Вычисление числа Нуссельта

Число Нуссельта является физической величиной, имеющей большое прикладное значение в задачах теплообмена в жидкости. Интегральная по z величина Nu(x), определяемая формулой

^,

соответствует суммарному потоку тепла, который переносится в область через сечение x=Const как конвективным переносом, так и механизмом теплопроводности. Так как нижняя и верхняя стенки в области теплоизолированы, из сохранения энергии следует

Nu(x)=Const, 0£x£1. (20)

Численная схема (G) полностью консервативна; в частности в ней выполняется разностный аналог (20). В связи с этим не возникает обсуждаемый в [11] вопрос о том, какому значению числа Нуссельта следует больше доверять - ,или(см. табл.4-6). Вместе с тем следует отметить, что при решении задачи методом установления консервативно лишь строго стационарное значение Nu(x); на практике сходимость этой величины при итерациях является самой медленной. При решении задачи для Ra=10³ и Ra=10⁴ расчеты прекращались, когда точность выполнения условия (20) составляла 0.002%, т.е. на два порядка больше, чем в схеме (VD); при Ra=10⁶ итерации были закончены при относительной точности 0.01%. Во всех рассчитанных вариантах условие Nu(0)=Nu(1) выполнялось с высокой относительной точностью DNu/Nu~10^-6.

Локальное число Нуссельта при x=0 описывает местный поток тепла через боковую стенку с постоянной температурой T=1. Изолинии температуры в области сильно сгущаются в нижней части у левой стенки, т.е. около x=0 и z=0 (рис.3b), где и находится локальный максимум потока тепла через стенку. В случае развитой конвекции этот максимум, обусловленный узко направленным потоком охлажденной жидкости на боковую стенку, сдвигается к самой границе тонкого пограничного слояу нижнего основания, оставаясь несколько выше него.

Вычисление величины и координаты этого максимума является наиболее сложным моментом в тестовой задаче и возможно лишь при достаточно подробной сетке в этой части области. В частности. при вычислении в [11] по схеме (VD) на равномерных сетках 41´41, 61´61 и 81´81 обращалось внимание на отсутствие сходимости результатов по сеткам.

На рис.9 приведены графики зависимости Nu(z) при x=0 для числа Рэлея Ra=10⁶, рассчитанные на различных сетках. Кривая 1 соответствует расчету на равномерной сетке 61´61 по схеме (VD), кривая 2 - расчету на равномерной сетке 81´81 по той же схеме. Кривая Nu(z), соответствующая расчету на равномерной сетке 41´41 не приведена, т.к. в этом случае в пограничный слой не попадает ни одного узла, и автор [11] справедливо не включил результаты расчетов на этой сетке в построение BMS. Узлы неравномерных сеток 41´41 и 35´35 при расчетах по схеме (G) расположены в рассматриваемой области значительно чаще, чем узлы равномерных сеток. Результаты расчетов зависимости Nu=Nu(z) на этих двух неравномерных сетках при масштабе, выбранном на рис.9, совпадают и соответствуют кривой 3.

При увеличении числа узлов в рассматриваемой области прослеживается отчетливая сходимость по сеткам: кривая 1- кривая 2- кривая 3. Экстремум функции Nu=Nu(z) становится более крутым и приближается сверху к условной границе теплового пограничного слоя. Само значение при этом несколько уменьшается (DNu/Nu»3%). Сходимость по сеткам кривых Nu(z) на рис.9 свидетельствует о надежности полученного решения в этой части области.

Таким образом, при расчете тепловой задачи в квадратной области предложенным численным методом получена высокая точность совпадения результатов с BMS. Кроме того, решение задачи на неравномерных сетках со сравнительно небольшим числом узлов позволило обнаружить в приграничных областях ряд особенностей и деталей, практически недоступных при расчетах на равномерных сетках. Эти детали являются существенными при моделировании роста полупроводниковых кристаллов из расплава, т.к. в этих процессах главную роль играет тепломассообмен внутри пограничного слоя у фронта кристаллизации и вблизи него.