4.3. Приведение пространственной системы сил к данному центру

По аналогии с плоской системой любую пространственную систему можно упростить, если на основе теоремы о параллельном переносе силы перенести все заданные силы в произвольную точку 0.

Пусть дана пространственная система сил

.

Для ее упрощения перенесем все силы в произвольную точку 0 (рис. 1.43).

После параллельного переноса всех сил в точку 0 получим систему сходящихся сил, которую по аксиоме 3 можно заменить одной силой, называемой главным вектором системы:

.

(1.27)

Складывая геометрически векторы присоединенных пар сил, получим одну пару сил, момент которой называется главным моментом системы:

.

(1.28)

Таким образом, любую пространственную систему сил можно заменить одним главным вектором и одним главным моментом (рис. 1.44).

Величина и направление главного вектора и главного момента определяются из следующих уравнений:

, ,

.

,

, ,.

,

, , ,

,,

.

Случаи приведения пространственной системы сил

1. ; – в этом единственном случае система сил привелась к одной равнодействующей, т.е. главный вектор системы является его равнодействующей.

2. ; – в этом случае система сил привелась к одной паре сил. Очевидно величина и направление главного момента в этом случае не зависят от выбора центра приведения.

3. ; ; – в данном случае имеем плоскую систему сил, которую как было показано выше, всегда можно заменить равнодействующей в новом центре приведения.

4. ; ; – динама (динамический винт). В этом случае тело совершает сложное (винтовое) движение.

5. ; ; ; – общий случай, который всегда можно привести к динаме в новом центре приведения.

6. ; – случай равновесия пространственной системы сил.

4.4. Условия равновесия произвольной системы сил

Для равновесия пространственной системы сил в общем случае необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы в одно и тоже время равнялись бы нулю, т.е.

, .

(1.29)

Проектируя (1.27) и (1.28) на оси координат, получим:

, ,.	(1.30)
, ,.	(1.31)

Инварианты (приведения) пространственной системы сил

Инвариантами будем называть параметры, которые не изменяются при перемене центра приведения.

Очевидно первым инвариантом системы является главный вектор системы, так как его величина и направление не зависят от центра приведения.

Можно показать, что вторым инвариантом системы является скалярное произведение главного вектора на вектор главного момента:

Пример 1.8. Определить реакции связей для однородной плитыABDE(в точке А – сферический шарнир, в точкеB- цилиндрический шарнир, в точке С – гибкая нить) (рис. 1.45).

Решение.Составим уравнения равновесия плиты на основе условий равновесия (1.30), (1.31).

	(а)
	(б)
	(в)
	(г)
	(д)
	(е)

Решая полученную систему уравнений, находим: из (6) – ; из (д) –; из (г) –; из (в) –; из (б) –; из (а) –.

Отрицательное значение указывает на то, что в действительности это реакция направлена в противоположную сторону. Углыиопределяются размерами плиты.