47Переход к новому базису. М атрица перехода. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

48. Линейные операторы в линейном пространстве. Матрица оператора и ее использование при осуществлении действия оператора.

49. Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису

13.4. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов. Посмотрим, как изменится матрица линейного отображения, если в пространствах иперейти к новым базисам. Пустьи- новые базисы. Обозначим черезматрицу перехода отк, через- матрицу перехода отк. Тогда:

, .

Подставим в равенство (*):

.

Отсюда

.

Значит, при изменении базисов матрица отображения преобразуется в матрицу.

В случае, когда линейное отображение является линейным оператором, вместо пары базисов мы имеем один базис в пространстве . Тогда при замене этого базиса матрица оператора преобразуется по формуле.

Сканировать 129

50. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Характерестический многочлен и его независимость от выбора базиса.

14.2. Собственные векторы и собственные значения оператора. Попробуем решить задачу нахождения одномерных подпространств, инвариантных относительно оператора .

Определение. Пусть - вещественное (комплексное) линейное пространство. Ненулевой векторназывается собственным вектором оператора , если

для некоторого . При этом числоназывается собственным значением оператора .

Обозначим множество всех векторовиз, для которых выполняется равенство. Заметим, что еслии, то

.

Легко видеть, что является инвариантным подпространством, его ненулевые векторы являются собственными, отвечающими собственному значению.

Если вектор является собственным, отвечающим собственному значению, то выполняется равенство, откуда . Это означает, что ядро оператора нетривиально, следовательно, равен 0 определитель этого оператора. Зафиксируем базис пространства. Если в этом базисе матрица оператора равна

,

то равенство нулю определителя оператора запишется в виде:

.

Представив определитель как сумму произведений элементов матрицы (по определению), мы получим равенство, в левой части которого стоит многочлен степени от:

. Определение. Многочлен называется характеристическим многочленом матрицы

Пусть L— линейное пространствонадполемK,—линейное преобразование.

Собственным векторомлинейного преобразованияAназывается такой ненулевойвектор, что для некоторого

Ax = λx

Собственным значениемлинейного преобразованияAназывается такое число, для которого существует собственный вектор, то есть уравнениеAx= λxимеет ненулевое решение.

Упрощённо говоря, собственный вектор- любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный λx, а соответствующий скаляр λ называетсясобственным значениемоператора.

Собственным подпространствомлинейного преобразованияAдля данного собственного числаназывается множество всех собственных векторов, соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим егоE_λ. По определению,

где E— единичный оператор.