log(1 + i) п = n log(1 + i).

В предыдущем примере это привело бы к результату

log(1 + 0,052) = 20 log( 1,052 ) = 20 × 0,0693 = 1,0139

что дает величину множителя накопления равную 2,7562 и итоговую сумму 27562 рб. Этот результат показывает, в частности, точность вычисления по приближенной формуле. Погрешность составляет 29 рб, то есть 0,00105 или 0,105% от итоговой суммы.

В заключение заметим, что интерполяция является достаточно громоздкой процедурой и ею следует пользоваться только в тех случаях, когда под рукой есть таблицы и нет калькулятора, который мог бы возводить числа в произвольную степень. Если таковой имеется, лучше не использовать таблицы, а вычислять итоговую сумму по формуле (1).

2.5 НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ И СЛОЖНЫЙ ДИСКОНТ

инвестированной в данную дату при заданной норме процента, даст итог

уравнения (1) относительно P , когда S , i и n заданы. Решение уравнения

(1) дает

Стоящий в знаменателе множитель накопления может быть вычислен способами, описанными в предыдущем параграфе. Тем не менее и в этом случае в руководствах по финансовым расчетам приводятся таблицы обратных значений множителей накопления (1 + i) -п , которые принято называть множителями дисконтирования.

21

Отсюда log(1 + i) = (1/4) log(1,06) = 0,01457 или 1 + i = 1,01467. Наконец j = mi = 4 × 0,01467 = 0,0587.

Любые две нормы процента, номинальные или эффективные, которые дают одну и ту же составную итоговую сумму в конце года называются

эквивалентными, если они приводят к одной и той же итоговой сумме в

Поскольку эквивалентные нормы дают одинаковую итоговую сумму за год ( а значит и за любое количество лет ) при любой основной сумме, логично принять следующий принцип :

в математике финансов всегда разрешается заменять заданную норму процента на эквивалентную ей. Важность этого принципа будет ясной из последующего. Например, если норма процента в какой-либо задаче равна j12 = 0,05 , она может быть заменена нормой процента j4 = 0,0502 .

2.7 СОСТАВНОЙ ИТОГ И НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ ДЛЯ ДРОБНЫХ ПЕРИОДОВ ВРЕМЕНИ

накапливает проценты в течение 15 лет и 3 месяца при норме j = 6% .

РЕШЕНИЕ Первый шаг - это замена нормы j2 = 6% на конвертируемую поквартально, так как заданное время 15 лет и 3 месяца состоит из 61 квартала. Пусть i будет норма процента за квартал, эквивалентная j2 = 6% . Тогда

(1 + i)4 = ( 1,03 )2 или 1 + i = ( 1,03 )1/2

23

Накопление процентов в течение 61 квартала при норме i

S = 10000 × (1 + i) 61

Подставляя значение (1 + i) в это выражение, получаем

S = 10000 × ( 1,03 ) 61/2 = 24634 рб

При получении этого результата можно было бы использовать таблицы множителей накопления, используя i = 0,03 и n = 30,5 по схеме рассмотренной ранее.

Рассмотренный пример дает естественную основу для следующего правила: точный (или дисконтированный) метод накопления или

рб за 7 лет и 3 месяца до ее накопления с нормой процента j1 = 5%.

РЕШЕНИЕ Мы имеем S = 50000 , i = 0,05 , n = 7,25 . Отсюда

P = 50000 × ( 1,05 ) - 7,25 = 35103,27 .

Когда под рукой нет вычислительных средств, но есть таблицы множителей накопления ( дисконтирования ), можно в случае дробных продолжительностей использовать следующую аппроксимацию : для целой части периода конверсии найти составной итог накопления ( или текущую стоимость при дисконтировании ), а для дробной части использовать простую итоговую сумму ( или простое дисконтирование ), Так, в рассмотренном примере для 7 лет имеем

50000 × ( 1,05 ) -7 = 35534,06

затем осуществляем простое дисконтирование за 0,25 года

P = 35534,06 × (1 - ( 0,05 )( 0,25 )) = 35089,88 .

24

Как видим, в этом примере абсолютная точность определения текущей стоимости равна 35103,27 - 35089,88 = 13,39 что дает относительную точность 0,00038 или 0,038% .

Когда используется простой процент или простой дисконт при определении итоговой суммы или текущей стоимости для дробных

S = P(1 + it)(1 + i) п .

Рассуждая аналогично для определения настоящей стоимости можно получить формулу

P = S(1 - it)(1 + i) -п .

Использование практического метода поясним на примере. Пусть необходимо определить итоговую сумму накопления для основной суммы 10000 рб при норме процента i = 10% за 4 года и 10 месяцев. Практический метод предлагает сначала найти промежуточный итог за 10 месяцев, используя технику простого процента, что дает

10000 × (1 + ( 0,1 )(10/12)) = 10833,33 ,

25