Конспект лекций по ТАУ

4.Частотные методы анализа и синтеза

4.1.Преобразование Фурье

Частотные характеристики позволяют косвенно судить о процессах, происходящих в системах автоматического управления (не решая дифференциальных уравнений, описывающих данную систему). Они могут быть получены экспериментальным путем.

Рассмотрим линейную стационарную систему, описываемую дифференциальным уравнением:

(an p n + an−1 p n−1 + ... + a1 p + a0 ) y(t) = = (bm p m + bm−1 p m−1 + ... + b1 p + b0 )x(t).

Применим к этому уравнению преобразование Фурье

Частотная ПФ определяется как отношение преобразований Фурье выходного и входного сигнала:

W ( jω) = B( jω) = bn ( jω)m + ... + b1 ( jω)+ b0 .

A( jω) an ( jω)n + ... + a1 ( jω)+ a0

Функция W(jω) характеризует динамические свойства системы и не зависит от характера приложенных к системе воздействий.

Частотная ПФ получается из обычной ПФ W(s) при чисто мнимых значениях s, то есть при s = jω. Зная частотную ПФ линейной стационарной системы, можно найти реакцию системы на гармонический входной сигнал в установившемся режиме.

151

Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду a и частоту ω, т.е. описывается формулой:

x = a sin(ωt) .

Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от входного по фазе на величину φ (фазовый сдвиг):

y = A1 sin(ωt + ϕ) .

Таким образом, можно рассчитать усиление по амплитуде:

A = A1 . a

Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои A и φ.

Если на вход подавать сигнал с постоянной амплитудой и изменяющейся частотой, то изменение амплитуды и сдвига фазы выходного сигнала будут определяться динамическими свойствами звена. Если для различных частот, начиная с нулевой, измерить усиление по амплитуде и фазовый сдвиг, то получаются частотные характеристики звена: A(ω) – амплитудно-частотная

характеристика (АЧХ) и ϕ(ω) – фазочастотная характери-

стика (ФЧХ).

Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал достаточно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида:

X ( jω) = e jωt .

Тогда выходной сигнал

152

Y ( jω) = A(ω)e j (ωt +ϕ (ω)) .

Частотная ПФ

W ( jω) = Y ( jω) = A(ω)e jϕ (ω) .

X ( jω)

Эта формула является представлением частотной ПФ в полярных координатах.

Можно также записать частотную ПФ в алгебраической форме:

W ( jω) = U (ω) + jV (ω).

Поскольку W(jω) является комплексным выражением, ее можно представить в виде

W ( jω) = a1 (ω) + jb1 (ω) . a2 (ω) + jb2 (ω)

Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной ПФ необходимо домножить числитель и знаменатель на сопряженную знаменателю величину, а затем провести разделение:

= U (ω) + jV (ω).

Таким образом:

153

U (ω) + jV (ω) = A(ω)e jϕ (ω) ,

где

U (ω) = A(ω) cosϕ(ω),

V (ω) = A(ω) sinϕ(ω).

Графики функций U(ω) и V(ω) называют соответст-

венно вещественной и мнимой частотной ха-

рактеристиками.

Пример 4.1. Рассмотрим АЧХ и ФЧХ апериодического звена 1-го порядка.

Частотная характеристика апериодического звена имеет вид:

АЧХ и ФЧХ выражаются из алгебраического представления частотной характеристики:

По этим формулам можно построить графики (рис. 4.1). График ФЧХ показывает, что с ростом частоты коэффициент

154

усиления падает тем быстрее, чем больше постоянная времени звена T. При нулевой частоте усиление максимально и равно k. Сигналы низких частот апериодическое звено хорошо пропускает, а сигналы высоких частот ослабляются.

Полосой пропускания звена называется диапазон частот

0 ≤ ω ≤ T .

Частота

ωс = 1 .

T

называется частотой среза.

Длительность переходного процесса в апериодическом звене ≈ 3Т, поэтому чем шире полоса пропускания (т.е. чем меньше Т), тем быстрее протекают переходные процессы в системе.

–π/4

–π/2

Рис. 4.1. АЧХ и ФЧХ апериодического звена 1-го порядка

Из графиков АЧХ и ФЧХ можно получить один график –

155

АФЧХ, который для апериодического звена будет иметь вид, показанный на рис. 4.2.

Im(W(jω))

Рис. 4.2. АФЧХ апериодического звена 1-го порядка

4.2. Логарифмические частотные характеристики

В практических расчетах удобно применять графики частотных характеристик, построенные в логарифмическом масштабе. Это обеспечивает ряд преимуществ:

1.упрощается процесс построения характеристик, поскольку график аппроксимируется отрезками прямых;

2.оказывается удобным рассматривать достаточно большой диапазон частот;

3.вместо умножения характеристик последовательно соединенных звеньев надо складывать их логарифмы.

Логарифмические частотные характеристики часто называют

диаграммами Боде.

Обычно используют амплитудную характеристику в виде за-

висимости 20lgA(lgω), называемой логарифмической амплитуд- но-частотной характеристикой (ЛАЧХ). Фазовую характери-

стику в виде зависимости ϕ(lgω) называют логарифмической фазочастотной характеристикой (ЛФЧХ).

156

На графиках ЛАЧХ и ЛФЧХ ось абсцисс разбивается на одинаковые участки – декады. В пределах каждой декады частота увеличивается в 10 раз (рис. 4.3).

декада

Рис. 4.3. Разбиение оси частот на декады

Вместо lgω обычно записывается значение самой частоты, так что масштаб на оси абсцисс получается неравномерный. В начало координат можно помещать любое значение частоты, в зависимости от того, какое исследование нужно выполнить.

На графике ЛАЧХ по оси ординат откладывается величина

L(ω) = 20lgA,

которая измеряется в децибелах (1децибел = 0,1 бела).

Один бел соответствует усилению сигнала по мощности в 10 раз, 2 бела – в 100 раз, 3 бела – в 1000 раз и т.д.

Так как обычно измеряют не мощность сигнала, а его амплитуду, а мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды, то усилению сигнала по мощности в 10 раз будет соответствовать lgA2 =1 или 2lgA = 1. Соответственно, усиление сигнала в децибелах, выраженное через отношение амплитуд равно 20lgА.

Таким образом, каждые 20 децибелл (дБ) на графике ЛАЧХ соответствуют усилению амплитуды в 10 раз (рис. 4.4).

30

20

10

Тогда

L(ω) = 20 lg A(ω) = 20 lg k − 20 lg 1 + ω2T 2 .

Рассмотрим асимптоты – прямые, к которым стремится ЛАЧХ при малых значениях частоты (ω << 1/T) и при больших значениях частоты (ω >>1/T), т.е. при ω → 0 и при ω → ∞.

При ω → 0 имеем

Эта асимптота представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс на уровне 20lg(k).

При ω → ∞ имеем

− 20 lg 1 + ω2T 2 → −∞.

Эта асимптота представляет собой наклонную прямую.

Для вычисления наклона прямой рассмотрим изменение усиления в границах одной декады:

1≤ ω ≤ 10 .

ТТ

Поскольку при больших частотах

20 lg 1 + ω2T 2 ≈ 20 lg(ωT ),

Можно записать

159

Наклон прямой оказывается равным –20 дБ/дек (рис. 4.5).

L(ω)

Рис. 4.5. ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка

Наибольшее отклонение ЛАЧХ от АЧХ будет в точке ω = 1/T, которое равно:

=20 lg k − (20 lg k − 20 lg T 2ω2 +1)=

=10 lg(T 2ω2 +1) = 10 lg 2 ≈ 3,03 дБ.

Частота, при которой ЛАЧХ пересекает ось 0 дБ, называется

частотой среза системы ωс.

Пример 4.3. Рассмотрим ЛАЧХ и ЛФЧХ колебательного звена.

160