L_12gradient
.doc
Скалярные и векторные поля.
Определение 1. Скалярным полем точки М называется скалярная функция точки М вместе с областью ее определения.
В пространственной системе координат Oxyz для каждой точки с координатами , скалярное поле является функцией этих координат: .
Примерами скалярных полей являются поле температуры атмосферы, поле плотности массы и т.д.
В дальнейшем будем предполагать, что скалярные поля являются однозначными, непрерывными и дифференцируемыми достаточное число раз.
Если частные производные одновременно не равны нулю, то уравнение (С= const) определяет поверхность, вдоль которой функция сохраняет постоянное значение; такая поверхность называется поверхностью уровня функции . Очевидно, что рассматриваемая область Т заполнена поверхностями уровня и через каждую точку проходит одна и только одна такая поверхность. Очевидно также, что поверхности уровня не пересекаются между собой. Аналогично определяются линии уровня непрерывно дифференцируемой функции , заданной в области .
Аналогично определяются линии уровня непрерывно дифференцируемой функции , заданной в области .
Производная по направлению
Рассмотрим единичный вектор произвольного направления, где - углы, образуемые вектором с осями координат.
Параметрические уравнения прямой , проходящей через точку в направлении вектора , имеют вид
,
, (1)
.
Тогда для точек этой прямой функция является функцией одной переменной :
(2)
Определение 3. Производной скалярного поля в точке по направлению называется производная функции по при , если она существует, и обозначается .
Можно сказать, что производная по направлению есть скорость изменения скалярного поля по отношению к величине перемещения точки М вдоль выбранного направления.
Дифференцируя правую часть равенства (2) по , получаем
(3)
где - направляющие косинусы вектора .
Для плоского случая
Пример 1. Вычислить производную функции в точке по направлению вектора , где .
Решение. Определим единичный вектор заданного направления . Имеем . ,
.
Отсюда . Найдем частные производные функции в точке :
,
.
По формуле (3) получаем
.
3. Градиент
Определение 4. Градиентом дифференцируемого скалярного поля называется векторное поле точки М, обозначаемое и определяемое формулой
(4)
Градиентами некоторых скалярных полей являются поле сил тяготения, поле заряда и т.д.
Пользуясь известными формулами для нахождения модуля вектора, получим
,
(5)
, , .
Используя понятие градиента и формулу для скалярного произведения, представим формулу (3) в виде скалярного произведения векторов и :
(6)
Так как , то получаем
(7)
Из (7) следует, что в каждой точке, не являющейся особой, градиент направлен в сторону максимального возрастания функции, а модуль градиента равен величине скорости этого возрастания. Действительно. В случае вектор имеет то же направление, что и , и тогда
. (8)
Формула (8) позволяет вместо предыдущего определения градиента, в котором используется система координат, дать другое, инвариантное определение.
Определение 5. Градиентом скалярного поля называется вектор, характеризующий наибольшую (по модулю и направлению) скорость изменения этого скалярного поля.
Это определение градиента инвариантно, т.е. не зависит от выбора системы координат.
Если , то производная по направлению является наименьшей, равной . Если же , то производная по направлению равна нулю. Направление градиента совпадает с направлением нормали к поверхности уровня .
Пример 2. Найти градиент скалярного поля в точке . Вычислить его величину и направление.
Решение: Имеем , , Следовательно ; ; , , .