99

Исследование функций с помощью производных (часть II)

I. Выпуклость и вогнутость кривой.

Рассмотрим непрерывную на отрезке [a, b] функцию y= f(x) . Если для каждой пары точек , таких, что x₁<x₂ , выполняется условие

(1) ,

то функция y= f(x) называется выпуклой вниз (вогнутой). Если же для точек x₁<x₂ , принадлежащих отрезку [a, b] , выполняется условие

, (2)

то функция y= f(x) называется выпуклой вверх или просто выпуклой.

Геометрическая интерпретация понятия выпуклости функции:

Пусть M₁ , M₂ , M₀ - точки графика

функции y= f(x) с абсциссами x₁<x₂ ,

. Точка k - середина хорды

M₁M₂ , поэтому ордината точки k равна

, а абсцисса x_{0 .}.

В соответствии с условием (2) точка M₀ с абсциссой x₀ и ординатой лежит выше точки k или совпадает с ней.

Для функции выпуклой вверх на отрезке [a, b] график функции лежит ниже касательной к графику, проведенной в любой точке отрезка [a, b] (см.рис.2). Если точки графика функции лежат выше касательной к графику в любой точке отрезка [a, b] , то кривая оказывается выпуклой вниз.

Можно сказать, что введенные таким образом понятия выпуклости и вогнутости графика функции удовлетворяют условиям (1) и (2), так как по теореме Лагранжа между двумя любыми точками x₁ и x₂ найдется такая точка , в которой касательная к графику функции параллельна хорде M₁M₂ , а точки графика на отрезке [x₁, x₂] заключены между касательной и хордой. Поэтому если они лежат ниже касательной, то удовлетворяют условию (2), если же они лежат выше касательной к графику функции, то они удовлетворяют условию (1).

II. Достаточные условия выпуклости.

Достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика функции y= f(x)

сформулируем в виде теоремы: если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции y= f(x) отрицательна, то кривая y= f(x) обращена выпуклостью вверх на этом интервале;

если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) положительна, то кривая y= f(x) обращена выпуклостью вниз на этом интервале.

Докажем первую часть теоремы:

Функцию y= f(x) считаем на отрезке [a, b] непрерывной и дважды дифференцируемой в интервале (a, b) .

Возьмем внутри (a, b) точки x₁<x₂ .

Обозначим

тогда x₂ – x₀=h , x₀ – x₁=h .

Запишем формулу Лагранжа для функции y= f(x) на отрезках [x₁ , x₀] и [x₀ , x₂]:

(a)

(б)

Вычитая из соотношения (б) соотношение (а), получим

. (в)

Рассмотрим отрезок , вложенный в отрезок [a, b]и запишем на этом отрезке теорему Лагранжа для функции :

(2)

так как .

С учетом (2) можно соотношение (в) представить в виде

Поскольку , то по условию теоремы. Поэтому то есть выполняется условие (2) и функция обращена выпуклостью вверх.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл (рис.4)

Поскольку представляет собой тангенс угла наклона касательной к графику функции y= f(x) , то характеризует изменение на рассматриваемом интервале. Если всюду на интервале , то убывает с ростом x , а функция y= f(x) выпукла (рис.4,а). Если же , то возрастает с ростом x , а функция y= f(x) вогнута (рис.4,б).