L№4(Случайные Величины)

1.Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины

В разделе, посвященном элементарной теории вероятностей, мы рассматривали качественную характеристику случайного результата опыта, какой является случайное событие. Теперь предметом нашего изучения будут являться переменные величины, которые характеризуют случайный результат опыта количественно и принимают то или иное из своих возможных значений в зависимости от исхода испытания. Например, число очков, выпадающее при бросании одной игральной кости, количество выстрелов при стрельбе до первого попадания в мишень, количество вызовов на телефонной станции за один час, координаты точек попадания в мишень, число самолетов, сбитых в воздушном бою и др.

Определение. Случайной величиной называется переменная величина X, которая принимает то или иное из своих значений, в зависимости от того, какой именно исход испытания произошел, другими словами, если каждому элементарному событию ω из данного пространства элементарных событий соответствует определенное значение x величины X.

Замечание. Случайная величина X является числовой функцией элементарного события.

Случайные величины обозначаются большими буквами латинского алфавита X,Y,Z,…, а их возможные значения - соответствующими малыми латинскими буквами x,y,z,….

С одним и тем же пространством элементарных событий могут быть связаны различные случайные величины. Например, при выстреле по мишени можно рассматривать следующие случайные величины: – количество выбитых очков; – ордината точки попадания в мишень; Z – расстояние точки попадания от центра мишени.

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Определение. Дискретной называется случайная величина , множество возможных значений которой конечно либо счетно, то есть перенумерованное бесконечное .

Пример. Примерами дискретных случайных величин являются:

1)число дефектных элементов в приборе, состоящем из n элементов (возможные значения случайной величины

);

2)число выстрелов до первого попадания в цель

(возможные значения случайной величины

).

Определение. Непрерывной называется случайная величина , возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал числовой оси (конечный или бесконечный), другими словами, если для любого значения х

, (1)

то есть вероятность того, что случайная величина примет любое фиксированное значение х равна нулю.

Пример. Примерами непрерывных случайных величин являются:

1)величина износа детали после некоторого периода эксплуатации;

2)отклонение от цели по дальности точки падения снаряда;

3)изменение напряжения в энергосистеме за определенный промежуток времени.

2.Законы распределения дискретных случайных величин.

Определение. Законом распределения случайной величины называется всякое описание (аналитическое, графическое, табличное), устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения случайной величины определяется её типом.

Рассмотрим дискретную случайную величину , которая принимает в результате опыта одно из единственно возможных значений , то есть произойдет одно из полной группы несовместных событий:

(1)

Обозначим через вероятность случайного события, состоящего в том, что случайная величина Х принимает значение . Так как события (1) образуют полную группу событий, то сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины Х равна единице, поэтому

(2)

Определение. Условие (2) называется условием нормировки.

Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в первой строке которой находятся все возможные значения случайной величины, а во второй – соответствующие им вероятности:

Х	х1	х2	…	хn
р	р1	р2	…	рn

Определение. Табличное представление закона распределения дискретной случайной величины называется рядом распределения.

Для наглядности прибегают к графическому изображению ряда распределения: по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат – соответствующие вероятности. Полученные точки соединяют отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения.

Многоугольник распределения, так же, как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину. Однако следует помнить, что соединение точек делается только в целях наглядности, так как в промежутках между и , и и т.д. случайная величина Х не имеет значений, а потому вероятности её появления в этих промежутках равны нулю (рис.1):

Рис.1.

Замечание. Сумма ординат вершин многоугольника распределения, представляющая собой сумму вероятностей всех возможных значений случайной величины, всегда равна единице.

Пример. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,6. Построить ряд распределения и многоугольник распределения числа попаданий в цель при трех независимых выстрелах.

Решение. Возможными значениями случайной величины Х (числа попаданий) являются:

, , , .

Вероятности этих значений находим по формуле Бернулли:

, ,

, .

Ряд распределения величины Х имеет вид:

	0	1	2	3
	0,064	0,288	0,432	0,216

Многоугольник распределения изображен на рис.2.

Рис.2.

Ряд распределения является исчерпывающей характеристикой дискретной случайной величины, однако для непрерывной случайной величины его построить нельзя. Действительно, множество возможных значений непрерывной случайной величины сплошь заполняют некоторый промежуток, и перечислить их в таблице нельзя. Для непрерывной случайной величины не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для дискретной величины.

Общей формой закона распределения случайной величины Х является функция распределения. Функция распределения является универсальной характеристикой, которая существует как для непрерывных случайных величин, так и для дискретных, и полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения.

Определение. Функцией распределения (интегральным законом распределения) случайной величины Х называется функция аргумента х, задающая вероятность выполнения неравенства , то есть:

(3)

Для дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения , функция распределения имеет вид:

(4)

На практике функция распределения непрерывной случайной величины представляет собой непрерывную функцию, так как по мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними число скачков становится больше, а сами скачки меньше, ступенчатая кривая становится более плавной; случайная величина постепенно приближается к непрерывной величине, а её функция распределения – к непрерывной функции.

Замечание. Можно привести примеры смешанных случайных величин, для которых функция распределения в отдельных точках терпит разрыв.

Со свойствами функции распределения мы познакомимся с вами на следующей лекции.

3. Биномиальное распределение.

Среди законов распределения для дискретных случайных величин наиболее распространенным является биномиальное распределение, которое имеет место в следующих случаях.

Пусть случайная величина Х - это число появлений события А при n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна (вероятность не появления ). Возможными значениями случайной величины Х являются:

.

Вероятности этих возможных значений вычисляются по формуле Бернулли:

(5)

Определение. Распределение дискретной случайной величины, ряд распределения которой задается формулой (5), называется биномиальным.

Пример. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Решение. Обозначим через Х дискретную случайную величину – число отказавших элементов в одном опыте. Возможными значениями Х являются:

(ни один из элементов устройства не отказал), (отказал один элемент), (отказали два элемента), (отказали три элемента).

Отказы элементов независимы один от другого, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что , , , получим:

, ,

, .

Следует проверить, что условие нормировки при этом выполняется, то есть:

.

Биномиальный закон распределения имеет вид:

	0	1	2	3
	0,729	0,243	0,027	0,001