1. Первообразная и неопределенный интеграл

Ниже в качестве берется любой из промежутков:(концыимогут быть бесконечными).

Определение 1. Говорят, что функция являетсяпервообразной для функции на множестве еслиРазыскание всех первообразных функцииназываетсяинтегрированием

Например, функция является первообразной дляна всей оситак как

Теорема 1(об общем виде всех первообразных данной функции). Пусть фиксированная первообразная функции(на множестве). Тогда множество всех первообразных функции(на множестве) описывается формулой

где произвольная постоянная.

Доказательство вытекает из того, что если идве первообразные функции, тоа, значит, разностьявляется постоянной величиной на множестве, т.е.

Определение 2. Совокупность всех первообразных функции (на множестве ) называется неопределенным интегралом на этой функции. Обозначение:При этом сама функцияназываетсяподынтегральной функцией и если интеграл от нее существует, то говорят, чтоинтегрируема на .

Из теоремы 1 вытекает, что гдефиксированная первообразная функции (на множестве), апроизвольная постоянная. Отметим, что равенство равносильно равенству. Таким образом, для доказательства того, что некоторая функцияявляется неопределенным интегралом от функции надо продифференцировать ее поесли при этом будет получена подынтегральная функция, то равенствобудет истинным.Используя этот факт, легко докажем следующие формулы.

Таблица неопределенных интегралов (ниже везде произвольная постоянная)

Докажем, например, формулу 10. Дифференцируем правую часть равенства 10 по :

Получена подынтегральная функция левой части 10. Значит, равенство 10 верно. Точно так же доказываются остальные формулы этой таблицы.

Свойства неопределенного интеграла (везде ниже предполагается, что интегралы от соответствующих функций существуют):

Свойствоназывают свойствомлинейности интеграла. Первые два свойства показывают, что операции дифференцирования и интегрирования взаимно обратны.

Немного позже будет установлено, что всякая непрерывная на промежутке функцияинтегрируема на этом промежутке.

2. Замена переменной в неопределенном интеграле

Перейдем к формулировке теоремы о замене переменной в неопределенном интеграле, которая часто используется при вычислении интегралов. Здесь имеются в виду два утверждения¹:

где функция, обратная к функции

Теорема 2. а) Пусть выполнены условия: 1) функция непрерывна в своей области определенияб) функциянепрерывно дифференцируема на множестветаком, что

Тогда для всех имеет место равенство

б) Пусть выполнены условия: 1) функция непрерывна в своей области определения

2) функцииинепрерывны на множестветаком, что

3)4) функцияимеет на множествеобратную функциюТогда для всех имеет место равенство

Замечание 1. Преобразования вчасто называютпроцедурой введения множителя под знак дифференциала.Формулуудобно применять в тех случаях, когда функциялегче интегрируется, чем исходная функцияЕё применяют, например, при вычислении интегралов от иррациональностей вида(здесьрациональная функция). В первом случае делается заменаво втором случае подбирают такую заменучтобы исчезла иррациональность. Например,

=Далее надо вернуться к старой переменной с помощью обратной функциии получить ответ: