3. Освоить порядок расчета переходных процессов классическим методом

Познакомиться с методикой расчета переходных про­цессов на примере разветвленной цепи (рис. 15), в кото­рой известно: U, R₁ , R₂ , L, С. Найти переходные токи i₁ , i₂ , i₃ .

3.1. Рассчитать схему до коммутации. Цель: опре­делить независимые начальные условия (ток в индуктив­ности, напряжение на емкости)

i₃(0_-)=0; u_C(0_-)=U.

3.2. Рассчитать схему после коммутации (установив­шийся режим). Цель: определить принужденные состав­ляющие токов и напряжений.

3.3. Составить уравнения Кирхгофа для заданной схе­мы после коммутации:

(3)

(4)

(5)

3.4. Дальнейшее решение выполнить в целях получе­ния характеристического уравнения и его корней, кото­рые определяют вид функции для свободной составляю­щей. Возможны несколько различных путей нахождения характеристического уравнения.

Первый путь (классический). Решение системы урав­нений (3...5) производится обычным путем, т. е. исклю­чая переменные величины и получая дифференциальное уравнение относительно одной переходной величины. Из формулы (4) выразить

(6)

Уравнение (5) дифференцируйте следующим образом:

Из полученного уравнения

(7)

Подставьте выражения (6) и (7) в уравнение (3):

(8)

Итак, получено дифференциальное уравнение второго порядка, относительно одной переменной.

Характеристическое уравнение:

(9)

Второй путь. Система уравнений (3...5) для свобод­ных составляющих:

Оно записывается в символической алгебраической форме, при которой символ р заменяет операцию дифференцирования р=, а символоперацию интегри­рования

(10)

Дифференциальные уравнения превратились в ал­гебраические относительно этих же функций. Такое пре­образование называется алгебраизацией системы диффе­ренциальных уравнений.

Составим определитель системы (10) и, приравняв его к нулю, убедимся, что получим характеристическое уравнение (9):

Третий путь. Характеристическое уравнение часто по­лучают более простым способом. С этой целью составля­ют выражение комплекса входного сопротивления отно­сительно любой ветви. (11)

Заменив в этом уравнений , приравнивают Z(р) к

нулю.

Приравняв числитель к нулю, получают характеристиче­ское уравнение:

3.5. Найдя корни характеристического уравнения, можно написать выражение для свободных токов и на­пряжений. Для уравнения второго порядка, соответствую­щего заданной схеме, возможны следующие решения:

а) корни р₁ и р₂ вещественные и неравные:

(12)

б) корни р₁ и р₂ вещественные и равные, т. е. р₁ = р₂ = p

(13)

в) корни р₁ и р₂ комплексные и сопряженные:

р_1,2 == —   j,

(14)

Поскольку дальнейший расчет не зависит от вида кор­ней характеристического уравнения, рассмотрим порядок расчета для первого случая (корни р₁ и р₂ —ве­щественные и различные).

3.6. Записать решение для напряжения на конденса­торе как сумму принужденной и свободной составляю­щих:

(15)

Такой путь целесообразен потому, что с помощью на­чальных условий он позволяет определить постоянные интегрирования, а затем — искомые токи.

Для получения дополнительного уравнения выраже­ние (15) продифференцировать:

(16)

Уравнения (15...16) записать при t=0₊:

u_C (0₊) =u_Cпр+А₁+А₂

(17)

Для нахождения обратиться к системе уравнений Кирхгофа (З...5), записанной при t=0:

При этом необходимо учесть, что

Далее подставить найденные ранее независимые на­чальные условия i₃(0) и u_C(0) и числовые данные; в ре­зультате должна получиться система 3-х уравнений с тремя неизвестными i₁(0₊), i₂(0₊), и u_L(0₊).

Решая эту систему, найти i₂(0), а затем

Определить постоянные интегрирования A₁ и А₂, ре­шая систему уравнений (17).

3.7. Зная закон изменения напряжения на емкости,

нетрудно определить другие величины, используя урав­нения Кирхгофа (3...5):

Таким образом, рекомендуем следующий порядок расчета переходного процесса классическим методом:

1) определить независимые начальные условия; для этого рас­считать ток в индуктивности и напряжение на емкости до комму­тации;

2) определить принужденные составляющие токов и напряжений после коммутации (установившийся режим);

3) с помощью законов Кирхгофа составить систему уравнений для мгновенных значений напряжений и токов после коммутации, задавшись предварительно направлением токов в ветвях;

4) составить характеристическое уравнение любым из описан­ных способов; найти его корни;

5) записать общее решение искомой величины как сумму при­нужденной и свободной составляющих; следует помнить, что выра­жение свободной составляющей зависит от вида корней характе­ристического уравнения;

6) определить постоянные интегрирования, пользуясь начальны­ми условиями.

Пример 4. Определить ток i₂ в схеме рис. 16, если Е=120В, L=1 мГн, С=10 мкф, R₁=3 Ом, R₄=3 Ом, R₂=1 Ом , R₃=4 Ом.

Решение.

Расчет схемы до коммутации, определение незави­симых начальных условий:

2. Определение принужденных составляющих, расчет схемы после коммутации (установившийся режим):

3. Система уравнений Кирхгофа для схемы после ком­мутации:

(18)

(19)

(20)

4. Уравнение (20) дифференцируем:

Учитывая, что i2=i1—i2, запишем полученное выраже­ние как

(21)