
- •Спецчасть
- •1.1. Введение
- •1.2. Постановка задачи
- •2. Описание программы
- •2.3.5.2. Реализация алгоритма встречной прогонки.
- •2.3.5.3. Программа как часть общей системы моделирования.
- •2.5.Входные и выходные данные.
- •Международный тест в квадратной области. Постановка задачи
- •Обсуждение результатов
- •Вычисление числа Нуссельта
- •2.8. Заключение.
Международный тест в квадратной области. Постановка задачи
Численная схема моделирования задач космического материаловедения представляет собой сложный программный объект. В связи с этим большое значение имеет возможность проверки и тестирование численной схемы. Модельная задача в квадратной области, [11], является одной из простейших и служит общепризнанным тестом для численных схем в этой области.
Рассматривается задача 2D стационарного течения жидкости в приближении Буссинеска с числом Прандтля 0.71 в квадратной области единичной длины. На границах области обе компоненты скорости равны нулю. Горизонтальные стенки области теплоизолированы, на вертикальных стенках температура равна Т=1 и Т=0 соответственно. Задача состоит в расчете переноса тепла от горячей стенки к холодной при значениях числа Рэлея 103, 104, 105 и 106.
При Ra=103 режим переноса является преимущественно теплопроводным; скорости в конвективной ячейке малы.
При Ra=106 имеет место сильно развитая конвекция с большими скоростями и температурным расслоением; относительный покой жидкости в центре области и быстрое движение "пограничных слоев". В случае Ra=104 и Ra=105 реализуются промежуточные режимы тепломассопереноса.
Эта модельная задача хорошо отражает основные особенности задач тепломассопереноса в расплаве при росте кристаллов как в условиях микрогравитации (Ra~103, 104), так и в наземных условиях (Ra~106 и выше).
При решении модельной задачи вычислялись следующие характеристики течения:
а)
-функция
тока в середине области
в)
-максимальное
в области значение функции тока;
при Ra=103,
104
=
на средней линии
по х (при х=0.5)
на средней линии
по z (при z=0.5).
Эти величины расположены вблизи центра области и смещаются к самой границе соответствующих пограничных слоев при увеличении числа Рэлея до Ra=106
с) важная
физическая и инженерная величина - число
Нуссельта
,
измеряемое на боковой стенке при х=0
(
),
В центре области при х=0.5 (
)
и средняя по х величина
.
Можно показать, что Nu(x)=const в случае
точного решения задачи.
d) локальные по z
величины
и
при х=0 внутри пограничного слоя.
Вычисление этих величин в режиме развитой
конвекции при Ra=106
представляет значительные трудности
и требует подробного разрешения
пограничного слоя.
Тестовая задача решалась на неравномерных сетках со сравнительно небольшим числом узлов:
-31´31 и 35´35 при Ra=103 и 104,
-35´35 и 41´41 при Ra=106.
Сгущение узлов сетки проводилось от центра к границам области, коэффициент геометрической прогрессии во всех вариантах был выбран Q=1.15. Расчеты проводились на двух различных сетках для каждого значения числа Рэлея, что дало возможность проследить зависимость результатов от количества узлов в пограничном слое.
Число Рейнольдса
для этой задачи связано с числом Рэлея
соотношением Re=(Ra/Pr)1/2.
Таким образом, числа Рэлея Ra=103,
104
и 106
соответствуют числам Рейнольдса
Re=37.53, 118.68 и 1186.78. При большом значении
Re толщины вязкого и теплового пограничных
слоев хорошо согласуются с оценочными,
получаемыми по формулам
.
В таблицах 2 и 3 приведено примерное
количество узлов в пограничных слоях
для различных неравномерных сеток и
чисел Рэлея Ra=104,
106.
Там же приведено количество узлов в
пограничных слоях для равномерных сеток
11´11,
21´21,
41´41
при Ra=104
и 41´41,
61´61,
81´81
при Ra=106,
по последовательности которых в [11]
экстраполяцией по Ричардсону строилось
"точное" решение задачи - Bench Mark
Solution (BMS).
Таблица 2.
Количество узлов в пограничных слоях для различных сеток при Ra=104. Индексом 'n' отмечены неравномерные сетки.
-
=0.092
=0.109
11´11
0
0
21´21
1
2
41´41
3
4
31´31n
5
6
35´35n
7
8
Таблица 3.
Количество узлов в пограничных слоях для различных сеток при Ra=106.
Индексом 'n' отмечены неравномерные сетки.
-
=0.029
=0.034
41´41
1
1
61´61
1
2
81´81
2
2
35´35n
3
3
41´41n
4
5
Несмотря на подробное разрешение пограничных слоев, общее число узлов на неравномерных сетках значительно меньше количества узлов на равномерных сетках в [11], например: 81´81/35´35»5.4. то заметно сокращает объем вычислений, стационарное решение устанавливается достаточно быстро и без подбора специальных итерационных параметров.