- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •Глава 1. ПРОЦЕНТНЫЕ ДЕНЬГИ
- •1.1 ПРОЦЕНТЫ
- •1.2 ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТ
- •УПРАЖНЕНИЯ 1
- •1.3 ВРЕМЯ МЕЖДУ ДАТАМИ. ОФОРМЛЕНИЕ ВЕКСЕЛЕЙ
- •1.4 ПРОСТОЙ ДИСКОНТ
- •УПРАЖНЕНИЯ 1.2
- •Глава 2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
- •2.1 СОСТАВНОЙ ИТОГ И СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
- •2.2 ОБОЗНАЧЕНИЯ
- •2.3 ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА СОСТАВНОГО ИТОГА
- •2.4 ВЫЧИСЛЕНИЕ СОСТАВНОГО ИТОГА
- •2.5 НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ И СЛОЖНЫЙ ДИСКОНТ
- •2.6 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ НОРМЫ
- •2.7 СОСТАВНОЙ ИТОГ И НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ ДЛЯ ДРОБНЫХ ПЕРИОДОВ ВРЕМЕНИ
- •УПРАЖНЕНИЯ 2
- •Глава 3 УРАВНЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
- •3.1 ДАТИРОВАННЫЕ СУММЫ
- •3.2 СЕРИИ ДАТИРОВАННЫХ СУММ
- •3.3 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЕРИИ ПЛАТЕЖЕЙ
- •УПРАЖНЕНИЯ 3
- •Глава 4 ПРОСТЫЕ АННУИТЕТЫ
- •4.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •4.2 НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ И ИТОГОВАЯ СУММА ОБЫКНОВЕННОГО АННУИТЕТА
- •4.3 ПОЛАГАЮЩИЕСЯ АННУИТЕТЫ
- •4.4 ОТСРОЧЕННЫЕ АННУИТЕТЫ
- •4.5 ТОЖДЕСТВА, СВЯЗЫВАЮЩИЕ НАКОПЛЕНИЯ И АННУИТЕТЫ
- •УПРАЖНЕНИЯ 4.1
- •4.6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛАТЕЖЕЙ АННУИТЕТА
- •4.7 АННУИТЕТЫ С НЕИЗВЕСТНЫМИ СРОКАМИ
- •4.9 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
- •УПРАЖНЕНИЯ 4.2
- •Глава 5 ОБЫКНОВЕННЫЕ ОБЩИЕ АННУИТЕТЫ
- •5.1 ВВЕДЕНИЕ
- •5.3 ИТОГОВАЯ СУММА И НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ ОБЫКНОВЕННОГО ОБЩЕГО АННУИТЕТА
- •5.4 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЫХ АННУИТЕТОВ В ОБЩИЕ
- •5.5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ ОБЩЕГО АННУИТЕТА
- •5.6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА ОБЩЕГО АННУИТЕТА
- •УПРАЖНЕНИЯ 5
- •Глава 7 ВЕЧНАЯ РЕНТА
- •7.1 ОБЫКНОВЕННАЯ ПРОСТАЯ И ОБЩАЯ ВЕЧНЫЕ РЕНТЫ
- •7.2 ПОЛАГАЮЩИЕСЯ РЕНТЫ
- •7.3 ДРУГОЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ ОБЩЕЙ РЕНТЫ
- •7.4 КАПИТАЛИЗАЦИЯ
- •7.5 СРАВНЕНИЕ АКТИВОВ НА ОСНОВЕ ИНВЕСТИЦИОННОЙ СТОИМОСТИ
- •7.6 СРАВНЕНИЕ АКТИВОВ НА ОСНОВЕ СТОИМОСТИ ПРОДУКЦИИ
- •УПРАЖНЕНИЯ 7
- •Глава 8 ОБЛИГАЦИИ
- •8.1 ВВЕДЕНИЕ
- •8.2 ИНВЕСТИЦИОННАЯ НОРМА
- •8.3 ПОКУПНАЯ ЦЕНА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ЗАДАННОЙ НОРМЫ ИНВЕСТИЦИИ
- •8.4 АЛЬТЕРНАТИВНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ПОКУПНОЙ ЦЕНЫ
- •8.5 ОЦЕНИВАНИЕ ОБЛИГАЦИЙ МЕЖДУ ДАТАМИ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
- •8.6 РАСПИСАНИЯ ОБЛИГАЦИЙ
- •8.7 ПРИОБРЕТЕНИЕ ОБЛИГАЦИЙ НА РЫНКЕ
- •8.8 ЦЕНА ОБЛИГАЦИИ МЕЖДУ ДАТАМИ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
- •8.9 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМЫ ДОХОДНОСТИ
- •8.10 ТАБЛИЦЫ ОБЛИГАЦИЙ
- •8.11 ДРУГИЕ ВИДЫ ОБЛИГАЦИЙ
- •Глава 9 ОБЕСЦЕНИВАНИЕ
- •9.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •9.2 ЛИНЕЙНЫЙ МЕТОД ИЛИ МЕТОД СРЕДНИХ
- •9.3 МЕТОД ПОГАСИТЕЛЬНОГО ФОНДА
- •9.4 МЕТОД СУММИРОВАНИЯ ДО ЦЕЛОГО
- •9.5 МЕТОД ПОСТОЯННЫХ ПРОЦЕНТОВ
- •9.6 ГОДОВАЯ ВЕЛИЧИНА ОБЕСЦЕНИВАНИЯ И ПРОЦЕНТОВ
- •9.7 ИСТОЩЕНИЕ
- •УПРАЖНЕНИЯ 9
- •Глава 10 ОБЩИЕ АННУИТЕТЫ
- •10.1 ОБЩИЕ ПОЛАГАЮЩИЕСЯ АННУИТЕТЫ
- •10.2 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
- •10.3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ПЛАТЕЖЕЙ И ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО ПЛАТЕЖА
- •10.4 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОБЩЕЙ ТЕОРЕМЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
- •10.5 ДРУГИЕ ВИДЫ АННУИТЕТОВ
- •УПРАЖНЕНИЯ 10
- •Глава 11 АКЦИИ
- •11.1.ВИДЫ АКЦИЙ
- •11.2 ТОРГОВЛЯ АКЦИЯМИ
- •11.3 ОЦЕНИВАНИЕ АКЦИЙ
- •11.4 ЦЕНЫ И ДОХОДНОСТИ
- •11.5 ФОРМУЛА МЭЙКХЭМА
- •УПРАЖНЕНИЯ
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •1. ОПИСАНИЕ «ТАБЛИЦ ДЛЯ ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТОВ»
- •2. ТАБЛИЦА ПОРЯДКОВЫХ НОМЕРОВ ДНЕЙ ГОДА
log(1 + i) п = n log(1 + i).
В предыдущем примере это привело бы к результату
log(1 + 0,052) = 20 log( 1,052 ) = 20 × 0,0693 = 1,0139
что дает величину множителя накопления равную 2,7562 и итоговую сумму 27562 рб. Этот результат показывает, в частности, точность вычисления по приближенной формуле. Погрешность составляет 29 рб, то есть 0,00105 или 0,105% от итоговой суммы.
В заключение заметим, что интерполяция является достаточно громоздкой процедурой и ею следует пользоваться только в тех случаях, когда под рукой есть таблицы и нет калькулятора, который мог бы возводить числа в произвольную степень. Если таковой имеется, лучше не использовать таблицы, а вычислять итоговую сумму по формуле (1).
2.5 НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ И СЛОЖНЫЙ ДИСКОНТ
Часто необходимо знать, какая основная |
сумма P |
, инвестированная |
||||||||
теперь, при |
данной |
норме |
процента |
даст накопление до заданной |
||||||
итоговой суммы S к заданной более поздней дате. В этих |
условиях P |
|||||||||
называется |
настоящей стоимостью |
суммы |
S . |
Другими |
словами, |
|||||
настоящая |
стоимость P на данную |
дату для |
суммы |
S |
на |
более |
||||
позднюю |
дату |
является |
основной |
суммой, |
которая, |
будучи |
инвестированной в данную дату при заданной норме процента, даст итог
S в эту более позднюю дату. |
Разность |
S - |
P называется сложным |
|||
дисконтом |
от суммы |
S |
, а процесс |
определения |
настоящей |
|
стоимости |
называется |
дисконтированием. Вычисление |
настоящей |
|||
стоимости ( |
или дисконтирование суммы |
S ) |
означает просто решение |
уравнения (1) относительно P , когда S , i и n заданы. Решение уравнения
(1) дает
P = S/(1+ i) п = S(1+ i) -п . |
(2) |
Стоящий в знаменателе множитель накопления может быть вычислен способами, описанными в предыдущем параграфе. Тем не менее и в этом случае в руководствах по финансовым расчетам приводятся таблицы обратных значений множителей накопления (1 + i) -п , которые принято называть множителями дисконтирования.
21
2.6 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ НОРМЫ
Очевидно, что знание годовой номинальной нормы процента бессмысленно, если не задана частота конверсий. Вместе с тем часто желательно знать полное годовое приращение на каждый рубль первоначальной основной суммы. Для этого вводится новое понятие -
годовая эффективная норма. Годовая эффективная норма r ,
соответствующая заданной номинальной норме j , конвертируемой m раз в год, - это полная сумма процентов, начисленных за год на каждый рубль основной суммы (капитала), имевшейся в начале года.
Для определения годовой эффективной нормы, соответствующей заданной номинальной норме j , конвертируемой с заданной частотой m , достаточно найти накопленную за год сумму при номинальной норме и приравнять ее к сумме, накопленной при эффективной норме r . Сумма, которую накопит 1 рб за 1 год при норме j , конвертируемой m раз, равна (1 + i) т , где i = j/m . При эффективной норме r 1 рб за 1 год накопит сумму (1 + r) . Приравнивая эти суммы, имеем
1 + r = (1 + i)m = (1 + (j/m))m |
(3) |
Равенство (3) связывает три величины, так что если две из них заданы, то третья может быть из него определена.
ПРИМЕР 1 Какая эффективная годовая норма соответствует номинальной норме j = 0,06 (6% , m = 3) ?
РЕШЕНИЕ 1 рб за год обеспечит итоговую сумму
(1 + (0,06)/3) = (1 + 0,02) = 1,0612
Поэтому годовая эффективная норма равна 6,12%.
ПРИМЕР 2 Найти годовую номинальную норму, конвертируемую поквартально, соответствующую эффективной норме 6% .
РЕШЕНИЕ В этом случае m = 4 , r = 0,06 .
1 + r = 1,06 = (1 + i)4
22
Отсюда log(1 + i) = (1/4) log(1,06) = 0,01457 или 1 + i = 1,01467. Наконец j = mi = 4 × 0,01467 = 0,0587.
Любые две нормы процента, номинальные или эффективные, которые дают одну и ту же составную итоговую сумму в конце года называются
годовыми |
эквивалентными или, более кратко, эквивалентными. |
||
Например, номинальная |
норма, конвертируемая ежемесячно, |
и другая |
|
номинальная |
норма, |
конвертируемая поквартально, |
являются |
эквивалентными, если они приводят к одной и той же итоговой сумме в
конце года, то есть |
j12 и j4 |
эквивалентны, если справедливо |
равенство (1 + j12 /12)12 |
= (1 + j4 /4)4 . |
Поскольку эквивалентные нормы дают одинаковую итоговую сумму за год ( а значит и за любое количество лет ) при любой основной сумме, логично принять следующий принцип :
в математике финансов всегда разрешается заменять заданную норму процента на эквивалентную ей. Важность этого принципа будет ясной из последующего. Например, если норма процента в какой-либо задаче равна j12 = 0,05 , она может быть заменена нормой процента j4 = 0,0502 .
2.7 СОСТАВНОЙ ИТОГ И НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ ДЛЯ ДРОБНЫХ ПЕРИОДОВ ВРЕМЕНИ
Утверждение типа «сложный процент при норме j1 |
= 0,08 за 15 месяцев» |
||||||||
не имеет смысла для введенных определений, |
поэтому должно быть |
||||||||
принято какое-либо соглашение как его понимать. |
Естественным |
путем |
|||||||
является |
замена данной нормы |
|
другой, |
эквивалентной |
ей, |
||||
которая конвертировалась бы через |
период, |
кратный |
15 месяцам. |
||||||
Например, подошла бы норма, |
конвертируемая |
поквартально. |
Тогда |
||||||
исходное |
утверждение |
заменяется |
на следующее: «сложный процент |
||||||
при норме j4 = 0,0777 за 5 кварталов» . |
|
|
|
|
|||||
ПРИМЕР 1 |
Найти |
составную |
итоговую сумму, если |
10000 рб |
накапливает проценты в течение 15 лет и 3 месяца при норме j = 6% .
РЕШЕНИЕ Первый шаг - это замена нормы j2 = 6% на конвертируемую поквартально, так как заданное время 15 лет и 3 месяца состоит из 61 квартала. Пусть i будет норма процента за квартал, эквивалентная j2 = 6% . Тогда
(1 + i)4 = ( 1,03 )2 или 1 + i = ( 1,03 )1/2
23
Накопление процентов в течение 61 квартала при норме i
S = 10000 × (1 + i) 61
Подставляя значение (1 + i) в это выражение, получаем
S = 10000 × ( 1,03 ) 61/2 = 24634 рб
При получении этого результата можно было бы использовать таблицы множителей накопления, используя i = 0,03 и n = 30,5 по схеме рассмотренной ранее.
Рассмотренный пример дает естественную основу для следующего правила: точный (или дисконтированный) метод накопления или
дисконтирования состоит |
в |
использовании основных уравнений (1) и (2) |
|||||
несмотря на то, является |
или нет временной интервал целым |
числом |
|||||
периодов конверсии, Можно показать, что точное правило |
всегда дает |
||||||
тот же результат, |
который получается путем замены |
данной |
нормы |
||||
процента на эквивалентную |
норму, для |
которой время накопления |
|||||
(дисконтирования) |
состоит |
из целого |
числа периодов |
конверсии, |
|||
Таким образом, |
реально |
нет необходимости искать |
эквивалентную |
||||
норму, поскольку конечный результат получается тот же самый. |
|
||||||
ПРИМЕР 2 Используя точный метод, найти текущую |
стоимость 50000 |
рб за 7 лет и 3 месяца до ее накопления с нормой процента j1 = 5%.
РЕШЕНИЕ Мы имеем S = 50000 , i = 0,05 , n = 7,25 . Отсюда
P = 50000 × ( 1,05 ) - 7,25 = 35103,27 .
Когда под рукой нет вычислительных средств, но есть таблицы множителей накопления ( дисконтирования ), можно в случае дробных продолжительностей использовать следующую аппроксимацию : для целой части периода конверсии найти составной итог накопления ( или текущую стоимость при дисконтировании ), а для дробной части использовать простую итоговую сумму ( или простое дисконтирование ), Так, в рассмотренном примере для 7 лет имеем
50000 × ( 1,05 ) -7 = 35534,06
затем осуществляем простое дисконтирование за 0,25 года
P = 35534,06 × (1 - ( 0,05 )( 0,25 )) = 35089,88 .
24
Как видим, в этом примере абсолютная точность определения текущей стоимости равна 35103,27 - 35089,88 = 13,39 что дает относительную точность 0,00038 или 0,038% .
Когда используется простой процент или простой дисконт при определении итоговой суммы или текущей стоимости для дробных
сроков накопления |
или |
дисконтирования, |
процедура |
вычисления |
||||||||
называется |
практическим методом и |
может |
быть сформулирована |
|||||||||
следующим |
образом. |
Для |
определения практическим |
методом |
||||||||
итоговой |
суммы |
или |
настоящей стоимости за дробный временной |
|||||||||
интервал сначала выделяется дробная часть года и для |
нее |
определяется |
||||||||||
промежуточный |
итог ( |
в случае накопления ) или |
промежуточная |
|||||||||
настоящая стоимость ( в случае дисконтирования ). На |
втором этапе эти |
|||||||||||
промежуточные значения принимаются в качестве исходных для |
задачи |
|||||||||||
с |
остающимся |
временным |
интервалом, насчитывающим целое число |
|||||||||
периодов конверсии. |
Приведем формальное описание этого метода. |
|||||||||||
В задаче определения итоговой суммы пусть |
P |
обозначает основную |
||||||||||
сумму, i - |
норму процента за период конверсии |
и временной интервал |
||||||||||
накопления равен n + t , |
где |
n - целое число периодов конверсии, а t |
||||||||||
- |
дробная часть периода |
конверсии, t |
< |
1 . |
Сначала |
определяется |
||||||
промежуточный итог с использованием простого процента |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
P(1 + it) |
|
|
|
|
|
|
|
Затем, используя технику сложных процентов |
и |
считая |
||||||||||
промежуточный итог основной суммой, находим |
окончательную |
|||||||||||
итоговую сумму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = P(1 + it)(1 + i) п .
Рассуждая аналогично для определения настоящей стоимости можно получить формулу
P = S(1 - it)(1 + i) -п .
Использование практического метода поясним на примере. Пусть необходимо определить итоговую сумму накопления для основной суммы 10000 рб при норме процента i = 10% за 4 года и 10 месяцев. Практический метод предлагает сначала найти промежуточный итог за 10 месяцев, используя технику простого процента, что дает
10000 × (1 + ( 0,1 )(10/12)) = 10833,33 ,
25