1.2. Система сходящихся сил
Пример С3.
. Конструкция
состоит из невесомых стержней 1,
2,
..., 6,
соединенных друг с другом (в узлах K
и М)
и с неподвижными опорами А,
В,
С,
D
шарнирами (рис. С3). В узлах K
и М
приложены силы
и
,
образующие с координатными осями углы
1,
1,
1
и 2,
2,
2
соответственно
(на рисунке показаны только углы 1,
1,
1).
Дано: Р= 100 Н,1= 60°,1 = 60°,1 = 45°;Q= 50H,2= 45°,2= 60,2 = 60°,= 30°,= 60°,= 74°. Определить усилия в стержнях 16.
Рис. С3
Решение.
1. Рассмотрим равновесие узла K,
в котором сходятся стержни 1,
2,
3.
На узел действуют сила
и реакции
,
,
стержней, которые направим по стержням
от узла, считая стержни растянутыми.
Составим уравнения равновесия этой
пространственной системы сходящихся
сил:
(13)
(14)
(15)
Из уравнения (15) находим:
Из уравнения (13):
Из уравнения (14):
N1=Pcos1N2cos.
N1= 100cos60°(345)cos30° = 348,78 Н.
2. Рассмотрим
равновесие узла М.
На узел
действуют сила
и реакции
,
,
,
стержней. При этом по закону о равенстве
действия и противодействия реакция
направлена противоположно
,
численно же
= N2.
Составим уравнения равновесия:
(16)
(17)
(18)
При определении
проекций силы
на оси х
и у
в уравнениях (16) и (17) удобнее сначала
найти проекцию
этой силы на плоскость хОу
(по числовой
величине
),
а затем найденную проекцию на плоскость
спроектировать на оси х,
у.
Решая уравнение (17), находим:
Из уравнения (16):
Из уравнения (18):
Ответ: N1= 348,78H,N2=345H,N3= 141H,N4= 49,79H,N5= 328,86H,N6= 65,48H. Знаки показывают, что стержень 2 сжат, остальные растянуты.
1.3. Произвольная пространственная система сил
Моментом силы
относительно центраОназывается приложенный в этом центре
вектор
,
модуль которого равен произведению
модуля силы
на ее плечоhи который направлен перпендикулярно
плоскости, проходящей через центрОи линию действия силы в ту сторону,
откуда «вращение», совершаемое силой
вокруг точкиО,
представляется происходящим против
хода часовой стрелки (рис. 16):
Момент силы
относительно центраОможет быть представлен в виде векторного
произведения:
где
радиус-вектор точки приложения силы.
Рис. 16
В самом деле, модуль векторного произведения равен
Заметим также, что
вектор
направлен перпендикулярно плоскости,
проходящей через векторы
и
,
в ту сторону, откуда кратчайший поворот
вектора
к направлению вектора
представляется происходящим против
хода часовой стрелки.
Моментом силы
относительно какой-либо осиz,
проходящей через центрО(рис. 16), называется скалярная величина,
равная проекции вектора
на эту ось:
Механический смысл
величины
состоит в том, что она характеризует
вращательный эффект силы, когда эта
сила стремится повернуть тело вокруг
осиz.
В самом деле, если разложить силу
на составляющие
и
,
где
Oz(рис. 17), то поворот вокруг осиzбудет совершать только составляющая
и вращательный эффект всей силы
будет определяться величиной
Составляющая же
повернуть тело вокруг осиzне может (она лишь может сдвинуть тело
вдоль осиz).
Момент силы
относительно оси zбудет иметь знак «плюс», когда с
положительного конца этой оси поворот,
который стремится совершить сила
вокруг этой оси, виден происходящим
против хода часовой стрелки, и знак
«минус»когда по
ходу часовой стрелки.
Рис. 18
Рис. 17
относительно какой-либо осиz(рис. 18), нужно провести любую плоскость
(ху), перпендикулярную
к данной оси и, спроектировав силу на
эту плоскость, найти алгебраическую
величину момента полученной проекции
относительно точкиОпересечения осиzс плоскостьюху.
Момент силы относительно оси равен нулю, когда сила параллельна оси либо когда линия действия силы пересекает ось.
При рассмотрении равновесия произвольной пространственной системы сил приходится определять моменты пар сил относительно осей, для чего момент пары сил представляют в виде вектора.
Момент пары, как вектор, направлен по перпендикуляру к плоскости действия пары в ту сторону, откуда вращение тела парой сил представляется происходящим против направления вращения часовой стрелки.
Изображенные на
рис. 19, а и 19, б векторы
и
представляют собой соответственно
моменты пар
и
.
Так как пару сил
можно переносить в ее плоскости действия
и в любую другую плоскость, ей параллельную,
то ее момент
не имеет определенной точки приложения
и являетсясвободным вектором.Такие
векторы можно переносить параллельно
самим себе в любую точку тела.
Рис. 19
При определении момента пары сил относительно какой-либо оси достаточно найти проекцию вектора-момента этой пары на данную ось. Так, на примере, изображенном на рис. 19, а и 19, б, будем иметь:
М1х= 0; М1у= М1; М1z= 0;
М2х= 0; М2у= 0; М2z=M2.
Если требуется сложить пары сил, то достаточно сложить их векторы-моменты как свободные векторы, т. е. перенести эти векторы параллельно самим себе в общую точку и применить правило сложения векторов.
Так, на примере
двух пар сил
и
,
расположенных в плоскостяхxByиxBzсоответственно (рис. 20), будем иметь:
Рис. 20
Модуль Мрезультирующего вектора
находим как величину диагонали
прямоугольника, построенного на векторах
и
:
или в проекциях на координатные оси:
Mx = M1x + M2x = 0;
My = M1y + M2y = M2;
Mz=M1z+M2z=M1,
следовательно,
Любую пространственную
систему сил можно привести к некоторому
центру О, в
результате чего будет получен главный
вектор
,
приложенный в этом центре и главный
момент
относительно этого центраО.
Как известно, главный вектор равен
геометрической сумме всех сил:
и не зависит от
выбора центра приведения, а главный
момент
равен геометрической сумме векторов-моментов
всех сил относительно этого центра
(включая и векторы-моменты всех пар сил)
и зависит от выбора центра приведения:
Условиями равновесия произвольной пространственной системы сил являются равенство нулю главного вектора этой системы сил и главного момента относительно любого центра, что выражается шестью уравнениями равновесия в проекциях на оси декартовой системы координат:
Пример С4.
Горизонтальная
прямоугольная плита весом Р
(рис. С4) закреплена сферическим шарниром
в точке А,
цилиндрическим (подшипником) в точке В
и невесомым стержнем DD.
На плиту в плоскости, параллельной хz,
действует сила
,
а в плоскости,
параллельной уz,
пара сил с моментом М.
Дано: Р = 3 кН, F = 8 кН, М = 4 кНм, = 60°, АС = 0,8 м, АВ = 1,2 м, ВЕ = 0,4 м, ЕН = 0,4 м. Определить реакции опор А, В и стержня DD'.
Рис. С4
Решение.
1. Рассмотрим равновесие плиты. На плиту
действуют заданные силы
,
и пара с моментом
,
а также реакции связей. Реакцию
сферического шарнира разложим на три
составляющие:
,
,
,
цилиндрического (подшипника) – на две
составляющие:
,
,
(в плоскости, перпендикулярной оси
подшипника); реакцию
стержня направляем вдоль стержня от D
к D,
предполагая, что он растянут.
2. Для определения шести неизвестных реакций составляем шесть уравнений равновесия действующей на плиту пространственной системы сил:
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
Для определения
моментов силы
относительно осей разлагаем ее на
составляющие
и
,
параллельные осямxиz(
,
),
и применяем теорему Вариньона. Аналогично
поступаем с реакцией
(
;
).
Из уравнения (23) находим:
Из уравнения (24):
Из уравнения (22):
Из уравнения (19):
Из уравнения (20):
Из уравнения (21):
Ответ: RAx= 3,422 кН,RAу= 5,133 кН,RAz= 4,834 кН,RВx=7,422 кН,RВz= 2,13 кН,N= 5,928 кН.
Знак «минус»
указывает, что реакция
направлена противоположно показанной
на рис. С4.