MODELIROVANIE_metodichka
.pdfПреобразуем систему (4) к виду:
N |
N |
N |
åyi = b0 |
å1 + b1 |
åxi , |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
N |
N |
N |
åxi yi = b1åxi + b1åxi2 . |
||
i=1 |
i=1 |
i=1 |
Решение системы (5) имеет вид:
|
N |
N |
N |
N |
||
|
åxi2 |
åyi - åxi yi åxi |
||||
b = i =1 |
i =1 |
i =1 |
i=1 ; |
|||
0 |
|
N |
æ |
N |
ö2 |
|
|
|
|
||||
|
N åxi2 |
- çç |
åxi ÷÷ |
|||
|
|
i =1 |
è i =1 |
ø |
|
|
|
|
N |
N |
N |
|
||
|
|
N åxi yi - åyi åxi |
|
||||
b1 |
= |
i=1 |
i =1 |
i =1 |
. |
||
N |
æ |
N |
ö2 |
||||
|
|
|
|||||
|
|
N åxi2 |
- çç |
åxi ÷÷ |
|
||
|
|
i =1 |
è i =1 |
ø |
|
||
(5)
(6)
(7)
Таким образом, выражения (6) и (7) позволяют определить значения коэффициентов уравнения регрессии (1), минимизи- рующих сумму квадратов отклонений расчетных значений функ- ции отклика от экспериментальных.
В общем случае зависимость между величинами y и x носит вероятностный, или стохастический характер. Это означает, что при известном х нельзя точно указать значение y. При этом раз- личают два вида связи между величинами y и x: функциональную и стохастическую.
Линейная функциональная связь между входной переменой x и выходным параметром y имеет место в том случае, если все экспериментальные точки располагаются на прямой регрессии.
150
Стохастическая зависимость может быть более или менее тесной. В одном крайнем случае наиболее тесной связи между вели- чинами стохастическая зависимость обращается в функциональную, если, зная значение одной из них, можно точно указать значение другой. В другом крайнем случае стохастической связи наблюда- ется полная независимость случайных величин.
Для оценки тесноты связи между величинами y и x вычис- ляют коэффициент парной корреляции r:
|
|
|
|
N |
|
N |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N åxi yi - åxi |
å yi |
|
|
|
|
|
|
||||
r = |
|
|
i =1 |
|
i=1 i=1 |
|
|
|
|
|
. |
(8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
é N |
æ |
N |
ö2 |
ùé N |
|
æ |
N |
ö2 |
ù |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
êN åxi2 |
- çç |
åxi ÷÷ |
úêN åyi2 |
- çç |
åyi ÷÷ ú |
|
||||||
ê |
è i =1 |
ø |
úê |
|
è i =1 |
ø |
ú |
|
|
|
||||
|
|
ë i =1 |
ûë i=1 |
û |
|
|
|
|||||||
Коэффициент парной корреляции может принимать значе- ния, лежащие в диапазоне −1 ≤ r ≤ 1 . Чем ближе значение коэф- фициента парной корреляции r к ± 1, тем теснее связь между ве- личинами y и x и тем ближе изучаемая зависимость к функцио- нальной.
Адекватность полученного регрессионного уравнения уста- навливают с помощью критерия Фишера, который вычисляют по
формуле
|
max(S 2 |
;S 2 |
) |
|
|
F = |
y |
ост |
|
, |
(9) |
min(S y2 |
|
) |
|||
р |
;Sост2 |
|
|
||
|
|
|
где S y2 – оценка дисперсии относительно среднего; Sост2 – оценка остаточной дисперсии, которые рассчитывают по формулам:
151
|
|
N |
æ |
N |
ö2 |
|
|
||||
|
|
åyi2 |
- |
1 |
çç |
åyi ÷÷ |
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
i=1 |
|
N è |
i=1 |
ø |
|
|
||||
S y |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(10) |
|
|
N -1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
åN (yi - yiр )2 |
|
|
|
|||||
Sост2 = |
i=1 |
|
|
|
|
. |
|
|
(11) |
||
N - 2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Уравнение регрессии адекватно описывает результаты экс- |
|||||||||||
перимента, если выполняется условие |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Fр > Fт , |
|
|
(12) |
||||
где Fт – табличное значение критерия Фишера (см. прил. 2) для принятого уровня значимости p и числа степеней свободы числителя
f1 и знаменателя f2.
Метод наименьших квадратов, как было отмечено выше, позволяет строить нелинейные регрессионные уравнения, допус- кающие линеаризацию. К числу таких зависимостей относятся некоторые логарифмические, степенные, экспоненциальные и ряд других зависимостей (прил. 6).
Построение нелинейной регрессионой модели в этом случае сводится к следующему: с помощью соответствующих линеари- зующих преобразований (см. прил. 6) изменяют переменные y и x, в
результате этого получают линеаризованнные переменные y' и x' .
Записав уравнение регрессии в виде
y' = b0' + b1' x' ,
используя МНК, по формулам (6) и (7) определяют коэффициен- ты b0' и b1' , после чего выполняют обратные преобразования – по b0' и b1' вычисляют коэффициенты b0 и b1 исходного нелинейного уравнения регрессии, используя соответствующие преобразова-
152
ния (см. прил. 6). Адекватность полученного регрессионного уравнения устанавливается по критерию Фишера (9), предвари- тельно рассчитав оценки дисперсии относительно среднего и ос- таточной дисперсии.
Пример 1
Применяя МНК, построить математическую модель, отра- жающую зависимость адгезионной прочности теста y (кПа) от продолжительности контактирования x (мин):
x, мин |
0 |
30 |
60 |
90 |
120 |
150 |
180 |
210 |
||||||
y, кПа |
4,3 |
5,8 |
7,1 |
9,2 |
9,5 |
11,0 |
13,4 |
14,9 |
||||||
Результаты вычислений даны в виде табл. 1. |
|
|
|
|||||||||||
|
Обработка результатов по методу наименьших квадратов |
Таблица 1 |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||
№ опыта |
|
|
|
xi |
|
yi |
|
|
|
xiyi |
xi2 |
|
|
yi2 |
1 |
|
0 |
|
4,3 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
18,49 |
||
2 |
|
30 |
|
5,8 |
|
|
|
174 |
900 |
|
|
33,64 |
||
3 |
|
60 |
|
7,1 |
|
|
|
426 |
3600 |
|
|
50,41 |
||
4 |
|
90 |
|
9,2 |
|
|
|
828 |
8100 |
|
|
84,64 |
||
5 |
|
120 |
|
9,5 |
|
|
|
1140 |
14400 |
|
|
90,25 |
||
6 |
|
150 |
|
11,0 |
|
|
|
1650 |
22500 |
|
|
121,0 |
||
7 |
|
180 |
|
13,4 |
|
|
|
2412 |
32400 |
|
|
179,56 |
||
8 |
|
210 |
|
14,9 |
|
|
|
3129 |
44100 |
|
|
222,01 |
||
Сумма |
|
840 |
|
75,2 |
|
|
|
9759 |
126000 |
|
|
800,0 |
||
Коэффициенты b0 и b1 рассчитываем по (6) и (7): |
|
|||||||||||||
b |
= |
|
126000×75,2 - 9759×840 |
= 4,225 ; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
8×126000 - 840×840 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
b = |
8×9759 -840×75,2 |
= 0,049 . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
8×126000 -840×840 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, уравнение регрессии, построенное по ре- зультатам эксперимента, имеет вид
153
y = 4,225 + 0,049x .
Для оценки тесноты связи между входной переменной x и выходной y по формуле (8) вычисляем коэффициент парной кор- реляции:
r = |
8×9759 -840×75,2 |
= 0,99 . |
[8×126000 -840×840][8×800 - 75,2 ×75,2] |
Значение r = 0,99 говорит о достаточно тесной связи между переменными.
Чтобы установить адекватность полученного уравнения регрессии, предварительно рассчитаем оценку дисперсии относи- тельно среднего и оценку остаточной дисперсии (табл. 2).
|
|
|
|
|
|
|
Расчет оценок дисперсий |
|
|
|
Таблица 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
№ опыта |
|
|
xi |
|
|
yi |
|
yiр |
yi − yiр |
|
|
(yi - yiр )2 |
||
1 |
|
|
0 |
|
|
|
4,3 |
|
4,22 |
0,08 |
|
|
0,00064 |
|
2 |
|
|
30 |
|
|
|
5,8 |
|
5,69 |
0,11 |
|
|
0,0121 |
|
3 |
|
|
60 |
|
|
|
7,1 |
|
7,16 |
-0,06 |
|
|
0,0036 |
|
4 |
|
|
90 |
|
|
|
9,2 |
|
8,63 |
0,57 |
|
|
0,3249 |
|
5 |
|
|
120 |
|
|
9,5 |
|
10,10 |
-0,6 |
|
|
0,36 |
||
6 |
|
|
150 |
|
|
11,0 |
|
11,57 |
-0,57 |
|
|
0,3249 |
||
7 |
|
|
180 |
|
|
13,4 |
|
13,04 |
0 |
|
|
0 |
|
|
8 |
|
|
210 |
|
|
14,9 |
|
14,51 |
0,39 |
|
|
0,1521 |
||
Сумма |
|
|
840 |
|
|
75,2 |
|
74,96 |
-0,08 |
|
|
0,853 |
||
Оценки дисперсий, в соответствии с формулами (10) и (11), |
||||||||||||||
равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
800 - |
|
75,2 |
×75,2 |
|
|
|
0,853 |
= 0,142 . |
||||
S y2 |
= |
8 |
= 13,3; |
Sост2 |
= |
|||||||||
8 -1 |
|
8 - 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
По формуле (9) вычисляем критерий Фишера:
Fр =13,3
0,142 = 93,66 .
154
Табличное значение критерия Фишера, при уровне значи- мости р = 0,05 и числе степеней свободы числителя f1 = 7 и зна- менателя f2 = 6 (см. прил. 2) равно Fт = 4,21. Сравнение расчетно- го критерия Фишера и табличного значений показало, что усло- вие (12) выполняется, это говорит об адекватности полученного уравнения регрессии.
Пример 2
Используя метод наименьших квадратов, построить мате- матическую модель, отражающую зависимость максимального удельного усилия резания y (кН/м) конфетного жгута пластинча- тым ножом от скорости резания x (мм/мин):
x, мм/мин |
25 |
50 |
75 |
100 |
125 |
150 |
175 |
200 |
y, кН/м |
4,00 |
4,20 |
4,30 |
4,40 |
4,45 |
4,48 |
4,49 |
4,50 |
Для описания зависимости максимального удельного уси-
лия резания конфетного жгута пластинчатым ножом от скорости резания принимаем степенную зависимость вида
y = axb .
Приведемуравнениеклинейномувиду. Логарифмируя, получим
ln y = ln a + bln x .
Вводя линеаризующую замену переменных
Y = ln y ; X = ln x ; b0 = ln a ; b1 = b ,
представим степенное уравнение в линейной форме
Y = b0 + b1 X .
Коэффициенты b0 и b1 определим МНК. Результаты пред- варительных вычислений представим в табл. 3.
155
По формулам (6) и (7) рассчитываем коэффициенты b0 и b1
линеаризованного уравнения регрессии: |
|
|
|
|||||
b |
= 168,68×11,7601- 53,6451×36,355 = 1,2044 ; |
|
||||||
0 |
8×168,68 - 36,356×36,356 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
b = 8×53,6451- 36,355×11,7601 = 0,0585 . |
|
|
||||||
1 |
8×168,68 - 36,356×36,356 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
Результаты предварительных вычислений |
Таблица 3 |
|||||
|
|
|
||||||
№ опыта |
|
xi |
yi |
Yi |
Xi |
XiYi |
Xi2 |
Yi2 |
1 |
|
25 |
4,0 |
1,386 |
3,219 |
4,462 |
10,361 |
1,921 |
2 |
|
50 |
4,20 |
1,435 |
3,912 |
5,614 |
15,304 |
2,059 |
3 |
|
75 |
4,30 |
1,458 |
4,317 |
6,297 |
18,641 |
2,127 |
4 |
|
100 |
4,40 |
1,481 |
4,605 |
6,823 |
21,208 |
2,195 |
5 |
|
125 |
4,45 |
1,492 |
4,828 |
7,208 |
23,313 |
2,228 |
6 |
|
150 |
4,48 |
1,499 |
5,011 |
7,514 |
25,106 |
2,248 |
7 |
|
175 |
4,49 |
1,502 |
5,165 |
7,756 |
26,675 |
2,255 |
8 |
|
200 |
4,50 |
1,504 |
5,298 |
7,969 |
28,072 |
2,262 |
Σ |
|
900 |
34,82 |
11,760 |
36,356 |
53,645 |
168,68 |
17,299 |
Выполняя обратные преобразования, получим значения ко-
эффициентов степенного уравнения: |
|
a = eb0 = e1,2044 = 3,3348 ; |
b = b = 0,0585 . |
1
Итак, уравнение регрессии, построенное по результатам опыта, имеет вид
y = 3,3348x0,0585 .
По формуле (8) находим коэффициент парной корреляции, чтобы оценить тесноту связи между входной переменной x и вы- ходной y
r = |
8×53,6451- 36,355×11,7601 |
[8×168,88 - 36,355×36,355][8×17,2994 -11,7601×11,7601] = 0,998. |
Значение коэффициента парной корреляции r = 0,998 гово- рит о достаточно тесной связи между переменными.
Для установления адекватности полученного уравнения регрессии предварительно определяем оценку дисперсии относи- тельно среднего и оценку остаточной дисперсии (табл. 4).
156
|
|
|
|
|
|
Расчет оценок дисперсий |
Таблица 4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
№ опыта |
|
|
xi |
yi |
|
yiр |
|
yi − yiр |
(yi − yiр )2 |
||
1 |
|
25 |
4,00 |
4,026 |
|
-0,026 |
0,000676 |
||||
2 |
|
50 |
4,20 |
4,192 |
|
0,008 |
0,000064 |
||||
3 |
|
75 |
4,30 |
4,293 |
|
0,007 |
0,000049 |
||||
4 |
|
100 |
4,40 |
4,366 |
|
0,034 |
0,001156 |
||||
5 |
|
125 |
4,45 |
4,423 |
|
0,027 |
0,000729 |
||||
6 |
|
150 |
4,48 |
4,471 |
|
0,009 |
0,000081 |
||||
7 |
|
175 |
4,49 |
4,511 |
|
-0,021 |
0,000441 |
||||
8 |
|
200 |
4,50 |
4,547 |
|
-0,047 |
0,002209 |
||||
Σ |
|
900 |
34,82 |
|
|
|
0,005405 |
||||
|
По |
формулам (10) и (11) определяем оценки дисперсий |
|||||||||
|
151,773- |
1 |
34,82 |
×34,82 |
|
|
|
0,005405 |
|
||
S y2 = |
|
8 |
= 0,03128 ; Sост2 |
= |
= 0,0009 . |
||||||
|
8 -1 |
|
8 - 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По формуле (.9) вычисляем критерий Фишера:
Fр = 0,03128
0,0009 = 34,75 .
|
4,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
кПа |
|
|
|
|
|
|
|
|
4,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4,4 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
4,3 |
|
|
|
|
|
|
|
4,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
50 |
75 |
100 |
125 |
мм/мин |
200 |
|
|
150 |
175 |
||||||
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
Рис. 2. Зависимость максимального
удельного усилия резания конфетного жгута пластинчатым ножом
от скорости резания
Табличное значение критерия Фишера при уровне значимости р = 0,05 и числе степеней сво- боды числителя f1 = 7 и знаменателя f2 = 6 (см. прил. 2) равно Fт = 4,21.
Сравнение расчетного критерия Фишера и таб- личного значений показы- вает, что условие (12) вы- полняется, это говорит об
адекватности полученного уравнения регрессии.
График, построенный
по уравнению y = 3,3348x0,0585 , представлен на рис. 2 (точки – это экспериментальные значения).
157
Задание
Выполнить обработку экспериментальных данных, подоб- рав уравнение регрессии, вычислив его коэффициенты и устано- вив адекватность.
Вариант 1
Моделируется процесс резания конфетного жгута пластин- чатым ножом. В качестве функции отклика y принято макси- мальное удельное усилие резания конфетного жгута пластинча- тым ножом (кН/м); в качестве независимой переменной x – ско- рость резания (мм/мин). Результаты эксперимента представлены ниже:
х, мм/мин |
25 |
50 |
75 |
100 |
125 |
150 |
175 |
200 |
y, кН/м |
4,0 |
4,2 |
4,3 |
4,4 |
4,45 |
4,48 |
4,49 |
4,5. |
Вариант 2
Моделируются реологические свойства помадной массы. В качестве функции отклика y принята скорость сдвига помадной массы (с-1); в качестве независимой переменной x – напряжение сдвига (Па). Результаты опыта представлены ниже:
х, Па |
600 |
800 |
1000 |
1400 |
1600 |
1700 |
1800 |
1900 |
y, с-1 |
2 |
4 |
10 |
23 |
38 |
50 |
70 |
100. |
Вариант 3
Моделируются адгезионные свойства теста. В качестве функции отклика y принята адгезионная прочность теста (кПа); в качестве независимой переменной x – продолжительность кон- тактирования (мин). Результаты представлены ниже:
х, мин |
0 |
30 |
60 |
90 |
120 |
150 |
180 |
210 |
y, кПа |
4,3 |
5,8 |
7,1 |
9,2 |
9,5 |
11,0 |
13,4 |
14,9. |
158
Вариант 4
Моделируются адгезионные свойства теста. В качестве функ- ции отклика y принята адгезионная прочность теста (кПа); в качестве независимой переменной x – нагрузка контактирования (Н). Резуль- таты даны ниже:
х, Н |
300 |
500 |
700 |
900 |
1100 |
1300 |
1500 |
1700 |
y, кПа |
4,8 |
5,5 |
7,2 |
9,0 |
9,8 |
11,5 |
13,2 |
15,0. |
Вариант 5
Моделируются адгезионные свойства теста. В качестве функции отклика y принята адгезионная прочность теста (кПа); в качестве независимой переменной x – влажность теста (%). Ре- зультаты опыта представлены ниже:
х, % |
38 |
40 |
42 |
44 |
46 |
48 |
50 |
52 |
y, кПа |
3,0 |
3,2 |
3,6 |
4,0 |
4,2 |
4,5 |
4,9 |
5,1. |
Вариант 6
Моделируются структурно-механические свойства караме- ли. В качестве функции отклика y принята плотность карамели (кг/дм3); в качестве независимой переменной x – содержания на- чинки (%). Результаты эксперимента представлены ниже:
х, % |
20 |
22 |
24 |
26 |
28 |
30 |
32 |
34 |
y, кг/см3 |
2,6 |
1,5 |
1,1 |
1,0 |
0,8 |
0,6 |
0,43 |
0,19. |
Вариант 7
Моделируется процесс замеса теста. В качестве функции отклика y принята температура теста (°С), в качестве независи- мой переменной x – продолжительность замеса (с). Результаты эксперимента представлены ниже:
159