143

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

I. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.

Рассмотрим задачу геометрии о вычислении площади криволинейной

трапеции - фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции

y=f(x) , прямыми x=a , , y=0.

Предположим, что f(x)>0 на отрезке [a,b] , то есть трапеция расположена над осью 0x (рис.1). Разделим основание трапеции на n частичных интервалов [x₀,x₁],[x₁,x₂],[x₂,x₃],….,[x_n-1,x_n]

точками деления a=x₀<x₁<x₂<…<x_n-1<x_n=b

Проводя в точках деления прямые, параллельные оси 0y , мы

разобьем рассматриваемую криволинейную трапецию aA₀A_nb на n частичных трапеций: aA₀A₁x , x₁A₁A₂x₂ ,..., x_n-1A_n-1A_nx_n.. Возьмем в каждом из частичных интервалов попроизвольной точке ξ₁ , ξ₂ , ξ₃ ,..., ξ_n так, что

x₀≤ ξ₁≤x₁ , x₁≤ ξ₂≤x₂,…, x_n-1≤ ξ ≤x_n

В точках ξ_i (i=1…n) проведем прямые , параллельные оси 0y до

пересечения с графиком y=f(x) ; отрезкиэтих прямых соответственно равны f(ξ_i ) . На частичных интервалах построим n прямоугольников с высотами f(ξ_i ) и получим n -ую ступенчатую фигуру

Площадь S_n этой фигуры зависит от того, каким образом произведено разделение отрезка [a,b] на интервалы, и от того, каким образом были выбраны точки ξ_i . Можно считать, что площадь S_n есть приближенно значение площади S криволинейной трапеции aA₀A_nb . Это приближение оказывается тем более точным, чем больше n и чем меньше длины частичных интервалов. Площадью криволинейной трапеции называют предел, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры S_n при неограниченном возрастании n и стремится к нулю наибольшей длины частичных интервалов.

Если - длина i -ого конечного интервала, то условие предполагает бесконечное измельчение отрезка [a,b] . Однако, из того, что число точек деления не следует, что , поскольку точки деления x_i могут быть выбраны произвольно. Если при измельчении отрезка [a,b] одна из точек, например x_i , фиксирована, то при этом длина отрезка не стремится к нулю, хотя . При этом площадь рассматриваемой ступенчатой фигуры и в пределе не станет равной площади криволинейной трапеции.

Запишем выражение для площади ступенчатой фигуры S_n как сумму площадей прямоугольников с основаниями Δx_i и высотами f(ξ_i )

Тогда в соответствии с определением площади криволинейной трапеции

(1)

К пределам, аналогичным (1), приводят многие задачи физики и прикладных дисциплин (вычисление работы переменной силы, нахождение пройденного пути, вычисление массы и др.). Поэтому имеет смысл, отвлекаясь от физического смысла функции f(x) и переменной x , ввести соответствующее равенству (1) общее математическое понятие.

_Определение.: если для функции y=f(x) , непрерывной на отрезке

[a,b] существует предел, к которому стремитсяn-ая интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего

частичного интервала, и если этот предел не зависит ни от способа

разбиения интервала интегрирования на частичные интервалы, ни от вы-

бора в них промежуточных точек, то его называют определенным интег-

ралом и обозначают

(2)

Как и в неопределенном интеграле, функцию y=f(x) называ-

ют подынтегральной функцией, f(x)dx - подынтегральным выраже-

нием, x - переменной интегрирования, a - нижним и b -

верхним пределами интегрирования.

В отличие от неопределенного интеграла, представляющего собой

семейство функций, определенный интеграл есть число. Величина его

зависит только от вида подынтегральной функции и пределов a и b ,

определяющих интервал интегрирования, но не от переменной интегриро-

вания, поэтому справедливы равенства

Если для функции y=f(x) существует определенный интеграл ,

то эта функция называется интегрируемой (по Риману) на отрезке [a,b] .

Отметим без доказательства, что

1) всякая непрерывная на отрезке [a,b] функция интегри-

руема на этом отрезке;

2) если ограниченная функция f(x) на отрезке [a,b]

имеет лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом

отрезке;

3) монотонная ограниченная функция всегда интегрируема.

II. Свойства определенного интеграла.

Укажем простейшие свойства определенного интеграла.

Свойство линейности, связанное с операциями над функциями:

определенный интеграл над линейной комбинацией функций на отрезке равен линейной комбинации определенных интегралов от этих функций на том же отрезке:

(3)

_Доказательство: воспользуемся определением интеграла для функции

Свойства, связанные с отрезками интегрирования

1) (4)

2) (5)

3) (6)

если

Доказательство свойства 3 (аддитивности определенного интеграла):

поскольку для непрерывной функции предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения, можно считать, что точка с совпадает с одной и той же точкой деления. При этом интегральную сумму можно представить как

(*)

где в сумме Σ₁ собраны все интервалы деления от a до c ,

в сумме Σ₂ - от c до b и в сумме Σ - от a до b .

Переходя в соотношении (*) к пределу, мы и получим равенство, отражающее свойство (6).

III. Оценка интеграла.

Приведем некоторые теоремы, позволяющие проводить оценку опре-

деленного интеграла:

1) если f(x)≥0 при всех , то

2) если на отрезке [a,b] функции f(x) и φ(x) удовлетворяют условию

f(x)≥ φ(x) , то

В случае, когда f(x)≥ 0 и φ(x) ≥ 0 , последнее свойство имеет простую геометрическую иллюстрацию:

площадь криволинейной трапеции больше площади криволинейной трапеции .

3) если m и M - наименьшее и наибольшее значение функции y=f(x)

на отрезке [a,b] , то

(7)

_Доказательство.: по условию

тогда на основании предыдущего свойства

Но

что при подстановке в последнее неравенство и приводит к соотношению (7).

Если на отрезке [a,b] , то неравенство (3) отражает

тот факт, что площадь криволинейной трапеции

с одержится между площадями прямоугольников и .

IV. Теорема о среднем. Среднее значение функции.

_Теорема о среднем.: если функция f(x) непрерывна на отрезке

[a,b] , то на этом отрезке найдется такая точка , что

(8)

_Доказательство..

Пусть a<b и m и M - наименьшее и наибольшее

значения функции на интервале, тогда в силу (7)

или

Обозначим , причем .

Поскольку f(x) непрерывна, она принимает все значения, заключенные между m и M (теорема Коши о промежуточных значениях).

Следовательно, при некотором , т.е.

- что и требовалось доказать.

Площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников и . Если прямая , параллельная оси 0x , смещается от положения к положению , то площадь меняется непрерывно и в некотором положении окажется в точности равной площади криволинейной трапеции. При этом прямая пересечет график функции в одной или нескольких точках Q с координатами (ξ,μ).

Число называют средним значением функции f(x) на отрезке [a,b] .