1.1. Произвольная плоская система сил

Под произвольной системой сил понимают совокупность сил, расположенных в одной плоскости, линии действия которых не пересекаются в одной точке. Произвольную плоскую систему сил можно значительно упростить, приведя силы к одному центру приведения О. В результате чего в этом центре будет приложена сила , называемая главным вектором, и к телу в целом будет приложена пара сил с моментомМ_О, называемым главным моментом относительно этого центра.

Главный вектор равен геометрической сумме сил, входящих в данную систему, а главный моментМ_О алгебраической сумме моментов сил относительно центра приведения, включая и алгебраическую сумму моментов пар сил:

,

Численное значение главного вектора определяется по его проекциям на координатные оси:

,

где и

Направление главного вектора находят по косинусам направляющих углов:

где , орты осейОхиОу.

Условиями равновесия тела под действием произвольной плоской системы сил являются равенство нулю главного вектора и главного момента относительно любого центра О:

= 0 и М_О= 0.

Эти условия выполняются, если

(1)

Уравнения (1) называются основными уравнениями равновесия. Существуют еще две формы уравнений равновесия:

(2)

(3)

В системе уравнений (2) ось хне должна быть перпендикулярной к прямой, проходящей через центрыАиВ, а центрыА,ВиСв системе (3) не должны лежать на одной прямой.

Пример С1. Жесткая рама АDСВ (рис. С1) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В – подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

Дано: F = 25 кН,  = 60°, Р = 18 кН,  = 75°, М = 50 кНм,  = 30°, а = 0,5 м. Определить: реакции в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками.

Решение. 1. Рассмотрим равновесие рамы. Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на раму силы: силу , пару сил с моментом М, натяжение троса (по модулю Т = Р) и реакции связей , , (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).

Рис. С1

2. Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы относительно точки А воспользуемся теоремой Вариньона, т. е. разложим силу на составляющие , () и учтем, что. Получим:

(4)

(5)

(6)

Из уравнения (6) находим:

Из уравнения (4):

Из уравнения (5):

Ответ:

Знаки указывают, что реакции и направлены противоположно показанным на рисунке.

Для проверки правильности полученных результатов составим и решим проверочное уравнение равновесия в форме моментов всех сил относительно точки С.

Пример С2.Конструкция состоит из жесткого угольникаАЕС и стержняСК, которые в точкеС(рис. С2а) соединены друг с другом с помощью цилиндрического шарнира.

Внешними связями являются: в точке Ашарнирно-неподвижная опора, в точкеВневесомый стерженьВВ, в точкеDшарнирно-подвижная опора. К конструкции приложена сила , пара сил с моментомМи равномерно распределенная на участкеКВ нагрузка интенсивностиq.

Дано: F= 10 кН,= 60,q= 20 кН/м,М= 50 кНм,а= 0,5 м.

Определить реакции связей в точках А, В, С и D, вызванные заданными нагрузками.

Рис. С2а

Решение. 1. Для определения реакций расчленим систему по шарнируСи рассмотрим сначала равновесие стержняКС (рис. С2б). Проведем координатные осиху и изобразим действующие на стержень силы: равномерно распределенную нагрузку заменим силой , приложенной в середине участка ВК (численноQ=q2а= 20 кН), реакцию стержняВВнаправим вдоль этого стержня, а действие отброшенного угольникаАЕС представим составляющими и реакции шарнираС.

Рис. С2б

Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:

(7)

(8)

(9)

При вычислении момента силы разлагаем ее на составляющие и и применяем теорему Вариньона (,).

Из уравнения (9) находим:

Из уравнения (7):

Из уравнения (8):

2. Теперь рассмотрим равновесие угольника (рис. С2в).

Рис. С2в

На него действуют: сила , пара сил с моментомМ, реакция шарнирно-подвижной опорыD, составляющие и реакции шарнирно неподвижной опорыАи составляющие и реакции , направленные противоположно соответствующим реакциям и , которые были приложены к стержнюКС. При решении учитываем, что численно = и = , в силу равенства действия и противодействия. Для этой плоской системы сил тоже составляем три уравнения равновесия:

(10)

(11)

(12)

В уравнении (12) при вычислении момента силы , последняя разложена на составляющиеи(и) и применена теорема Вариньона.

Из уравнения (12) находим:

Из уравнения (10):

Из уравнения (11):

Ответ: R_Ax=3,08 кH,R_Aу= 18,685 кH,R_D= 6,645 кH,R_B= 30,8 кH,R_Cx= 1,92 кH,R_Cy= 16,67 кH.

Знаки указывают, что сила реакции направлена противоположно показанной на рис. С2в.