1. Производная функции, ее геометрический смысл.

Определение. Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения функциик приращению аргумента, когдапроизвольно стремится к нулю и указанный предел существует:

. (4)

Замечание. Исторически сложилось, что в математике для производной применяются обозначения: ,,, введенные Лейбницем и Лагранжем; а в физике -. Последнее обозначение введено Ньютоном.

Определение. Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке, а нахождение производной – дифференцированием функции.

Геометрический смысл производной следует из задачи о касательной: угловой коэффициент касательной (не вертикальной) к графику функции в точке с абсциссойравен значению производной функции в точке касания:

.

2. Производная суммы, произведения и частного.

Рассмотрим некоторые теоремы.

Теорема 1. Производная постоянной равна нулю, то есть

, где C-const.

Теорема 2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций

. (5)

Теорема 3. Производная произведения дифференцируемых функций равна

. (6)

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной

.

Замечание. Аналогично можно доказать формулу для произведения трех функций

.

Теорема 4. Производная частного двух дифференцируемых функций равна

. (7)

Замечание. Для функции вида , гдеC-const , рациональнее применять формулу производной произведения, а не частного:

.

3.Производная сложной функции. Производная обратной функции

Теорема о производной сложной функции

Пусть дана сложная функция или, гдетак называемый промежуточный аргумент. Справедливо правило дифференцирования сложной функции.

Теорема. Если функция в некоторой точкех имеет производную , а функцияпри соответствующем значенииu имеет производную , то сложная функцияв указанной точкех также имеет производную , которая равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента пох :

. (8)

Сводная таблица основных формул дифференцирования

1. . 2.,,,.

3.,. 4.,.

5. . 6.7..

8. . 9.. 10..

11. . 12..

Логарифмическое дифференцирование

Определение. Операция, состоящая в последовательном применении к функции сначала логарифмирования (по основанию e), а затем дифференцирования, называется логарифмическим дифференцированием, а её результат – логарифмической производной.

Пример. Найти производную от функции .

Решение. Логарифмируя, находим

.

Дифференцируем обе части полученного равенства

.

Умножая на у и подставляя вместо у его выражение, получим

.

Производные обратных функций

Определение. Если каждому значению у из области изменения функции соответствует единственное значениех , то можно говорить, что х есть функция от у

,

которая называется обратной функцией по отношению к данной.

Замечание. Функции иназываются ещё взаимно-обратными.

Пример. Для функции обратной функцией является.

Теорема. Если функция дифференцируема, имеет обратную функцию и, то производная обратной функции существует и равна обратной величине производной данной функции, то есть

или .