Обсуждение результатов

В таблицах 4 и 5 приведены результаты решения модельной задачи при Ra=10³ и Ra=10⁴ соответственно, полученные с помощью предложенного численного метода (G) и численного метода в [11] (VD). Для схемы (VD) приведены результаты расчетов на равномерных сетках 11´11, 21´21, 41´41 и построенного по ним BMS; для схемы (G) - результаты расчетов на неравномерных сетках 31´31 и 35´35.

Таблица 4.

Решение численной модели на Ra=10³

Ra=103
11´11 (VD)	1.181	3.427 0.801	3.449 0.193	1.096	1.104	1.105	1.462 0.141	0.723 0.936
21´21 (VD)	1.174	3.589 0.811	3.629 0.181	1.111	1.114	1.113	1.491 0.112	0.702 1.
41´41 (VD)	1.174	3.634 0.813	3.679 0.179	1.116	1.117	1.116	1.501 0.087	0.694 1.
BMS	1.174	3.649 0.813	3.697 0.178	1.118	1.118	1.117	1.505 0.092	0.692 1.
31´31 (G)	1.181	3.663 0.813	3.713 0.178	1.1171	1.1171	1.1171	1.506 0.092	0.691 1.
35´35 (G)	1.181	3.662 0.813	3.712 0.178	1.1171	1.1171	1.1171	1.506 0.092	0.691 1.

Таблица 5.

Решение численной модели на Ra=10⁴

Ra=104
11´11 (VD)	5.529	16.243 0.808	18.055 0.139	2.171	2.170	2.307	3.637 0.211	0.676 1.
21´21 (VD)	5.176	16.189 0.820	19.197 0.125	2.212	2.213	2.255	3.603 0.165	0.610 1.
41´41 (VD)	5.098	16.182 0.823	19.509 0.120	2.234	2.235	2.242	3.545 0.149	0.592 1.
BMS	5.071	16.178 0.823	19.617 0.119	2.243	2.243	2.238	3.528 0.143	0.586 1.
31´31 (G)	5.082	16.154 0.823	19.765 0.119	2.245	2.245	2.245	3.543 0.146	0.586 1.
35´35 (G)	5.083	16.165 0.823	19.761 0.119	2.245	2.245	2.245	3.540 0.146	0.586 1.

По нашему мнению, решения, полученные по численной схеме (G), совпали с высокой точностью с BMS. Совпадение этих решений точнее, чем совпадение с BMS решения, полученного на самой мелкой равномерной сетке по схеме (VD). Более того, небольшое отличие величин ив схеме (G) от BMS следует рассматривать как некоторое уточнение последнего, т.к. в тех участках области, где вычислялись эти характеристики, узлы неравномерных сеток расположены чаще. Подробнее этот вопрос будет обсужден на примере расчетов при Ra=10⁶, где пограничные слои более узкие и неточность расчетов на равномерных сетках оказывается более значительной.

Численная схема (G) является консервативной для величины Nu(x), о чем свидетельствуют значения ина неравномерных сетках. Значение функции тока в центре областипри Ra=10³ в схеме (G) завышено по сравнению с BMS и совпадает с результатом расчетов на сетке 11´11, (VD). Причиной этого, по-видимому, является сравнимое расстояние между узлами для трех сеток в центре области: для сетки 31´31 Hmax»0.074, для 35´35 Hmax»0.072. Тем не менее, полученную точность расчета величины в центре области по схеме (G) для задач космического материаловедения можно считать удовлетворительной.

Подробные сетки в углах квадратной сетки области для схемы (G) позволили разрешить образующиеся там вторичные конвективные течения, недоступные для расчета на грубых равномерных сетках. При Ra=10³ наряду с основной конвективной ячейкой, вращающейся по часовой стрелке, в верхнем левом углу образуется слабая ячейка, вращающаяся против часовой стрелки. Размер ячейки составляет примерно 0.02´0.02 (при единичной длине области); характерные скорости течения 1.1¸1.3×10^-6(от максимальной при Ra=10³ скорости в области). Ячейка разрешается на 3 узлах при сетке 35´35 и на одном узле при сетке 31´31.

Аналогичная ячейка образуется в нижнем левом углу, скорость течения в ячейке ~10^-5 , размер ячейки 0.01´0.01. Ячейка разрешается на одном узле при сетке 35´35 и отсутствует на сетке 31´31. При Ra=10³ течение в области является центрально-симметричным, в правом нижнем углу находится первая из описанных ячеек, в правом верхнем - вторая ячейка.

При Ra=10⁴ течение в области становится более интенсивным, пограничные слои - более узкими. Размер ячейки в левом верхнем углу составляет примерно 0.01´0.01; характерная скорость ~5×10^-6 (от максимальной при Ra=10⁴ скорости в области). Ячейка разрешается на одном узле при сетке 35´35 и отсутствует при сетке 31´31. В левом нижнем углу ячейка не разрешается. Также, как при Ra=10³ течение в области является центрально-симметричным, и в правом нижнем углу находится такая же вторичная ячейка, что и в левом верхнем углу.

В таблице 6 приведены результаты решения модельной задачи при Ra=10⁶. Для схемы (VD) приведены значения рассчитываемых величин на равномерных сетках 41´41, 61´61, 81´81 и построенного по ним BMS; для схемы (G)- значения тех же величин, полученных на неравномерных сетках 35´35 и 41´41.

Таблица 6.

Решение численной модели на Ra=10⁶

Ra=106
41´41 (VD)	17.15	17.613 0.151 0.542	67.49 0.854	206.32 0.0423	8.811	8.869	9.270	17.947 0.0675	1.015 0.984
61´61 (VD)	16.67	17.113 0.151 0.541	65.81 0.852	214.64 0.0396	8.794	8.823	9.035	18.225 0.0523	1.020 1.
81´81 (VD)	16.53	16.961 0.151 0.543	65.33 0.851	216.75 0.0387	8.798	8.816	8.928	18.076 0.0456	1.005 1.
BMS	16.32	16.750 0.151 0.547	64.63 0.850	219.36 0.0379	8.800	8.799	8.817	17.925 0.0378	0.989 1.
35´35 (G)	16.39	16.823 0.156 0.572	64.61 0.858	220.95 0.0376	8.817	8.818	8.817	17.723 0.0371	0.991 1.
41´41 (G)	16.40	16.795 0.148 0.569	64.71 0.856	221.08 0.0377	8.816	8.818	8.816	17.624 0.0383	0.989 1.

Значения величины в центре области, вычисленные на неравномерных сетках 35´35 и 41´41, совпадают с высокой точностью; эти значения гораздо ближе к соответствующему значению в BMS, чем результаты расчета на любой равномерной сетке.

Сравнительная точность вычисления по численным схемам (G) и (VD) представляет большой интерес. Координаты максимумов скоростей и функции тока при увеличении числа Рэлея смещаются к самым границам соответствующих пограничных слоев; изолинии функций в этих областях заметно сгущаются (рис. 2-5). Для функции U(z) при х=0.5 экстремум значительно более пологий, чем для функции W(z) при z=0.5, поэтому значенияпри х=0.5 по схеме (G) очень точно совпадают с соответствующим значением из BMS, чем значения, полученные на любой из равномерных сеток.

Рассмотрим подробнее характер функции W(x) вблизи х=0 при z=0.5 и величину ее максимума , поскольку для функции W(x,z) максимальное сгущение изолиний имеет место около серединной линии по z и здесь требуется наибольшая точность при вычислениях. В схеме (G) значительное число узлов сосредоточено не только в пограничном слое (толщина которого0.029), но вблизи него. Такое количество узлов недоступно для равномерных сеток и позволяет довольно точно вычислить значение. Пятиточечная интерполяция по Ньютону на сетках 35´35 и 41´41 дает одинаковое значение =221, рис.8. Более редкие равномерные сетки с интерполяцией по узлам, включающим пограничный слой и серединную часть области, дают несколько заниженное значение этого крутого максимума (BMS:=219). Кроме того, построение BMS требует последовательности сеток, включая 81´81. Значение на каждой отдельной равномерной сетке сильно занижено по сравнению как с BMS, так и со схемой (G).

Заметим, что из табл.6 следует сходимость по сеткам как для координаты максимума W(x), так и для самой его величины. Кроме того, значения функции W(x), рассчитанные в узлах двух различных неравномерных сеток, образуют гладкую монотонную кривую с крутым максимумом, рис.8. Эти факты подтверждают точность вычисления скорости W(x) вблизи х=0.

Такая же картина наблюдается при вычислении значения для чисел Рэлея Ra=10³ и Ra=10⁴. Пограничный слой в этом случае более широкий и размытый; максимум скорости - более пологий.

Тем не менее, интерполяция по редко расположенным узлам равномерных сеток дает заниженное значение как для каждой равномерной сетки в отдельности, так и для построенного по ним BMS.