1.2.3 Элементы алгебры логики

1.2.3.1 Основные понятия

Алгебра логики или булева алгебра (ее разработчик – Дж. Буль) вытекает из логики, основу которой составили труды Аристотеля (384-322 гг до н. э.). Логика – наука о доказательных рассуждениях Правильность рассуждения определяется только его логической конструкцией (структурой), и не зависит конкретного содержания входящих в него рассуждений.

Математическая логика была создана во второй половине 19-го века, исчисления позволяют устранять неясности естественного языка. Математическая логика = Формальная логика + алгебраические операции.

Алгебра логики (булева алгебра) используется для описания логики функционирования аппаратных и программных средств вычислительной техники и представляет собой раздел математической логики, изучающий строение логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

В алгебре логике все переменные и функции могут принимать только два значения 0 (Ложь, False) и 1 (истина, True).

Отношение между двумя высказываниями (или логическими функциями), когда для всех наборов значений аргументов значения функций на одинаковых наборах совпадают, называются эквивалентными. Логические выражения, истинные при любых значениях истинности входящих в них переменных, называют тавтологиями (от греч. “tauto” – то же самое и “logos” – слово).

Алгебра логики оперирует с высказываниями - грамматически правильными повествовательными предложениями, передающими смысл. Высказывание является истинным или ложным, простым или сложным, образованным из простых с помощью логических связок “и”, “или”, “не”, “если... , то” и т. п. Основные термины алгебры логики:

• простое высказывание – повествовательное предложение, принимающее одно из двух возможных значений – истина или ложь;

• предикат – высказывание с переменными, которое при одних значениях переменных может стать истинным высказыванием, при других – ложным;

• рассуждение – цепочка взаимосвязанных фактов и умозаключений, вытекающих друг из друга;

• составное высказывание – комбинация простых высказываний, соединенных логическими операциями.

1.2.3.2 Операции (высказывания) алгебры логики

Типы высказываний (основные операции алгебры логики):

1. Конъюнкция – логическое умножение (результат соединения высказываний с помощью связки “и”) дает сложное высказывание, истинное только тогда, когда истинны оба составляющие его высказывания обозначаются: xy или x & y или ху, читается “х и у”.

Обозначается Таблица истинности

на схемах & логического умножения

X	Y	Х  Y
0	0	0
1	0	0
0	1	0
1	1	1

2. Дизъюнкция – логическое сложение (результат соединения высказываний с помощью связки ”или”) дает сложное высказывание, истинное, когда истинно хотя бы одно из составляющих его высказываний. Обозначается xy или x + y – дизъюнкция, читается “х или у”

Обозначается Таблица истинности

на схемах 1 логического сложения

X	Y	Х  Y
0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	1

3. Строгая дизъюнкция (результат соединения высказываний с помощью связки “исключающее или”) дает сложное высказывание, истинное, когда истинно только одно из составляющих его высказываний (xy или xy - строгая дизъюнкция).

Таблица истинности

X	Y	Х Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Иначе эта операция называется “сложение по модулю 2”, т.к. при сложении четного количества единиц результат будет 0, а при сложении нечетного количества единиц – 1.

4. Инверсия - логическое отрицание (результат применения к высказыванию связки “не”) дает сложное высказывание, истинное, когда исходное высказывание ложно (x или - инверсия).

Обозначается инверсия Таблица истинности инверсии

Х
0	1
1	0

на схемах

5. Импликация (следование) (результат соединения высказываний с помощью связки “если ... , то”) дает сложное высказывание, ложное, только когда первое из составляющих его высказываний истинно, а второе - ложно (xy - импликация).

Таблица истинности

импликации

Х	Y	XY
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

6. Эквиваленция (результат соединения высказываний с помощью связки “тогда и только тогда”) дает сложное высказывание, истинное, когда истинность составляющих его высказываний совпадает (X  Y или X  Y - эквиваленция).

Эта операция называется также “эквивалентность” или равнозначность. Ее таблица истинности

Х	Y	XY
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Алгебра логики вводит аксиомы и основные законы, с помощью которых можно упростить схемную реализацию компьютерных устройств или алгоритмов обработки информации, тем самым повысить надежность и сократить затраты на обработку информации. Используются также логические операторы - кванторы общности (“для всех”) и существования (“существует”). Для сложных высказываний строятся таблицы истинности, например:

A	B	AB	AB	AB
0 (ЛОЖЬ)	0 (ЛОЖЬ)	0 (ЛОЖЬ)	0 (ЛОЖЬ)	1 (ИСТИНА)
0 (ЛОЖЬ)	1 (ИСТИНА)	0 (ЛОЖЬ)	1 (ИСТИНА)	1 (ИСТИНА)
1 (ИСТИНА)	0 (ЛОЖЬ)	0 (ЛОЖЬ)	1 (ИСТИНА)	0 (ЛОЖЬ)
1 (ИСТИНА)	1 (ИСТИНА)	1 (ИСТИНА)	1 (ИСТИНА)	1 (ИСТИНА)