Рабочая тетрадь по начертательной геометрии
.pdfЗадача Определить относительное положение прямых.
Точка пересечения горизонтальных проекций скрещивающихся прямых является горизонтальной проекцией двух горизонтально конкурирующих точек 1 и 2, принадлежащих прямым l и m.
Точка пересечения фронтальных проекций скрещивающихся прямых является фронтальной проекцией двух фрон-
тально конкурирующих точек 3 и 4. По горизонтально конкурирующим точкам 1 и 2 определяется взаимное положение прямых l и m относительно П1. Фронтальная проекция 12 точки 1, принадлежащей прямой l, расположена выше, чем фронтальная проекция 22 точки 2, принадлежащей прямой m (направление взгляда показано стрелкой). Следовательно,
прямая l расположена над прямой m.
По фронтально конкурирующим точкам 3 и 4 определяется взаимное положение прямых l и m относительно фрон-
тальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция 41 точки 4, принадлежащей прямой l, расположена ниже, чем го-
ризонтальная проекция 31 точки 3, принадлежащей прямой m (направление взгляда показано стрелкой). Следовательно,
прямая l расположена перед прямой m.
12
Задача 7 Определить относительное положение прямых a, b, c.
Прямые a и b -_________________________________
Прямые a и c -_________________________________
Прямые c и b -_________________________________
При помощи конкурирующих точек определить взаимное поло-
жение скрещивающихся прямых относительно:
Задача 8 Через точку М провести фронталь f,
скрещивающаяся с прямой n и расположенная над ней.
При помощи конкурирующих точек определить взаимное положение скрещивающихся прямых от относительно:
а) П1 -____________________________________ |
П1 -_________________________________________ |
б) П2 -____________________________________ |
П2 -_________________________________________ |
13
Проекции прямого угла, одна сторона которого параллельна какой либо плоскости проекции.
Теорема: Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая является прямой общего по- ложения, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций без искажения, т. е. в прямой же угол.
Задача Построить проекции прямого угла между скре-
щивающимися прямыми h и l.
Решение задач выполнено на основании теоремы о про-
ецировании прямого угла.
Задача Построить проекции прямого угла DBC, если BC׀׀П1.
14
Задача 9 Через середину отрезка [AB] провести линию n, |
Задача 10 Достроить горизонтальную проекцию |
n [AB], n I m. |
прямоугольника ABCD. |
Алгоритм решения: |
Алгоритм решения: |
__________________________________________ __________________________________________
__________________________________________ __________________________________________
__________________________________________ __________________________________________
__________________________________________ __________________________________________
15
3.Комплексный чертеж плоскости
3.1Принадлежность прямой и точки плоскости
Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой линии, принадлежащей плоскости. Прямая принад-
лежит плоскости, если имеет с этой плоскостью общую точку и параллельна какой либо прямой этой плоскости. Прямая линия принадлежит плоскости, если имеет с этой плоскостью две общие точки.
Задача Построить произвольные линии и точки, принадлежащей плоскости Г(a I b).
Построение проекций точки и прямой, принадлежащих данной плоскости общего по-
ложения, выполняется на основании следующих аксиом:
1.Через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая;
2.Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки этой прямой при-
надлежат данной плоскости (или прямая, проходящая через любые две различные точки плоскости, принадлежит этой плоскости). Очевидно, что точка, принадлежащая прямой, расположенной в плоскости, принадлежит этой плоскости. Следовательно,
точка М принадлежит плоскости Г(a I b), так как она принадлежит одной из прямых,
задающих плоскость, в данном случае прямой а. При этом М2 а2 М1 а1.
Для построения прямой l, принадлежащей плоскости Г(a I b), достаточно провести ее через две какие-нибудь точки, принадлежащей этой плоскости, например точки 1 и 2.
Одна из этих точек может быть несобственной (прямая а >׀׀а). Точку, принадлежащую плоскости Г(a I b), можно взять на одной из построенных прямых.
16
Задача 11 По разноименным проекциям точек M и N |
Задача 12 С помощью линий уровня построить в |
построить отрезок [MN], принадлежащий плоскости |
плоскости Г(m I n) треугольник ABC, фронтальная |
Г(AB I BC). |
проекция A2B2C2 которого задана. |
Задача 13 Достроить горизонтальную проекцию плоского
пятиугольника ABCDE.
17
3.2 Плоскости частного положения (проецирующие и уровня)
Задача 14 По наглядному изображению построить комплексные чертежи |
-ка ABC. |
|
а) |
б) |
в) |
18
г) |
д) |
е) |
19
4. Позиционные задачи. Определение общих элементов простейших геометрических фигур из условия принадлежности
При пересечении геометрических фигур с проецирующей плоскостью одна из проекций их общего элемента совпа-
дает с проекцией проецирующей плоскости (которая вырождается в прямую линию). Поэтому решение этого типа задач сводится к построению второй проекции искомой геометрической фигуры.
4.1 Пересечение прямой линии с проецирующей плоскостью
Задача Построить проекции точки К (К1;К2) пересе- |
1 Плоскость Г пересекает линию n в точке К, горизон- |
чения прямой l (l1;l2) с плоскостью Г(А1В1С1; А2В2С2). |
тальная проекция которой определяется в пересечении |
|
горизонтальных проекций проецирующей плоскости Г и |
|
прямой n. |
|
2 Фронтальную проекцию точки К определим по линии |
|
связи по принадлежности прямой n. |
|
3 Видимость на П2 определим с помощью фронтально |
|
конкурирующих точек 1 и 2. Видим точку 1, принадле- |
|
жащую отрезку АС. Прямая n невидима до точки пересе- |
|
чения К, в которой видимость меняется на обратную. |
|
Участок К-2 находится за плоскостью Г, поэтому неви- |
|
ден. |
20
4.2 Пересечение прямой линии общего положения с плоскостью общего положения Задача 15 Построить проекции точки пересечения
прямой l (l1;l2) с плоскостью Г(А1В1С1; А2В2С2). Опреде-
лить видимость.
Точку пересечения прямой с плоскостью общего по-
ложения строят в следующем порядке:
1. Через заданную прямую АВ проводят вспомогатель-
ную проецирующую плоскость ∑.
2. Строят линию пересечения 1-2 вспомогательной плос-
кости ∑ и заданной плоскости Г.
3. В пересечении построенной линии 1-2 с заданной пря-
мой АВ отмечают искомую точку К.
Всимволической записи схема имеет вид:
1.АВ ∑
2.∑I Г=m
3.АВI m=к
21