4. Интегрирование тригонометрических выражений

Интегралы типа гдедробно-рациональная функция пе-

ременных и, сводятся к интегрированию рациональной функции одной переменной

с помощью универсальной подстановки Действительно, тогда

поэтому гдедробно-рациональная функция одной переменной. К последнему интегралу можно уже применить алгоритм разложения на простейшие дроби и свести дело к интегрированию простейших дробей типаОднако не всегда удобно пользоваться универсальной подстановкой, так как она часто приводит к громоздким выкладкам. Иногда удобнопользоваться частными типами подстановок, которые мы приводим ниже.

И, наконец, интегралы типа

преобразуются в интегралы от синусов и косинусов с помощью формул тригонометрии:

Вычислим, например, интегралы:

Лекция 7. Несобственные интегралы первого рода. Приложения интегралов: вычисление площадей, длин дуг и объёмов тел

Ранее рассматривались интегралы с конечными пределамии от ограниченных функцийЕсли хотя бы одно из этих ограничений нарушается, то указанный

интеграл будет несобственным. Такие интегралы часто встречаются в приложениях, поэтому перейдем к их изучению.

1.Несобственные интегралы

Сначала рассмотрим интегралы с бесконечными пределами.

Определение 1. Пусть функция интегрируема на любом отрезкеТогда если существует конечный пределто говорят, что интегралсходится. При этом пишутЕсли же указанный предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что интегралрасходится.

Аналогично определяются интегралы

( здесь произвольная конечная точка). Эти интегралы называютнесобственными интегралами первого рода. Их геометрический смысл ясен из рис. 11, где площадь Теперь рассмотрим интегралы от неограниченных функций.

Определение 2. Если функция не ограничена в окрестности точки(ее называютособой точкой ) и является интегрируемой на любом отрезке то по определению полагаютЕсли этот предел существует и конечен, то говорят, что интегралвторого рода сходится. В противном случае он называется расходящимся. Аналогичный смысл имеют интегралы (второго рода)

,

где в первом случае точка является особой, а во втором случае точкаявляется особой. Поскольку заменой переменнойинтеграл второго рода

(особая точка) сводится к интегралу первого рода, то будем изучать только интегралы с бесконечным верхним пределом. Сначала покажем, чтоэталонный интеграл

Действительно, имеем

Переходя здесь к пределу при получаем наше утверждение. С помощью эталонного интеграла можно исследовать сходимость других несобственных интегралов.

Теорема сравнения 1. Пусть функции иинтегрируемы на произвольном отрезкеи имеют место неравенстваТогда если сходится интегралто и сходится интегралЕсли же интегралрасходится, то и расходится интеграл

Теорема сравнения 2. Пусть функции иположительны и интегрируемы на произвольном отрезке Пусть, кроме того, существует пределТогда интегралыисходятся или расходятся одновременно.

Замечание 1. При применении этих теорем часто используется таблица эквивалентных бесконечно малых:

Если прито при верны следующие соотношения:

const.

Например, интеграл сходится, так каки интегралсходится (см. эталонный интеграл() и теорему сравнения 2).

Отметим, что теоремы сравнения верны лишь для неотрицательных подынтегральных функций. Если эти функции не являются знакопостоянными, то вводят понятие абсолютной сходимости: говорят, что интеграл сходится абсолютно, если сходится интеграл Если последний интеграл расходится, а сам интегралсходится, то его называютусловно сходящимся интегралом. Нетрудно показать, что из сходимости интеграла вытекает обычная сходимость интеграла Обратное, вообще говоря, неверно. Можно показать, например, что интеграл

сходится, а интеграл расходится. Тем не менее, при исследовании сходимости интегралов от знакопеременных функций изучают сначала их абсолютную сходимость (здесь можно применить теоремы сравнения), а затем – условную сходимость.

Например, рассмотрим интеграл . Здесь подынтегральная функция изменяет знак на полуинтервале, поэтому применить к нему теоремы сравнения нельзя. Рассмотрим “модульный” интегралЗдесь подынтегральная функция неотрицательна, и поэтому к этому интегралу можно применить теорему сравнения 1:

Так как интеграл сходится, то и интегралтакже сходится, а, значит, исходный интегралсходится абсолютно.