какао-крупке в зависимости от продолжительности обработки и величины силы тока.

Для определения оптимальных режимов электрохимиче- ской обработки какао-крупки воспользуемся методом неопреде- ленных множителей Лагранжа.

Для этого составим функцию Лагранжа (4), представляю- щую собой сумму целевой функции и ограничения (3)

F(X1, X 2 ,λ)= 59,23 + 0,609X1 + 0,3X 2 − 1,27X1X 2 − −1,707X12 − 0,767X 22 + λ(X12 + X 22 − ρ 2 ).

128

122