- •1. Обозначения
- •2. Модуль (абсолютная величина) действительного числа
- •4. Предел функции
- •5. Бесконечно малые функции и их свойства
- •6. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентных бесконечно малых
- •7. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
- •1. Односторонние пределы
- •2. Непрерывность функции в точке
- •3. Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл
- •4. Арифметические действия над производными
- •5. Производная сложной и обратной функций и функции, заданной параметрически
- •6. Производные простейших элементарных функций
- •1. Логарифмическая производная
- •2. Производные и дифференциалы высших порядков
- •3. Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа
- •4. Применения формулы Тейлора
- •5. Правило Лопиталя
- •1. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •2. Монотонность функции
- •2. Локальный экстремум
- •3. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
- •4. Исследование функций с помощью высших производных
- •1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •3. Интегрирования по частям в неопределенном интеграле
- •4.Выделение полного квадрата
- •5. Определенный интеграл, его свойства и геометрический смысл
- •1. Интеграл с переменным верхним пределом
- •2. Формула Ньютона-Лейбница
- •3. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле
- •4. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •4. Интегрирование тригонометрических выражений
- •Лекция 7. Несобственные интегралы первого рода. Приложения интегралов: вычисление площадей, длин дуг и объёмов тел
- •1.Несобственные интегралы
- •2. Вычисление площадей плоских фигур
- •3. Вычисление длины дуги
- •4. Вычисление объёмов тел
3. Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл
На рисунке изображены график функции точкисекущая,касательная к кривойуглыПусть функция определена в точкеи некоторой ее окрестности. Сместимся из точкив точкуВеличинаназываетсяприращением аргумента в точке а величина =называется приращением функции в точке (соответствующим приращению аргумента).
Определение 4. Если существует (конечный) предел
то его называют производной функции в точке и обозначают При этом функциюназываютдифференцируемой в точке а
величину называютдифференциалом функции в точке
Выясним, в чем состоит геометрический смысл производной и дифференциала. Так как и так кактот.е.
т.е. производная функции в точке является угловым коэффициентом касательной к кривой с точкой касания
С другой стороны, из рисунка видно,что поэтому
дифференциал равен приращению касательнойк графику функциипри переходе аргумента из точкив точку
Из геометрического смысла производной легко получить уравнения касательной и нормали к кривой в точке
(касательная), (нормаль).
Выясним теперь механический смысл производной. Если путь пройденный материальной точкой за время от моментадо моментатосредняя скорость материальной точки, а величина
мгновенная скорость материальной точки в момент
Нетрудно показать, что
любая дифференцируемая в точке функциянепрерывна в точке (обратное, вообще говоря, неверно; пример: непрерывна в точкеноне существует).
4. Арифметические действия над производными
Теорема 4. Если функции дифференцируемы в точкето в этой точке дифференцируемы и функциипричем
(в рассматриваемой точке ).
Если, кроме того, то в точкедифференцируемо и частное, причем
Доказательство проведем для производной суммы. Имеем поэтому
Теорема доказана.
5. Производная сложной и обратной функций и функции, заданной параметрически
Приведем без доказательства некоторые утверждения, связанные с производными.
Теорема 5. Пусть сложная функция определена в точкеи некоторой ее окрестност и пусть выполнены условия:
1. функция дифференцируема в точке
2. функция дифференцируема в соответствующей точке
Тогда сложная функция дифференцирума в точкеи имеет место равенство
Напомним следующие понятия:
а) Функция называетсяобратимой на множестве если
При этом функция сопоставляющая каждомуэлементтакой, чтоназывается функцией,обратной к
Очевидно, имеют место тождества:
Заметим, что все строго монотонные на множестве функции обратимы на
б) Говорят, что функция задана параметрически уравнениями если функцияобратима на отрезкеВ этом случае гдефункция, обратная к функции
Теорема 6. Пусть функция в некоторой окрестности точки имеет обратную функциюПусть, кроме того, функциядифференцируема в точкеиТогда обратная функциядифференцируема в соответствующей точкеи имеет место равенство
Теорема 7. Пусть функция задана параметрически уравнениями и пусть выполнены условия:
1) функции дифференцируемы в фиксированной точке
2) в рассматриваемой точке
Тогда функция дифференцируема в точке и имеет место равенство