Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Омский государственный технический университет» Кафедра «Автоматизированные системы обработки информации и управления» РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА на тему «Задача о назначениях» по дисциплине «Теория принятия решений» студентки Овчинниковой Елены Владимировны группы ИВТ-349 Пояснительная записка д.ф-м.н., профессор А. В. Зыкина студентка Е. В. Овчинникова Омск 2012

Реферат Пояснительная записка 12 с., 1 ч., 2 источ. линейнОЕ программированиЕ, Оптимизация, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ВЕНГЕРСКИЙ МЕТОД, ВЫДЕЛЕННЫЙ ЭЛЕМЕНТ, КОМПЛЕКС АСУ Предметом исследования является задача и назначениях. Целью работы было разработка математической модели задачи с последующим решением задачи с заданными числовыми значениями. В процессе работы были выполнены аналитические вычисления, составлена математическая модель. Выполнено численное решение венгерским методом.

Содержание Введение

Линейное программирование – направление математики, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием оптимальности. К математическим задачам линейного программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.

Задачи линейного программирования ‑ задачи, в которых целевая функция и ограничения являются линейными функциями.

Оптимизация — целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях.

Постановка задачи оптимизации предполагает существование конкурирующих свойств процесса, например, количество продукции ‑ расход сырья; количество продукции ‑ качество продукции.

Критерием оптимальности называется количественная оценка оптимизируемого качества объекта.

На основании выбранного критерия оптимальности составляется целевая функция, представляющая собой зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на ее значение. Вид критерия оптимальности или целевой функции определяется конкретной задачей оптимизации.

В зависимости от своей постановки, любая из задач оптимизации может решаться различными методами.

1. Теоретический материал

1.1 Содержательная постановка

Задано n различных работ, каждую из которых может выполнять любой из n исполнителей. Эффективность при выполнении работы i исполнителем j равна . Требуется распределить исполнителей по работам, т.е. назначить одного исполнителя на каждую работу таким образом, чтобы максимизировать суммарную эффективность.

Формально задача о назначениях может быть сформулирована так. Необходимо выбрать из каждой строки и каждого столбца матрицы:

ровно по одному элементу (всего n элементов) так, чтобы их сумма была наибольшей. Такая задача называется задачей выбора.

1.2 Венгерский метод для задачи о назначениях

Введем следующие понятия:

1. Две матрицы иназываютсяэквивалентными , еслидля любыхi и j.

Задачи выбора, определяемые эквивалентными матрицами, являются эквивалентными.

2. Нулевые элементы матрицыC называются независимыми нулями, если для любого нуля , , строка и столбец, на пересечении которого лежит этот нуль , не содержат другие нулевые элементы

3. Выделенные элементы матрицы C – это элементы строк или столбцов, помеченных знаком +. Все остальные элементы матрицы C – невыделенные элементы.

Алгоритм состоит из подготовительного этапа и не более чем (n–2) последовательно проводимых итераций. Каждая итерация состоит из эквивалентных преобразований матрицы и выбора максимального числа независимых нулей. Окончательным результатом каждой итерации является увеличение числа независимых нулей, имеющихся в начале итерации, на единицу. Как только количество независимых нулей становится равным n, задача выбора оказывается решенной: оптимальный вариант определяется позициями независимых нулей в последней из матриц, эквивалентных исходной матрице.