Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Волгоградский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matan_2.doc

Скачиваний:

Добавлен:

02.04.2015

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Варианты контрольных работ

Вариант 0

Тема ”Теория функции комплексного переменного”

Вычислить (ответ записать в алгебраической форме).
Найти все корни из комплексного числа, изобразить на комплексной плоскости .
Записать в алгебраической форме:

Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае аналитичности функции вычислить её производную :

Найти все вычеты подынтегральной функции и вычислить интеграл по замкнутому контуру:

Тема ”Дифференциальные уравнения”

Найти общий интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

(ответ представить в виде ).

Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения .
Найти решение задачи Коши для линейного уравнения

, .

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка .
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

Тема ”Числовые и функциональные ряды”

Найти сумму ряда .
Исследовать на сходимость ряд .
Исследовать на сходимость ряд .
Найти область сходимости степенного ряда .
Вычислить приближенно определенный интеграл с точностью, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.,

Тема ”Операционное исчисление”

Найти изображение по оригиналу
Найти оригинал по изображению
Решить задачу Коши операционным методом

Вариант 1.

Тема ”Теория функции комплексного переменного”

Вычислить (ответ записать в алгебраической форме).
Найти все корни из комплексного числа, изобразить на комплексной плоскости .
Записать в алгебраической форме:

Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае аналитичности функции вычислить её производную :

Найти все вычеты подынтегральной функции и вычислить интеграл по замкнутому контуру:

Тема ”Дифференциальные уравнения”

Найти общий интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

(ответ представить в виде ).

Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения .
Найти решение задачи Коши для линейного уравнения

, .

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка .
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения .

Тема ”Числовые и функциональные ряды”

Найти сумму ряда .
Исследовать на сходимость ряд .
Исследовать на сходимость ряд .
Найти область сходимости степенного ряда .
Вычислить приближенно определенный интеграл с точностью, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

Тема ”Операционное исчисление”

Найти изображение по оригиналу .
Найти оригинал по изображению .
Решить задачу Коши операционным методом

Вариант 2.

Тема ”Теория функции комплексного переменного”

Вычислить (ответ записать в алгебраической форме).
Найти все корни из комплексного числа, изобразить на комплексной плоскости .
Записать в алгебраической форме:

Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае аналитичности функции вычислить её производную :

Найти все вычеты подынтегральной функции и вычислить интеграл по замкнутому контуру:

Тема ”Дифференциальные уравнения”

Найти общий интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

(ответ представить в виде ).

Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения .
Найти решение задачи Коши для линейного уравнения

, .

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка .
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

Тема ”Числовые и функциональные ряды”

Найти сумму ряда .
Исследовать на сходимость ряд .
Исследовать на сходимость ряд .
Найти область сходимости степенного ряда .
Вычислить приближенно определенный интеграл с точностью, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

Тема ”Операционное исчисление”

Найти изображение по оригиналу .
Найти оригинал по изображению .
Решить задачу Коши операционным методом

Вариант 3.

Тема ”Теория функции комплексного переменного”

Вычислить (ответ записать в алгебраической форме).
Найти все корни из комплексного числа, изобразить на комплексной плоскости .
Записать в алгебраической форме:

Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае аналитичности функции вычислить её производную :

Найти все вычеты подынтегральной функции и вычислить интеграл по замкнутому контуру:

Тема ”Дифференциальные уравнения”

Найти общий интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

(ответ представить в виде ).

Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения .
Найти решение задачи Коши для линейного уравнения

, .

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка .
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

Тема ”Числовые и функциональные ряды”

Найти сумму ряда .
Исследовать на сходимость ряд .
Исследовать на сходимость ряд .
Найти область сходимости степенного ряда .
Вычислить приближенно определенный интеграл с точностью, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

Тема ”Операционное исчисление”

Найти изображение по оригиналу .
Найти оригинал по изображению .
Решить задачу Коши операционным методом

Вариант 4.

Тема ”Теория функции комплексного переменного”

Вычислить (ответ записать в алгебраической форме).
Найти все корни из комплексного числа, изобразить на комплексной плоскости .
Записать в алгебраической форме:

Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае аналитичности функции вычислить её производную :

Найти все вычеты подынтегральной функции и вычислить интеграл по замкнутому контуру:

Тема ”Дифференциальные уравнения”

Найти общий интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

(ответ представить в виде ).

Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения .
Найти решение задачи Коши для линейного уравнения

, .

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка .
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения .
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения .

Тема ”Числовые и функциональные ряды”

Найти сумму ряда .
Исследовать на сходимость ряд .
Исследовать на сходимость ряд .
Найти область сходимости степенного ряда.
Вычислить приближенно определенный интеграл с точностью, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

Тема ”Операционное исчисление”

Найти изображение по оригиналу
Найти оригинал по изображению
Решить задачу Коши операционным методом

Вариант 5.

Тема ”Теория функции комплексного переменного”

Вычислить (ответ записать в алгебраической форме).
Найти все корни из комплексного числа, изобразить на комплексной плоскости .
Записать в алгебраической форме:

Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае аналитичности функции вычислить её производную :

Найти все вычеты подынтегральной функции и вычислить интеграл по замкнутому контуру:

Тема ”Дифференциальные уравнения”

Найти общий интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

(ответ представить в виде ).

Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения .
Найти решение задачи Коши для линейного уравнения ,.
Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка .
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

Тема ”Числовые и функциональные ряды”

Найти сумму ряда .
Исследовать на сходимость ряд .
Исследовать на сходимость ряд .
Найти область сходимости степенного ряда .
Вычислить приближенно определенный интеграл с точностью, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

Тема ”Операционное исчисление”

Найти изображение по оригиналу .
Найти оригинал по изображению .
Решить задачу Коши операционным методом

Вариант 6.

Тема ”Теория функции комплексного переменного”

Вычислить (ответ записать в алгебраической форме).
Найти все корни из комплексного числа, изобразить на комплексной плоскости .
Записать в алгебраической форме:

Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае аналитичности функции вычислить её производную :

Найти все вычеты подынтегральной функции и вычислить интеграл по замкнутому контуру:

Тема ”Дифференциальные уравнения”

Найти общий интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

(ответ представить в виде ).

Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения .
Найти решение задачи Коши для линейного уравнения .
Найти общее решение дифференциального уравнения , допускающего понижение порядка .
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения .
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения .

Тема ”Числовые и функциональные ряды”

Найти сумму ряда .
Исследовать на сходимость ряд .
Исследовать на сходимость ряд .
Найти область сходимости степенного ряда .
Вычислить приближенно определенный интеграл с точностью, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

Тема ”Операционное исчисление”

Найти изображение по оригиналу .
Найти оригинал по изображению .
Решить задачу Коши операционным методом

Вариант 7.

Тема ”Теория функции комплексного переменного”

Вычислить (ответ записать в алгебраической форме).
Найти все корни из комплексного числа, изобразить на комплексной плоскости .
Записать в алгебраической форме:

Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае аналитичности функции вычислить её производную :

Найти все вычеты подынтегральной функции и вычислить интеграл по замкнутому контуру:

Тема ”Дифференциальные уравнения”

Найти общий интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

(ответ представить в виде ).

Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения .
Найти решение задачи Коши для линейного уравнения ,.
Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка .
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения .
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения .

Тема ”Числовые и функциональные ряды”

Найти сумму ряда .
Исследовать на сходимость ряд .
Исследовать на сходимость ряд .
Найти область сходимости степенного ряда.
Вычислить приближенно определенный интеграл с точностью, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

Тема ”Операционное исчисление”

Найти изображение по оригиналу .
Найти оригинал по изображению .
Решить задачу Коши операционным методом

Вариант 8.

Тема ”Теория функции комплексного переменного”

Вычислить (ответ записать в алгебраической форме).
Найти все корни из комплексного числа, изобразить на комплексной плоскости .
Записать в алгебраической форме:

Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае аналитичности функции вычислить её производную :

Найти все вычеты подынтегральной функции и вычислить интеграл по замкнутому контуру:

Тема ”Дифференциальные уравнения”

Найти общий интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

(ответ представить в виде ).

Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения .
Найти решение задачи Коши для линейного уравнения

, .

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка .
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения .
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения .

Тема ”Числовые и функциональные ряды”

Найти сумму ряда .
Исследовать на сходимость ряд .
Исследовать на сходимость ряд .
Найти область сходимости степенного ряда .
Вычислить приближенно определенный интеграл с точностью, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

Тема ”Операционное исчисление”

Найти изображение по оригиналу .
Найти оригинал по изображению .
Решить задачу Коши операционным методом

Вариант 9.

Тема ”Теория функции комплексного переменного”

Вычислить (ответ записать в алгебраической форме).
Найти все корни из комплексного числа, изобразить на комплексной плоскости .
Записать в алгебраической форме:

Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае аналитичности функции вычислить её производную :

Найти все вычеты подынтегральной функции и вычислить интеграл по замкнутому контуру:

Тема ”Дифференциальные уравнения”

Найти общий интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

(ответ представить в виде ).

Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения .
Найти решение задачи Коши для линейного уравнения

, .

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка .
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения .
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения .

Тема ”Числовые и функциональные ряды”

Найти сумму ряда .
Исследовать на сходимость ряд .
Исследовать на сходимость ряд .
Найти область сходимости степенного ряда .
Вычислить приближенно определенный интеграл с точностью, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

Тема ”Операционное исчисление”

Найти изображение по оригиналу .
Найти оригинал по изображению .
Решить задачу Коши операционным методом

Методические указания по решению контрольной работы

Пример 1. Вычислить

Решение. Запишем число в тригонометрической форме:

Применяя формулу Муавра, получим:

Ответ:

Пример 2. Вычислить

Решение. Вычисления выполним по действиям:

Ответ:

Пример 3. Найти все значения

Решение. Запишем -8 в тригонометрической форме

Теперь воспользуемся формулой извлечения корня

при.

Отсюда получаем три значения корня:

k=0,

k=1,

k=2,

Изобразим полученные значения на окружности радиуса 2. Как видно из рисунка, являются вершинами правильного треугольника.

Пример 4. Найти все значения

Решение. Запишем число в тригонометрической форме

Теперь воспользуемся формулой извлечения корня

, .

Отсюда получаем два значения корня:

k=0, , ,

k=1, , .

Пример 5. Найти все значения .

Решение. Запишем в тригонометрической форме: .

Теперь воспользуемся формулой извлечения корня

, .

Отсюда получаем четыре значения корня:

_,,

Изобразим полученные значения на окружности радиуса 2. Как видно из рисунка, являются вершинами квадрата.

Пример 6. Записать в алгебраической форме:

Решение.

а) Воспользуемся формулой гиперболического синуса и формулой Эйлера

Таким образом, действительная часть U и мнимая часть V равны, соответственно:

б) Воспользуемся формулой для натурального логарифма

Таким образом, действительная часть U и мнимая часть V равны, соответственно:

Пример 7. Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае аналитичности функции вычислить её производную :

Решение.

а) Выделим действительную и мнимую части функции

Таким образом, действительная часть U и мнимая часть V равны, соответственно:

, .

Проверим выполнение условий Коши-Римана :. Так как условия не выполняются, функция не является аналитической.

б) Выделим действительную и мнимую части функции

Таким образом, действительная часть U и мнимая часть V равны, соответственно:

, .

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

= .

Так как условия выполняются, функция является аналитической. Производную аналитической функции можно находить по обычным правилам: .

Пример 8 Найти все вычеты подынтегральной функции и вычислить интеграл по замкнутому контуру:

Решение.

а) Так как подынтегральная функцияаналитична на всей комплексной плоскости С, за исключением точек z₁=1 и z₂=0, которые не лежат внутри окружности и на этой окружности, то по теореме Коши получим:.

б) Так как подынтегральная функцияаналитична на всей комплексной плоскости С, за исключением точкиz=0, которая лежат внутри окружности . z=0 является полюсом кратности 2. Тогда.

Получаем: .

в) Так как подынтегральная функция аналитична на всей комплексной плоскости С, за исключением точек, которые лежат внутри окружности.- это полюс кратности 2, а- простой полюс.

Тогда

Получаем:

Пример 9. Найти общий интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися переменными .

Решение. Перенесём одно из слагаемых в правую часть . Поделим обе части уравнения на, где.

Пример 10. Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения .

Решение. Преобразуем данное уравнение к виду.

Сделаем замену ,. Тогда уравнение примет вид. В результате преобразований его можно привести к виду.

Таким образом, имеем дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделенными переменными. Решая его, получим: .

Так как , то– общее решение данного ДУ.

Пример 11. Решить линейное дифференциальное уравнение .

Решение. I способ. Данное уравнение является линейным уравнением первого порядка. Здесь ,. Решаем сначала однородное уравнение . Имеемили. ЗаменяемС на С(х), т. е. решение линейного уравнения ищем в виде . Тогда. Подставляя выражения дляу и в уравнение, получим или. Отсюда находимС(х):

. Следовательно, – искомое решение.

II способ. Положим ; тогда. Имеем:

, . (*)

, тогда . Значит.

Пусть , тогда .

Для нахождения функции вернемся к уравнению (*): ,,,.

Зная и, окончательно имеем:.

Пример 12. Решить дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка .

Решение. Данное дифференциальное уравнение не содержит х. Применив замену,, получим – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Отсюда, то есть получили– уравнение с разделяющимися переменными. Решая, окончательно получимили.

Пример 13. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка y(0)=0

Решение. .Подставив начальные условия, получаем уравнения0=С₂. Отсюда,.

Ответ:

Пример 14. Решить дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка

Решение. Данное уравнение не содержит y, поэтому введём замену ,. Исходное уравнение примет вид:− линейное уравнение. Решая его, получим

Пример 15. Решить дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка

Решение. Данное уравнение 2-го порядка не содержит x, поэтому введём замену ,. Исходное уравнение примет вид: − дифференциального уравнения 1−ого порядка с разделяющимися переменными.

Пример 16. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:;;. Т.к.и– действительные и различные числа, то общее решение записывается в виде:.

Пример 17. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: ,,– комплексно-сопряженные корни,,. Общее решение имеет вид , отсюда.

Пример 18. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: . Найдем его корни:. Тогда.

Пример 19. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением (ЛНДУ) второго порядка со специальной правой частью ()

1)Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения.

Оно имеет вид .

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:,,.

Тогда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) имеет вид .

2) Найдем частное решение ЛНДУ.

Т.к. ,, и числоявляется простым (однократным) корнем характеристического уравнения (совпадает с), то частное решение будем искать в виде. Для нахождения неопределенного коэффициента А подставимв данное линейное неоднородное дифференциальное уравнение, предварительно вычислив,. Получаем равенство, откуда находим. Таким образом.

3) Найдём общее решение неоднородного уравнения.

Так как общее решение ЛНДУ находится в виде , то окончательно получаем.

Пример 20. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка со специальной правой частью (,).

1)Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения.

Оно имеет вид . Составим характеристическое уравнениеи найдем его корни:.

Тогда общее решение ЛОДУ имеет вид .

2) Найдем частное решение ЛНДУ.

Т. к. ,,,и числоне является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в виде. Для нахождения неопределенных коэффициентов А и В подставимв данное линейное неоднородное дифференциальное уравнение, предварительно найдя,. Получаем равенство

или ,

Запишем систему для нахождения А и В и решим ее:

Тогда .

3) Найдём общее решение неоднородного уравнения.

Так как общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения находится в виде , то окончательно получаем.

Пример 21. Решить уравнение

Решение.

1) Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения.

Оно имеет вид .Составим характеристическое уравнение и найдём его корни

(кратность 2).

Решение линейного однородного уравнения

2) Найдем частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения .

Правая часть равна

И так:

Тогда исходное уравнение примет вид:

По методу неопределённых коэффициентов имеем:

3) Найдём общее решение неоднородного уравнения.

Ответ: .

Пример 22.Решить уравнение

Решение.

1) Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения.

Оно имеет вид .Составим характеристическое уравнение и найдём его корни

Решение линейного однородного уравнения

2) Найдем частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

Правая часть

И так:

Тогда исходное уравнение примет вид:

По методу неопределённых коэффициентов имеем:

3)Найдём общее решение неоднородного уравнения. Так как общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения находится в виде , то окончательно получаем

Ответ: .

Пример 23. Решить уравнение

Решение.

1) Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения.

Оно имеет вид . Составим характеристическое уравнение и найдём его корни

Решение линейного однородного уравнения

2) Найдем частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

Итак:

Тогда исходное уравнение примет вид:

По методу неопределённых коэффициентов имеем:

Ответ:

Пример 24. Найти сумму ряда .

Решение. Для преобразования частичных сумм используем разложение дроби на простейшие:

, тогда

Следовательно, . Ряд сходится.

Пример 25. Исследовать на сходимость числовой ряд

Решение. Общий член ряда имеет вид ,то есть мы исследуем на сходимость ряд. Проверим необходимый признак сходимости ряда. Он нарушается, следовательно, данный ряд расходится.

Пример 26. Исследовать на сходимость числовой ряд .

Решение. Учитывая, что ~при (т.к.), то по второму признаку сравнения ряды иведут себя одинаково, в смысле сходимости.

Ряд - обобщенный гармонический, и т.к., то он расходящийся. Следовательно, искомый ряд тоже расходится.

Пример 27. Исследовать на сходимость числовой ряд .

Решение. С помощью признака сравнения упростим исходный ряд, т.к. ~при , то о сходимости искомого ряда можно судить по ряду .

По виду обобщенного члена можно сделать выбор достаточного признака, т.е. признака Коши.

(учитывая известный факт: ).

Т.к. , то ряд сходится.

Пример 28. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. В этом случае удобно применить интегральный признак сходимости, положив . Условия, допускающие его применение, выполнены, так как функциянепрерывна при, положительна при этих значенияхx, монотонно убывает с ростом x и ; выполнение условияочевидно. Исследуем несобственный интеграл на сходимость:. Итак, интеграл, а вместе с ним и ряд, сходятся.

Пример 29. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Исследуем сходимость ряда по достаточному признаку Даламбера:

, следовательно, ряд сходится.

Пример 30. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Используем признак Коши. Действительно:

. Ряд сходится.

Пример 31. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Используем эквивалентность функций.

~, при . Из расходимости гармонического ряда , следует расходимость исходного ряда.

Пример 32. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Исследуем ряд по признаку Даламбера.

, следовательно, ряд расходится.

Пример 33. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Это знакочередующийся гармонический ряд. Первоначально, исследуем исходный ряд на абсолютно сходимость. Для этого составим ряд из абсолютных величин его членов . Ему эквивалентен ряд– это гармонический расходящийся ряд. Следовательно, абсолютной сходимости нет. Поэтому исследуем исходный ряд по признаку Лейбница на условную сходимость.

Условия для : 1), 2)выполняются, следовательно, искомый ряд сходится условно.

Пример 34. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда: . Применим к получившемуся знакоположительному ряду достаточный признак Коши:(в силу второго замечательного предела). Из сходимости данного ряда по признаку Коши следует сходимость исходного ряда.

Пример 35. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Данный ряд – знакочередующийся, поэтому проверим его на абсолютную сходимость. Составим ряд из абсолютных величин. Применим признак Коши к полученному знакоположительному ряду с общим членом . Очевидно, что. Так как ряд, составленный из абсолютных величин, расходится по признаку Коши, то и искомый ряд расходится.

Можно было исследовать этот ряд с помощью необходимого признака сходимости. Так как , то исходный ряд расходится (не выполняется второе условие Лейбница).

Пример 36. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Данный ряд – знакочередующийся, поэтому проверим его на абсолютную сходимость. Ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, исследуем на сходимость по признаку Даламбера. Так как общий член , то

и данный ряд сходится. Поэтому искомый ряд сходится абсолютно.

Пример 37. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Поскольку , то нельзя применить эквивалентность: . Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Составим ряд из модулей членов исходного ряда. Так как, то. Из сходимости обобщенного гармонического рядапо первому признаку сравнения следует сходимость исходного ряда.

Пример 38. Найдите область сходимости функционального ряда .

Решение. Для исследования сходимости данного ряда применим признак Даламбера к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда:

Отсюда следует, что ряд сходится при любом значении x, то есть область сходимости искомого ряда есть вся числовая ось, R=.

Ответ: – область сходимости функционального ряда .

Пример 39. Найти область сходимости степенного ряда.

Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда и исследуем сходимость полученного ряда по признаку Даламбера

следовательно, данный ряд расходится во всех точках, кроме точки ,R=0.

Ответ: точка – область сходимости ряда.

Пример 40. Найти область сходимости степенного ряда .

Таким образом, интервал сходимости определяется неравенством ,то есть.

Исследуем сходимость ряда в граничных точках интервала.

Если , то получаем числовой знакочередующийся ряд:

Этот ряд расходится, так как общий член не стремится к нулю (нарушается необходимое условие сходимости).

Если , то получаем числовой ряд с положительными членами:

который расходится, так как общий член не стремится к нулю.

Ответ: – область сходимости ряда,R=5.

Пример 41. Исследовать на сходимость ряд .

Находим интервал сходимости , получаем.

При получаем ряд, который сходится по признаку Лейбница, так как: 1), 2)

При получаем обобщенный гармонический ряд, который сходится ()

Ответ: – область сходимости ряда, R=5.

Пример 42. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда и исследуем сходимость полученного ряда по признаку Коши

Находим интервал сходимости , получаем.

При получаем ряд.Так как, не выполняется необходимый признак сравнения и ряд расходится.

При получаем ряд. Для данного знакочередующегося ряда не выполняется второе условие признака Лейбницаи ряд расходится.

Ответ: – область сходимости ряда,.

Пример 43. Найти область сходимости степенного ряда .

следовательно, данный ряд расходится во всех точках, кроме точки ,R=0.

Ответ: точка – область сходимости ряда,R=0.

Пример 44. Вычислить приближенно определенный интеграл с точностью до 0,001, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена

Решение. Чтобы разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена, запишем ее в виде

Воспользовавшись формулой биномиального ряда, получим

Ряд сходится, если или. Промежуток интегрирования содержится в интервале сходимости:.

Таким образом,

Получили, что интеграл равен сумме сходящегося знакочередующегося числового ряда.

Так как третье и последующие слагаемые меньше требуемой точности, достаточно вычислить сумму первых двух слагаемых:

Пример 45. Вычислить приближенно определенный интеграл с точностью до 0,001, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

Решение. Запишем подынтегральную функцию в виде степенного ряда по степеням , для чего воспользуемся разложением логарифмической функции в ряд Тейлора

причем ряд сходится при . Промежуток интегрирования содержится в интервале сходимости ряда:.

Интеграл равен сумме сходящегося знакочередующегося числового ряда.

Таким образом, чтобы вычислить интеграл с заданной точностью, достаточно посчитать сумму первых двух членов ряда (третье и остальные слагаемые меньше требуемой точности)