Классический метод расчета переходных процессов рекомендуемая литература
1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники—М 1978, т. 1, § 8,1—8.13; 8.26; 8.27.
2. Зевеке Г. В.,Ионкин П. А., Нетушил А. В., Страхов С. Б. Основы теории цепей. М., 1975, § 13—1; 13—2; 13—14.
3. Теоретические основы электротехники./Под ред. Ионкина П.А—М., 1976, т. 1, §15.1.
4. Нейман Л. Р., Демирчян К.. С. Теоретические основы электротехники—Л., 1981, т. 1, §
9—1, 9—2, 9—
2. Изучить основные понятия теории переходных процессов
Прежде чем приступить к выполнению задания, необходимо твердо усвоить понятия о переходных процессах и законы коммутации.
Процессы, возникающие в электрических цепях при переходе из одного установившегося режима к другому, называются переходными процессами. Они возникают при внезапном изменении параметров цепи, включении или отключении ветвей схемы. Обычно эта операция производится рубильником или включателем и называется коммутацией.
Переходный процесс 'сопровождается изменением и преобразованием энергий магнитного и электрического полей и рассеянием энергии в виде тепла в, активных сопротивлениях цепи. Изменение энергий полей происходит не мгновенно, а плавно, так как в противном случае потребовалась бы бесконечно большая мощность в индуктивностях и емкостях, что физически невозможно. Это положение сформулировано в виде двух законов коммутации.
2.1. Вспомнить первый закон коммутации. Ток и магнитный поток в ветви с индуктивностью не могут изменяться скачком и в момент коммутации равны тем значениям, которые они имели непосредственно перед коммутацией.
Пример
1. Для
схемы (рис. 11) ток в индуктивности в
начальный момент после коммутации:
i(0)=
i(0+)
=
где i(0)—ток в начальный момент перед коммутацией;
i(0+) —ток в начальный момент после коммутации.
2.2. Вспомнить второй закон коммутации. Напряжение и заряд на емкости не могут изменяться скачком- и в момент коммутации равны тем значениям, которые они имели непосредственно перед ней.
Пример 2. В схеме (рис. 12) напряжение на емкости в начальный момент, после коммутации равно:
uC(0) = uC(0+)= E,
где uC(0) —напряжение на емкости в начальный момент перед коммутацией;
uC(0+) —напряжение на емкости в начальный момент после коммутации.
Следует отметить, что в цепях с идеализированными сосредоточенными параметрами скачкообразно могут изменяться:
токи в сопротивлениях и емкостях;
напряжения на сопротивлениях и индуктивностях.
2.3. Научиться определять начальные условия.
Запомнить, что значение тока в индуктивности и напряжения на емкости в момент коммутации называются независимыми начальными условиями. Для расчета переходного процесса обязательно требуется знать эти начальные условия. Значение остальных токов и напряжений при t=0+ в после коммутационной схеме называются зависимыми начальными условиями. Они определяются по независимым начальным условиям и законам Кирхгофа.
Пример 3. Найти i1(0+), i2(0+), i3(0+), uC(0+), uL(0+), (рис. 13), если U=100 В, R1 = 20 Ом, R2 = 10 Ом, R3=15 Ом.
Решение
Для нахождения независимых начальных условий i1(0) и uC (0) производим расчет схемы до коммутации i1(0-) == 0, так как постоянный ток через емкость не течет:
uC (0-) = U =100 В.
Для определения остальных начальных величин составляем систему уравнений Кирхгофа для схемы после коммутации. Запишем ее в начальный момент времени t=0.
i1(0+) – i2(0+) – i3(0+) = 0;
i1(0+)R1 + uL(0) + i3(0)R3 =U;
–uC (0+) – i2(0+)R2 + i3(0+)R3 =0.
В систему уравнений подставляем независимые начальные условия и числовые значения, заданные по условию задачи:
-i2(0+) – i3(0+)=0;
uL(0+)+15 i3 (0+)=100;
—100 – 10 i2(0+)+15 i3(0+)=0.
Решение системы дает:
i2(0+) = – i3(0+)= – 4 A; uL(0+)= 40 В.
2.4. Усвоить понятие о принужденном и свободном режимах.
В общем случае анализ переходного процесса в линейной цепи с сосредоточенными параметрами R, L, С сводится к решению обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений, выражающих законы Кирхгофа.
Например, если какая-нибудь э. д. с. е(t) включается в цепь, состоящую из последовательно соединенных R, L, С (рис. 14), то интегродиференциальное уравнение имеет вид;
IR
+ L
Это уравнение после дифференцирования приводится к неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка.
Как известно из курса математики, общий интеграл (решение) i такого уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения:
i=iпр + iсв (I)
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения называют принужденной составляющей тока iпр. Общее решение однородного уравнения — свободной составляющей тока iсв.
Принужденная составляющая тока iпр является током установившегося режима, который устанавливается после завершения переходного процесса.
Уравнение (1) показывает, что процесс, происходящий в цепи, можно рассматривать как состоящий из двух накладывающихся друг на друга процессов: принужденного, который как бы наступил, сразу, и свободного, имеющего место только во время переходного процесса, т. е.
i=iпр+iсв; uC=uCпр+uCсв; uL== uLпр+ uLсв.
В данном случае однородное дифференциальное уравнение имеет вид:
(2)
Физический смысл уравнения без правой части состоит в описании поведения цепи при отсутствии источников энергии, но при каких-либо начальных условиях. Следует иметь в виду, что свободные составляющие всегда уменьшаются с течением времени. Уравнению (2) соответствует характеристическое уравнение
.
Если корни характеристического уравнения обозначить через р1 , р2, то общее решение запишется в виде:
где A1 и А2 — постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий (см. пример 4).