Текст лекции

1. Скалярное произведение векторов, его свойства.

Определение. Углом между векторами а и в называется наименьший угол , который образуют эти векторы, как стороны, будучи приложенными к общему началу. При векторы называются ортогональными (перпендикулярными).

Определение. Скалярным произведением векторов а и в называется число, равное произведениюдлин этих векторов на косинус угла между ними:

ав = .

Из определения скалярного произведения вытекают следующие его свойства:

1. ав = ва;

2. а² = аа = ;

3. (а)в = (ав),

4. (а+в) с = ас+вс;

5. Скалярное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны или один из векторов равен нулю.

Теорема. (Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов). Пусть трехмерные векторы а и в заданы своими прямоугольными координатами

а = (а₁,а₂,а₃), в = (в₁,в₂,в₃).

Тогда скалярное произведение этих векторов равно сумме произведений соответствующих их координат, то есть

ав = а₁в₁+а₂в₂+а₃в₃ (1)

Замечание. Всякий двумерный вектор а = (а₁,а₂) является и трехмерным вектором а = (а₁,а₂,0). Поэтому для двумерных векторов формула (1) имеет вид:

ав = а₁в₁+а₂в₂ (2)

Следствие 1. Угол между векторами а=(а₁,а₂,а₃) и в=(в₁,в₂,в₃) определяется по формуле

(3)

Пример. Вычислить угол между векторами а=(1,0, ) и в=(2,1,0). Формула (3) дает: cos = . Откуда .

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием ортого­нальности векторов а=(а₁,а₂,а₃) и в=(в₁,в₂,в₃) является равенство:

а₁в₁+а₂в₂+а₃в₃ = 0 (4)

С физической точки зрения скалярное произведение означает работу А, производимую постоянной силой F по прямолинейному перемещению S материальной точки единичной массы, то есть

A = FS = (рис1)

Рис.1

2. Векторное произведение двух векторов и его свойства.

Пусть в пространстве R³ выбрана некоторая прямоугольная система координат OXYZ.

Определение. Векторным произведением вектора а на вектор в называется вектор с = ,удовлетворяющий следующим трем условиям:

1. Длина вектора с равна произведению длин векторов а и в на синус угла между ними, то есть

.

2. Вектор с ортогонален к каждому из векторов а и в. Вектор с относительно векторов а и в направлен так же, как координатная ось OZ относительно координатных осей OX и OY.

Замечание1. Направление вектора с можно определять и по правилу правой руки: если векторы а,в,с приведены к общему началу, то вектор с должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, когда большой палец направлен по вектору а, а указательный - по вектору в.

Замечание2. Длина вектора с численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и в , приложенных к общему началу.

Из определения векторного произведения вытекают следующие его свойства.

1. = -.

2.

3.

4.

Отметим следующее простое тождество, имеющее место для любых векторов а и в

Теорема. (Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов). Пусть трехмерные векторы а и в заданы своими прямоугольными координатами а=(а₁,а₂,а₃), в =(в₁,в₂,в₃). Тогда векторное произведение этих векторов имеет вид:

= (5)

3. Смешанное произведение трех векторов и его свойства.

Определение. Смешанным произведением трех векторов a,b,c называется число abc, определяемое формулой

abc = [ab]c.

Из определения смешанного произведения вытекают следующие его свойства:

1. Абсолютная величина смешанного произведениея abc равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a,b и с.

2. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, то есть

abc = bca = cab.

3. При перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, то есть

abc = -acb = -bac .

4. Три вектора a,b,c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Теорема. (Выражение смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов). Пусть трехмерные векторы a,b,c заданы своими прямоугольными координатами

a = (a₁,a₂,a₃), b = (b₁,b₂,b₃), c = (c₁,c₂,c₃).

Тогда их смешанное произведение abc равно определителю третьего порядка, строки которого являются соответственно координатами перемножаемых векторов, то есть

abc = (6)