16.Волна де Бройля. Соотношение Гейзенберга.

Французский ученый Луи де Бройль, развивая представления о двойственной корпускулярно-волновой природе света,  выдвинул в 1923 году гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Де Бройль утверждал, что между свойствами света и свойствами материальных частиц существует глубокая аналогия, следовательно материальные частицы обладают также двойственной природой, т.е. в определенных условиях проявляются их волновые свойства.

Как известно из оптики, квант света – фотон, кроме энергии характеризуется импульсом:;

так как .  Следовательно, длина волны фотона:

                                         (1.1)

Де-Бройль постулировал, что частице с импульсом соответствует длина волны:(1.2)

Это соотношение (формула де Бройля) справедливо для любой частицы с импульсом р.

Вскоре гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально. Американские физики К.Дэвиссон и Л.Джермер в 1927 г. изучали рассеяние электронов на монокристалле никеля с помощью установки, изображенной на рис. Пучок электронов из электронной пушки 1 направлялся на кристалл никеля 2, рассеянные от кристалла электроны 3 улавливались специальным приемником 4, соединенным с чувствительным гальванометром. Интенсивность отраженного пучка определялась по силе тока, текущего через гальванометр. Опыты показали, что при заданном угле падения электроны отражаются от поверхности кристалла под различными углами, причем в одних направлениях наблюдаются максимумы числа отраженных электронов, в других – минимумы, то есть наблюдалась дифракционная картина. Это явление наблюдалось, когда длина электронной волны де Бройля имеет порядок межатомного расстояния в кристалле. Дифракционные максимумы соответствовали формуле Вульфа-Брэггов, а брэгговская длина волны оказалась в точности равной длине волны, вычисленной по формуле (1.2).

Действительно, в опыте Джермера и Дэвиссона скорость электрону сообщалась в ускоряющем электрическое поле пушки: .  Следовательно:.                      (1.3)

Поставив (1.3) в (1.2), получим: ,

где .

В обычных электронных приборах , следовательно, длина волны де Бройля должна иметь порядокм, то есть такой же, что и рентгеновские лучи, а расстояние между узлами кристаллической решетки имеет тот же порядок:. При энергии электроновполучался острый максимум для угла рассеивания 50^о. По условию дифракции (формуле Вульфа-Брэггов) это соответствовало длине волны и из формулы де-Бройля тоже:.

Позже П.С.Тартаковский и Г.Томсон исследовали прохождение быстрых электронов   через тонкие металлические пленки. При этом на фотопластинках за этими пленками получалась дифракционная картина такая же, как при дифракции рентгеновских лучей на поликристаллах.

В 1949 г. В.А.Фабрикант, Л.М.Биберман и Н.Г.Сушкин осуществили опыты по дифракции электронов с очень малой силой тока в приборе, то есть каждый электрон регистрировался фотопластинкой в случайных местах. При длительной экспозиции была получена такая же дифракционная картина, как и при короткой с большой силой тока. Это означает, что волновые свойства присущи каждому электрону в отдельности, однако дифракция одного электрона не дает всей системы точек, которая получается при дифракции от потока. След одного электрона окажется лишь в одной точке, которая разрешена условием дифракции. В этом проявляется корпускулярная природа электронов, так как электрон не может расплыться. В какое именно из мест попадет электрон, говорить нельзя. Можно говорить лишь о вероятности попадания в точку пространства.

Таким образом, электрону присуща двойственная природа, т.е. он сочетает в себе свойства и частицы, и волны. Волновая природа электронов подтверждается опытами по их дифракции. Корпускулярная природа электронов проявляется в том, что электрон действует как единое целое, не дробясь на части.

Впоследствии дифракционные явления обнаружили также для нейтронов, протонов, атомных и молекулярных пучков. Это окончательно послужило доказательством наличия волновых свойств микрочастиц и позволило описать движение микрочастиц в виде волнового процесса, характеризующегося определенной длиной волны, рассчитываемой по формуле де Бройля (1.2).

  Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

 

Подтвержденная экспериментально гипотеза де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме свойств вещества коренным образом изменила представления о свойствах микрообъектов. Всем микрообъектам присущи и корпускулярные, и волновые свойства; в то же время любую из микрочастиц нельзя считать ни частицей, ни волной в классическом понимании.

В.Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные с волновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел в 1927 г. к выводу, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью харак­теризовать и координатой и импульсом. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица не может иметь одновременно и определен­ную координату (х, у, z), и определенную соответствующую проекцию импульса (р_х, р_у, p_z), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям:                  ,,,            (2.1)

где Dx, Dу, Dz – неопределенности координат частицы, а ,,- неопределенности компонент импульса. Произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядкаh. То есть, чем точнее мы знаем координату, тем менее определена проекция импульса и наоборот. Отсюда вытекает и фактическая невозможность одновременно с любой, наперед заданной точностью измерить координату и импульс микрообъекта.

Поясним, что соотношение неопределенностей действительно вытекает из волновых свойств микрочастиц. Пусть поток электронов проходит через узкую щель шириной Dх, расположенную перпендикулярно направлению их движения (рис.2.1). Так как электроны обладают волновыми свойствами, то при их прохождении через щель, размер которой сравним с длиной волны де Бройля l электрона, наблюдается дифракция. Дифракционная картина, наблюдаемая на экране (Э), характеризуется главным максимумом, расположенным симметрично оси Y, и побочными максимумами по обе стороны от главного (их не рассматриваем из-за незначительной интенсивности по сравнению с главным максимумом).

До прохождения через щель электроны двигались вдоль оси Y, поэтому составляющая импульса р_х=0, так что =0, а координатах частицы является совершенно неопределенной. В момент прохождения электронов через щель их положение в направление оси Х определяется  с точностью до ширины щели, т.е. с точностью Dх. В этот же момент вследствие дифракции электроны отклоняются от первоначального направления и будут двигаться в пределах угла 2j (j – угол, соответствующий первому дифракционному минимуму). Следовательно, появляется неопределенность в значении составляющей импульса вдоль оси Y, которая, как следует из рис.2.1 и формулы (1.2), равна         .                    (2.2)

Ограничимся рассмотрением электронов, попадающих на экран в пределах главного максимума. Из теории дифракции известно, что первый минимум соответствует углу j, удовлетворяющему условию

,                          (2.3)

где Dх–ширина щели, а l – длина волны де Бройля. Из формул (2.2) и (2.3) получим                        ,

где учтено, что для некоторой незначительной части электронов, попадающих за пределы главного максимума, . Следовательно, получаем выражение    ,  то есть соотношение неопределенностей (2.1).

Соотношение неопределенностей получено при одновременном использовании классических характеристик движения частицы (координаты, импульса) и наличия у нее волновых свойств. Оно является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам и  позво­ляет оценить, например, в какой мере можно применять понятия классической меха­ники к микрочастицам, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Известно, что движение по траектории характеризуется в любой момент времени определенными значениями координат и скорости. Выразим соотношение неопределенностей (2.1) в виде                  

                                    (2.4)

Из этого выражения следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределен­ности ее координаты и скорости и, следовательно, с тем большей точностью можно применять к этой частице понятие траектории. Для описания движения макротел с абсолютной достоверностью можно пользоваться законами классической механики, чего нельзя делать для описания, например, движе­ния электрона в атоме.

В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей для энергии Е и времени t, т.е. неопределенности этих величин удовлетворяют условию

                            (4.5)

где DЕ – неопределенность энергии некоторого состояния системы, Dt – промежуток времени, в течение которого оно существует. Следовательно, систе­ма, имеющая среднее время жизни Dt, не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии DЕ=h/Dt возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Из выражения (4.5) следует, что частота излученного фотона также должна иметь неопределенность Dn =DЕ /h, т.е. линии спектра должны характеризо­ваться частотой, равной n±DЕ /h. Опыт действительно показывает, что все спектраль­ные линии размыты; измеряя ширину спектральной линии, можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.