- •Производная функции, ее геометрический смысл.
- •Производная суммы, произведения и частного.
- •3.Производная сложной функции. Производная обратной функции
- •Дифференциал функции
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Связь дифференциала с производной
- •2. Дифференциал суммы, произведения и частного.
- •4. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.
- •1. Производные высших порядков Понятие производных высших порядков
- •Формула Лейбница
- •4. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
Производная функции, ее геометрический смысл.
Определение. Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения функциик приращению аргумента, когдапроизвольно стремится к нулю и указанный предел существует:
. (4)
Замечание. Исторически сложилось, что в математике для производной применяются обозначения: ,,, введенные Лейбницем и Лагранжем; а в физике -. Последнее обозначение введено Ньютоном.
Определение. Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке, а нахождение производной – дифференцированием функции.
Геометрический смысл производной следует из задачи о касательной: угловой коэффициент касательной (не вертикальной) к графику функции в точке с абсциссойравен значению производной функции в точке касания:
.
Производная суммы, произведения и частного.
Рассмотрим некоторые теоремы.
Теорема 1. Производная постоянной равна нулю, то есть
, где C-const.
Теорема 2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций
. (5)
Теорема 3. Производная произведения дифференцируемых функций равна
. (6)
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной
.
Замечание. Аналогично можно доказать формулу для произведения трех функций
.
Теорема 4. Производная частного двух дифференцируемых функций равна
. (7)
Замечание. Для функции вида , гдеC-const , рациональнее применять формулу производной произведения, а не частного:
.
3.Производная сложной функции. Производная обратной функции
Теорема о производной сложной функции
Пусть дана сложная функция или, гдетак называемый промежуточный аргумент. Справедливо правило дифференцирования сложной функции.
Теорема. Если функция в некоторой точкех имеет производную , а функцияпри соответствующем значенииu имеет производную , то сложная функцияв указанной точкех также имеет производную , которая равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента пох :
. (8)
Сводная таблица основных формул дифференцирования
1. . 2.,,,.
3.,. 4.,.
5. . 6.7..
8. . 9.. 10..
11. . 12..
Логарифмическое дифференцирование
Определение. Операция, состоящая в последовательном применении к функции сначала логарифмирования (по основанию e), а затем дифференцирования, называется логарифмическим дифференцированием, а её результат – логарифмической производной.
Пример. Найти производную от функции .
Решение. Логарифмируя, находим
.
Дифференцируем обе части полученного равенства
.
Умножая на у и подставляя вместо у его выражение, получим
.
Производные обратных функций
Определение. Если каждому значению у из области изменения функции соответствует единственное значениех , то можно говорить, что х есть функция от у
,
которая называется обратной функцией по отношению к данной.
Замечание. Функции иназываются ещё взаимно-обратными.
Пример. Для функции обратной функцией является.
Теорема. Если функция дифференцируема, имеет обратную функцию и, то производная обратной функции существует и равна обратной величине производной данной функции, то есть
или .