1. Производные высших порядков Понятие производных высших порядков

Пусть функция дифференцируема в некотором интервале. Тогда её производная , вообще говоря, зависит отх , то есть является функцией от х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании производной.

Определение. Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной и обозначается символом или, то есть

.

Пример 1. Найти вторую производную от функции .

Решение. Найдем первую производную функции:

.

Находим вторую производную как производную первой производной:

.

Определение. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается символом или.

Определение. Производной n-ого порядка функции называется первая производная от производной (n-1)-го порядка данной функции и обозначается символом или:

.

Определение. Производные порядка выше первого называются высшими производными.

Пример 2. Найти производную четвертого порядка функции .

Решение. Находим последовательно первую, вторую, третью и четвертую производные:

, ,,.

Пример 3.Найти производную n-ого порядка для функции (k-const).

Решение. Имеем:

, ,,.

Пример 4. Найти производную n-ого порядка для функции .

Решение. Имеем:

,

,

,

,

.

Замечание. Аналогично можно получить формулу n-ой производной функции :

.

Пример 5. Найти производную n-ого порядка для степенной функции , гдеи- любое вещественное число.

Решение. Дифференцируя последовательно, получим:

, ,,

.

В частном случае, когда , гдеm – натуральное число, получим:

, при.

Замечание. При строгом выводе формулы для производной n-ого порядка следует применять метод математической индукции.

Вторая производная параметрически заданной функции

Если функция задана параметрически уравнениями , то для нахождения производной второго порядка нужно продифференцировать выражение для её первой производной, как сложной функции независимой переменной.

Так как , то

,

и с учетом того, что

,

получим

, то есть

.

Аналогично можно найти третью производную

.

Пример 7. Найти вторую производную параметрически заданной функции ,.

Решение.,

.

Формула Лейбница

Для нахождения производной n-ого порядка от произведения двух функций большое практическое значение имеет формула Лейбница.

Пусть u и v - некоторые функции от переменной х, имеющие производные любого порядка и y=uv. Выразим n-ую производную через производные функцийu и v.

Имеем последовательно

,

,

.

Легко подметить аналогию между выражениями для второй и третьей производных и разложением бинома Ньютона соответственно во второй и третьей степенях, но вместо показателей степени стоят числа, определяющие порядок производной, а сами функции можно рассматривать как «производные нулевого порядка». Учитывая это, получим формулу Лейбница:

. (2)

Эту формулу можно доказать методом математической индукции.

Пример. Найти пятую производную функции .

Решение. Положим и. Найдем,,,,;. Подставляя эти выражения в формулу Лейбница при, получим

.