- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •Глава 1. ПРОЦЕНТНЫЕ ДЕНЬГИ
- •1.1 ПРОЦЕНТЫ
- •1.2 ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТ
- •УПРАЖНЕНИЯ 1
- •1.3 ВРЕМЯ МЕЖДУ ДАТАМИ. ОФОРМЛЕНИЕ ВЕКСЕЛЕЙ
- •1.4 ПРОСТОЙ ДИСКОНТ
- •УПРАЖНЕНИЯ 1.2
- •Глава 2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
- •2.1 СОСТАВНОЙ ИТОГ И СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
- •2.2 ОБОЗНАЧЕНИЯ
- •2.3 ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА СОСТАВНОГО ИТОГА
- •2.4 ВЫЧИСЛЕНИЕ СОСТАВНОГО ИТОГА
- •2.5 НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ И СЛОЖНЫЙ ДИСКОНТ
- •2.6 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ НОРМЫ
- •2.7 СОСТАВНОЙ ИТОГ И НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ ДЛЯ ДРОБНЫХ ПЕРИОДОВ ВРЕМЕНИ
- •УПРАЖНЕНИЯ 2
- •Глава 3 УРАВНЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
- •3.1 ДАТИРОВАННЫЕ СУММЫ
- •3.2 СЕРИИ ДАТИРОВАННЫХ СУММ
- •3.3 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЕРИИ ПЛАТЕЖЕЙ
- •УПРАЖНЕНИЯ 3
- •Глава 4 ПРОСТЫЕ АННУИТЕТЫ
- •4.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •4.2 НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ И ИТОГОВАЯ СУММА ОБЫКНОВЕННОГО АННУИТЕТА
- •4.3 ПОЛАГАЮЩИЕСЯ АННУИТЕТЫ
- •4.4 ОТСРОЧЕННЫЕ АННУИТЕТЫ
- •4.5 ТОЖДЕСТВА, СВЯЗЫВАЮЩИЕ НАКОПЛЕНИЯ И АННУИТЕТЫ
- •УПРАЖНЕНИЯ 4.1
- •4.6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛАТЕЖЕЙ АННУИТЕТА
- •4.7 АННУИТЕТЫ С НЕИЗВЕСТНЫМИ СРОКАМИ
- •4.9 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
- •УПРАЖНЕНИЯ 4.2
- •Глава 5 ОБЫКНОВЕННЫЕ ОБЩИЕ АННУИТЕТЫ
- •5.1 ВВЕДЕНИЕ
- •5.3 ИТОГОВАЯ СУММА И НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ ОБЫКНОВЕННОГО ОБЩЕГО АННУИТЕТА
- •5.4 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЫХ АННУИТЕТОВ В ОБЩИЕ
- •5.5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ ОБЩЕГО АННУИТЕТА
- •5.6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА ОБЩЕГО АННУИТЕТА
- •УПРАЖНЕНИЯ 5
- •Глава 7 ВЕЧНАЯ РЕНТА
- •7.1 ОБЫКНОВЕННАЯ ПРОСТАЯ И ОБЩАЯ ВЕЧНЫЕ РЕНТЫ
- •7.2 ПОЛАГАЮЩИЕСЯ РЕНТЫ
- •7.3 ДРУГОЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ ОБЩЕЙ РЕНТЫ
- •7.4 КАПИТАЛИЗАЦИЯ
- •7.5 СРАВНЕНИЕ АКТИВОВ НА ОСНОВЕ ИНВЕСТИЦИОННОЙ СТОИМОСТИ
- •7.6 СРАВНЕНИЕ АКТИВОВ НА ОСНОВЕ СТОИМОСТИ ПРОДУКЦИИ
- •УПРАЖНЕНИЯ 7
- •Глава 8 ОБЛИГАЦИИ
- •8.1 ВВЕДЕНИЕ
- •8.2 ИНВЕСТИЦИОННАЯ НОРМА
- •8.3 ПОКУПНАЯ ЦЕНА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ЗАДАННОЙ НОРМЫ ИНВЕСТИЦИИ
- •8.4 АЛЬТЕРНАТИВНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ПОКУПНОЙ ЦЕНЫ
- •8.5 ОЦЕНИВАНИЕ ОБЛИГАЦИЙ МЕЖДУ ДАТАМИ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
- •8.6 РАСПИСАНИЯ ОБЛИГАЦИЙ
- •8.7 ПРИОБРЕТЕНИЕ ОБЛИГАЦИЙ НА РЫНКЕ
- •8.8 ЦЕНА ОБЛИГАЦИИ МЕЖДУ ДАТАМИ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
- •8.9 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМЫ ДОХОДНОСТИ
- •8.10 ТАБЛИЦЫ ОБЛИГАЦИЙ
- •8.11 ДРУГИЕ ВИДЫ ОБЛИГАЦИЙ
- •Глава 9 ОБЕСЦЕНИВАНИЕ
- •9.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •9.2 ЛИНЕЙНЫЙ МЕТОД ИЛИ МЕТОД СРЕДНИХ
- •9.3 МЕТОД ПОГАСИТЕЛЬНОГО ФОНДА
- •9.4 МЕТОД СУММИРОВАНИЯ ДО ЦЕЛОГО
- •9.5 МЕТОД ПОСТОЯННЫХ ПРОЦЕНТОВ
- •9.6 ГОДОВАЯ ВЕЛИЧИНА ОБЕСЦЕНИВАНИЯ И ПРОЦЕНТОВ
- •9.7 ИСТОЩЕНИЕ
- •УПРАЖНЕНИЯ 9
- •Глава 10 ОБЩИЕ АННУИТЕТЫ
- •10.1 ОБЩИЕ ПОЛАГАЮЩИЕСЯ АННУИТЕТЫ
- •10.2 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
- •10.3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ПЛАТЕЖЕЙ И ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО ПЛАТЕЖА
- •10.4 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОБЩЕЙ ТЕОРЕМЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
- •10.5 ДРУГИЕ ВИДЫ АННУИТЕТОВ
- •УПРАЖНЕНИЯ 10
- •Глава 11 АКЦИИ
- •11.1.ВИДЫ АКЦИЙ
- •11.2 ТОРГОВЛЯ АКЦИЯМИ
- •11.3 ОЦЕНИВАНИЕ АКЦИЙ
- •11.4 ЦЕНЫ И ДОХОДНОСТИ
- •11.5 ФОРМУЛА МЭЙКХЭМА
- •УПРАЖНЕНИЯ
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •1. ОПИСАНИЕ «ТАБЛИЦ ДЛЯ ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТОВ»
- •2. ТАБЛИЦА ПОРЯДКОВЫХ НОМЕРОВ ДНЕЙ ГОДА
Настоящая стоимость A займа является настоящей стоимостью аннуитета с платежами по 5000 рб, 30 интервалами платежа при норме процента i = 2,75% . Уравнение эквивалентности
A = R аn i = 5000 а30 0,0275 = 5000 × 20,2459301 = 101246,51
b) Дополнительная сумма 2000 рб должна быть помещена на диаграмме в конце 31-го интервала платежа, A равно сумме всех платежей, дисконтированных к началу :
A = 5000 а30 0,0275 + 2000(1,0275) -31 = 102109,08 рб.
|
|
4.3 ПОЛАГАЮЩИЕСЯ АННУИТЕТЫ |
|
|
|
|||||
Иногда желательно считать, что срок аннуитета начинается датой |
первого |
|||||||||
платежа. В этом случае |
периодические платежи |
производятся |
в |
|||||||
начальные |
моменты |
интервалов платежа, |
а |
не в |
конце. |
Такой |
||||
аннуитет |
называется полагающимся аннуитетом и состоит |
из серии |
||||||||
периодических платежей, |
производимых |
в |
начальные |
моменты |
||||||
интервалов платежей, со сроком, |
начинающимся датой |
первого |
платежа |
|||||||
и заканчивающимся через |
один |
интервал после последнего платежа. |
||||||||
Так |
как |
настоящая |
стоимость аннуитета |
была |
определена |
как |
эквивалентная сумма на начало срока, значит настоящая стоимость полагающегося аннуитета является эквивалентной суммой на момент первого платежа. В свою очередь, итоговая сумма аннуитета была определена как эквивалентная сумма на конец срока, поэтому итоговая сумма полагающегося аннуитета является эквивалентной суммой на дату окончания интервала платежа, который начался в момент последнего платежа.
Как и прежде A |
будет обозначать настоящую стоимость, |
S |
- итоговую |
||||||
сумму, R - стоимость периодического платежа и |
i - |
норму |
процента за |
||||||
интервал |
платежа |
полагающегося |
аннуитета |
из |
n |
платежей. |
|||
Представим эти данные на временной диаграмме |
|
|
|
|
|||||
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 ... n-2 |
n-1 |
n |
|
|
|
|
R |
R |
R |
R ... R |
R |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
S |
|
|
|
44
Из диаграммы видно, что существенное отличие полагающегося аннуитета от обыкновенного аннуитета состоит в том, что по отношению к эквивалентным суммам A и S при полагающемся аннуитете каждый платеж делается на один интервал платежа раньше, чем при обыкновенном аннуитете. Сформулируем схемы вычислений настоящей стоимости и итоговой суммы для полагающихся аннуитетов.
Определение A. Способ 1. Выписывается |
уравнение эквивалентности |
|||||||||||||||||||
с датой сравнения, установленной |
на интервал платежа раньше даты |
|||||||||||||||||||
первого платежа. На эту дату n платежей R |
могут рассматриваться как |
|||||||||||||||||||
обыкновенный аннуитет. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
A(1 + i) -1 = R a |
|
|
|
i . |
|
||||||||||||||
|
n |
|
|
|||||||||||||||||
Из этого равенства получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A = (1 + i) R a |
|
|
|
|
|
i . |
|
|
|
|
(4) |
||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Способ 2. |
Выписывается уравнение |
эквивалентности |
с датой |
|||||||||||||||||
сравнения, установленной на дату начала |
срока. Платеж в этот день |
|||||||||||||||||||
рассматривается как выплата наличными, а |
остальные n-1 платежей |
|||||||||||||||||||
могут рассматриваться как обыкновенный аннуитет. Поэтому |
|
|||||||||||||||||||
|
A = R + R a |
|
|
i = R(1 + a |
|
|
i ). |
(5) |
||||||||||||
|
n 1 |
|
n 1 |
|
||||||||||||||||
Определение S. Способ 1. Выписывается |
уравнение эквивалентности |
|||||||||||||||||||
с датой сравнения, установленной на дату последнего платежа. |
На эту |
|||||||||||||||||||
дату платежи |
могут рассматриваться как обыкновенный аннуитет. |
|||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(1 + i) -1 = R |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
n |
i |
|
|
|
|
|||||||||||||
Разрешая это соотношение относительно S , получим |
|
|||||||||||||||||||
|
S = (1 + i) R |
s |
|
|
i . |
|
|
|
|
(6) |
||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
Способ 2. Обращаясь снова к временной диаграмме, можно увидеть, что если добавить дополнительный платеж в конце последнего интервала платежа, получающаяся серия платежей ( начинающаяся за
45
интервал платежа до начала срока рассматриваемого аннуитета ) может рассматриваться как обыкновенный аннуитет с n + 1 платежами. Этот дополнительный платеж увеличивает сумму S ровно на R , так как делается в день окончания срока аннуитета. Поэтому
S + R = R s n 1 i .
Отсюда итоговая сумма полагающегося аннуитета равна
|
|
S = R s |
|
|
i |
- R = R( s |
|
|
i |
- 1) . |
(7) |
|
|
n 1 |
|
n 1 |
|
||||||
Знакомясь со способами расчета |
A и S , следует иметь ввиду, что |
||||||||||
главное здесь |
не |
полученные |
формулы, |
|
а рассуждения, с помощью |
||||||
которых они получены. Именно такого рода |
рассуждения |
часто |
|||||||||
используются |
при |
решении разнообразных финансовых проблем, как |
|||||||||
можно увидеть позже. |
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 1 Найти эквивалентную стоимость холодильника, который может быть куплен в течение полутора лет ежемесячными платежами по 200000 рб , если деньги стоят j12 = 6% .
РЕШЕНИЕ На основе исходных данных построим диаграмму
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
... |
16 |
17 |
18 |
200000 200000 200000 200000 ... 200000 200000
A
Способ 1. На дату, помеченную -1 , платежи образуют обыкновенный аннуитет из 18 платежей, а эквивалентная сумма A рассчитывается на 1 интервал платежа позже. Уравнение эквивалентности на дату сравнения -1 имеет вид
A(1,005) -1 = 200000 × a 1 8 0 , 0 0 5
поэтому
A = 201000 × 17,172768 = 3451726 рб.
Способ 2. Первый платеж можно рассматривать как выплату наличными, а остальные 17 платежей считать обыкновенным аннуитетом со сроком,
46
начинающимся в день покупки. Тогда из уравнения эквивалентности с датой сравнения в день покупки получим
A = 200000 + 200000 × a 1 7 0 , 0 0 5 =
= 200000 × (1 + 16,258632) = 3451726 рб.
ПРИМЕР 2 Сберегательный банк начисляет проценты с нормой j2 = 4% Если на депозитный счет вносить в начале каждого полугодия по 50000 рб, какая сумма будет лежать на этом счете через 12 лет ?
РЕШЕНИЕ Поместим исходные данные на временную диаграмму
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 ... |
22 |
23 |
24 |
|
50т |
50т |
50т |
50т ... |
50т |
50т |
S |
|
|
|
|
|
|
|
Способ 1. Выпишем уравнение эквивалентности, используя дату последнего платежа как дату сравнения. На эту дату накопленная сумма платежей равна итоговой сумме обыкновенного аннуитета, поэтому
S(1,02) -1 = 50000 × s 2 4 0 , 0 2 .
Отсюда имеем
S = 51000 × 30,421862 = 1551515 рб.
Способ 2. В конце 24-го интервала платежа добавим лишние 50000 рб к серии платежей аннуитета и добавим также 500000 рб к эквивалентной сумме S. Уравнение эквивалентности на конец 24-го интервала теперь примет вид
S + 50000 = 50000 × s 2 5 0 , 0 2 .
Из него находим
S = 50000( s 2 5 0 , 0 2 - 1 ) = 50000(32,0303 - 1) = 1551515.
47