Лекция 5

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Учебные вопросы:

1. Работа силы.

2. Кинетическая энергия точки и механической системы.

3.Теорема об изменении кинетической энергии точки.

4. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

5. Потенциальное силовое поле и потенциальная энергия.

1. Работа силы.

Элементарная работа силы — это бесконечно малая ска­лярная величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор бесконечного малого перемещения точки приложения силы :

.

—приращение ра­диуса-вектора точки приложе­ния силы, годографом которого является траектория этой точки. Элементарное перемещениеточ­ки по траектории совпадает св силу их малости. Поэтому

.

Так как — проекция силы на направление пе­ремещения точки (при криволинейной траектории — на каса­тельную оськ траектории, то

,

т. е. работу совершает только касательная сила, а работа нор­мальной силы равна нулю.

Если то

если то

если то.

Представим векторы ичерез их проекции на оси де­картовых координат:

,

.

Работа силы на конечном перемещении равна инте­гральной сумме элементарных работ на этом перемещении

.

или

.

Если сила постоянная, а точка ее приложения перемещает­ся прямолинейно, то

.

Работа силы тяжести

,

где h — перемещение точки приложения силы по вертикали вниз (высота).

При перемещении точки приложения силы тяжести вверх (точка— внизу,— вверху). Итак,

.

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории. При движении по замкнутой траектории (совпадает с) работа равна нулю.

Работа силы упругости пружины.

Пружина растягивается только вдоль оси х

,

где — величина деформации пружины. При перемещении точки приложения силы из нижнего положения в верхнее направление силы и направление перемещения совпадают, тогда.

Поэтому работа силы упругости

.

Работа сил, приложенных к твердому телу.

а) Работа внутренних сил

Для двух k - х точек: , т. к.и(доказывается в кинематике) (рис. 80).

Элементарная работа всех внутренних сил в твердом теле равна нулю:

.

Следовательно, на любом конечном перемещении тела

.

б) Работа внешних сил.

Поступательное движение тела .

Элементарная работа k –й силы

.

Для всех сил

.

Так как при поступательном движении , то

,

где — проекция главного вектора внешних сил на направление перемещения.

Работа сил на конечном перемещении

.

Вращение тела вокруг неподвижной оси .

Элемен­тарная работа k - й силы

,

где ,и— составляю­щие силыпо естественным осям

Так как ,, то работа этих сил на перемещениеточки приложения силы равна нулю. Тогда

,

но

.

Элементарная работа k - й внешней силы равна произве­дению момента этой силы относительно оси вращенияна элементарный угол поворотатела вокруг оси.

Элементарная работа всех внешних сил

,

где — главный момент внешних сил относительно оси.

Работа сил на конечном перемещении

.

Если , то

,

где — конечный угол поворота;, гдеп — число оборотов тела вокруг оси.

Мощность — это работа, выполненная силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность

,

где А – работа, совершенная силой на конечном перемещении, за время t.

В более общем случае мощность силы можно определить как отношение элементарной работы силы dA к элементарному про­межутку времени dt, за который совершена эта работа, что представляет собой производную от работы по времени. Поэтому

.

При вращении тела вокруг неподвижной оси

,

где — угловая скорость вращения тела.

Единицы измерения работы и мощности. В системе СИ единица измерения работы силы — джоуль (1 Дж= 1 Нм),

Единица измерения мощности соответственно — ватт (1 Вт = 1 Дж/с)

75 кГм/с = 1 л. с. (лошадиная сила).

1 кВт= 1000 Вт = 1,36 л. с.