Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

коллок

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
30.03.2015
Размер:
1.26 Mб
Скачать

Тема 1. Введение. Первичные понятия теории вероятностей и простейшие способы определения вероятности.

Экскурс в историю развития теории вероятностей. Случайные явления и предмет теории вероятностей. Основные типы задач, решаемых с применением вероятностно-статистических методов и моделей. Понятия случайного эксперимента (испытания) и события. Случайное, невозможное и достоверное события. Статистическая устойчивость частот событий и интуитивное представление о вероятности. Пространство элементарных событий с конечным числом исходов и классическое определение вероятности. Геометрический и статистический способы определения вероятностей.

Вспомогательные сведения.

Предмет – то, на что направлена мысль, и что составляет ее содержание. Цель – то, к чему стремятся, что хотят осуществить.

Явление – всякое проявление чего-нибудь, как-нибудь.

Предмет теории вероятностей. Теория вероятностей – математическая наука, изучающая математические модели случайных явлений.

Случайное явление – протекающее спонтанно или воспроизводимое в ходе эксперимента явление, исход которого не предопределен в рамках его наблюдения (или постановки эксперимента). Должно обладать свойством статистической устойчивости событий, связанных с данным явлением.

Прикладные задачи теории вероятностей и математической статистики

1.Статистический приемочный контроль.

2.Оценка надежности системы.

3.Актуарные и финансовые расчеты.

4.Анализ СМО (систем массового обслуживания).

5.Прогнозирование временных рядов.

6.Маркетинговые исследования.

7.Изучение предпочтений, опросов общественного мнения. Например, Фехнер (1860, психофизика) сравнивал мало отличимые веса сосудов (300-3000 г 0,04-0,08).

8.Исследование взаимосвязей показателей и динамики стохастических процессов.

9.Воздействие средств массовой информации, размещение рекламы.

10.Анализ причин и характера безработицы

11.Управление запасами.

12.Выбор места отдыха (условия проживания, возможные развлечения, расходы, погода).

13.Другие.

Краткий исторический экскурс в становление теории вероятностей и математической статистики как научных дисциплин.

Первый период. Теория вероятностей возникла в середине 17-го века. Первые работы (Б. Паскаль, П. Ферма и Х. Гюйгенс) связаны с подсчетом шансов в азартных играх и делением ставки в случае преждевременного окончания игры. Я. Бернулли (1713) установил ЗБЧ для схемы независимых испытаний с двумя исходами.

Классическая задача Де Мере (1654 г., Де Мере написал Паскалю)

1660 г. (Англия) Дж. Гранти, У. Пети подготовили социально-статистические обзоры по численности смерти и образе жизни.

Второй период (18-й век – середина 19-го). Связан с работами таких ученых как А. Муавр, П. Лаплас, К. Гаусс и С. Пуассон. Результаты нашли применение в теории ошибок наблюдений (геодезия, астрономия, теория стрельбы). Основные научные достижения: теоремы Лапласа и Пуассона, МНК (метод наименьших квадратов).

Появилась анкета. Д. Девис (1787) изучал семейные бюджеты. М. Иден (1794) подготовил отчет о положении бедных.

Третий период (2-я половина 19-го века). Исследования в России занимают ведущее место в мире. Российские ученые: П. Л. Чебышев, А. М. Ляпунов, А. А. Марков. Достижения: ЗБЧ и ЦПТ, цепи Маркова (случай зависимых испытаний).

В Западной Европе во 2-й половине 19-го века получили развитие работы по математической статистике: Бельгия – А. Кетле (ввел среднее, как один из индикаторов, доступных количественному анализу), Англия - Ф. Гальтон (регрессия), Австрия – Л. Больцман (статистическая физика). Выборочный метод впервые применил Артур Боули в 1912 к анализу данных опросов.

Четвертый период (современный). Теория вероятностей и математическая статистика приобретают современные теоретические основы. Ученые: Э. Борель, П. Леви, М. Фреше (Франция); Р. Мизес (Германия); Н. Винер, В. Феллер, Дж. Дуб (США); Г. Крамер (Швеция); С. Н. Бернштейн (предельные теоремы), А. Я. Хинчин, А. Н. Колмогоров, Е. Е. Слуцкий (развитие теории случайных процессов), В. И. Романовский, Н. В. Смирнов, Ю. В. Линник, Л. Н. Большев (МС), и многие другие.

1934 – Д.Гэллап создал Американский институт общественного мнения.

Первичные понятия ТВ.

Осуществление некоторого комплекса условий – испытание (эксперимент, опыт,

наблюдение).

Определенный результат испытания – событие («наивное» определение, строгое – позже). Определяется обычно посредством высказывания.

Выделяют три типа событий: случайное (обозначение: A, B, C, ), достоверное ( ) и

невозможное ( ).

Случайное событие – любая комбинация исходов испытания, имеющая определенную вероятность наступления.

Вероятность – числовая характеристика возможности осуществления случайного события. Если результат испытания – число или конечный набор чисел, то его исходы описывают с

помощью случайной величины (СВ). Если исходы опыта представляют собой последовательности, функции, кривые, преобразования, то для описания исходов используют понятие случайный элемент (функция, процесс и т.д.).

Случайный элемент – обобщение понятия СВ. Термин, видимо, введен М. Фреше (1948), посчитавшим, что развитие ТВ и расширение области ее приложений привело к необходимости от схем, где случайные исходы опыта могут быть описаны числом или конечным набором чисел, к схемам, где исходы опыта представляют собой, напр., функции, кривые, преобразования.

ТВ позволяет по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми. Такие расчеты основаны на том, что массовые случайные явления в стационарных условиях обладают свойством статистической устойчивости частот событий. Свойство проявляется в затухании с ростом количества наблюдений колебаний относительной частоты события относительно некоторого числа, называемого вероятностью этого события.

Элементарное событие – элементарный (наиболее простой) исход случайного эксперимента. Эксперимент заканчивается одним и только одним элементарным исходом. Эти исходы неразложимы и взаимно исключают друг друга. Могут иметь различную природу: число, вектор, кривая, качественная характеристика.

Несовместные события – не могут произойти одновременно в одном и том же испытании. Пространство элементарных событий – множество всех элементарных исходов

испытания. Невозможное событие трактуется как пустое множество, случайное событие – как некоторое подмножество . Наиболее общие абстрактные результаты в ТВ получены в предположении, что пространство имеет произвольную математическую природу. Более конкретные и доступные для понимания результаты получены в предположении, что имеет определенную математическую природу: является дискретным множеством, множеством или подмножеством k .

Пример 1. Испытание заключается в ответе на 30 вопросов теста с пятью вариантами ответа на каждый из них. В этом случае: элементарное событие (исход) – определенная последовательность

выбранных ответов 1, , 30 , где i 1, 2,3, 4, 5 , 1, , 30 – множество всех вариантов заполнения бланка тестирования. При этом – дискретное множество элементарных исходов.

Пример 2. Испытание заключается в перемещении автомобиля. Его максимальная скорость 200

км/час. Пусть

V t – скорость авто в момент

t . Множеством значений V t является

0; 200 ,

одним из событий в момент t

является A V t . Если

будем

интересоваться положением автомобиля, определяемым координатами X t и Y t , то

2 .

Если будем интересоваться траекторией движения из начальной точки 0;0 за время T ,

то –

некоторое множество непрерывных функций, определенных на 0;T .

В некоторых условиях возможен прямой подсчет вероятностей случайных событий.

Проведение статистического эксперимента (например, визуальное определение длины отрезка усилиями находящихся в аудитории студентов) и обсуждение его результатов.

Простейшие методы вычисления вероятностей

Классическое определение вероятности.

Условие применения: множество элементарных событий испытания состоит из конечного числа элементов n . Все элементарные события (исходы) равновозможны. Тогда вероятность появления

события A находится по формуле классической вероятности: P A mnA , mA – число исходов,

благоприятствующих появлению события A.

Для подсчета числа исходов удобно использовать элементы комбинаторики.

Правило произведения. Каждый исход испытания может быть получен в результате последовательного выполнения k различных действий. При этом первое событие может быть выполнено n1 различными способами, второе – n2 различными способами, последнее – nk . Число

различных исходов испытания: n1 n2 nk .

Перестановка – любое линейное упорядочение элементов данного множества. Число различных перестановок элементов множества, состоящего из n элементов равно n!

Выборка без возвращения. Имеется совокупность, состоящая из N элементов. Из нее последовательно по одному без возвращения в исходную совокупность извлекаются m элементов.

Извлекаемые элементы называют выборкой без возвращение объема m.

Сочетание – неупорядоченная выборка без возвращения. Одно сочетание отличается от другого только составом элементов.

Размещение – упорядоченная выборка без возвращения. Размещения могут отличаться как составом, так и порядком отбора элементов.

Число различных сочетаний, которые можно составить из N исходных элементов, извлекая m

элементов без возвращения

CNm

N !

 

Am

 

 

 

N

, где

m! (N m)!

m!

 

 

 

Am N (N 1) ... (N m 1) .

N

m сомножителей

обозначается

CNm

и

определяется

выражением

Am – число

размещений

из N элементов по m,

N

 

 

 

 

Некоторые свойства числа сочетаний:

1. CN0 1,

CN1 N.

2. CNm CNN m .

Примеры применения формулы классической вероятности.

Пример 1. 3 раза бросается монета. Какова вероятность того, что выпадет одна и та же сторона?

Решение. Испытание – бросание трех монет Исход – последовательность из трех монет

A выпадет 3 раза одна и та же сторона

n 2 2 2 8 m 2

Пример 2. В урне 9 шаров: 2 белых, 3 черных, 4 синих. Из нее случайным образом извлекаются 3. Найти вероятности следующих событий: A = {все извлеченные шары белые}, B ={все извлеченные шары синие}, С = {одного цвета}, D = {среди извлеченных хотя бы 2 черных шара}, E = {все шары разного цвета}.

Решение. Испытание – извлечение трех шаров. Исход – три определенных шара,

n С93 9 8 7 ,

3!

m

A

0, m

B

C3

,

m 0 C3

C

3

,

 

 

 

4

 

C

 

3

4

 

m

D

C2

C1

C3

,

m

E

C1

C1

C1

 

 

 

 

3

 

6

3

 

 

3

4

5

 

 

Пример 3. Составляется список из 5 фамилий. Сколькими способами это можно сделать, если 1) все фамилии различные, 2) имеются 3 одинаковые фамилии?

Решение. Испытание – составление списка. Исход – список.

A список из 5 различных фамилий ,

В список из 5 фамилий, среди которых две одинаковых ,

C список из 5 различных фамилий, чтобы две определенных фамилии стояли рядом ,

m

A

5! 120,

m

B

 

5!

,

m 4! .

 

 

 

 

2!

 

C

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4 (задача о сравнении двух выборок). Планируется проведение двух серий измерения роста X : X1, , X n1 – возможные результаты измерений роста юношей, Y1, ,Yn2 – возможные

результаты измерений роста девушек. При проверке гипотезы однородности данных по критерию Манна-Уитни исходные данные объединяют и упорядочивают в порядке возрастания. Какова вероятность событий:

A значение Yi

 

расположено на s-м месте в объединенной выборке ,

 

B значение Yi

и Y j расположены на s-м и t-м местах в объединенной выборке .

Решение. Испытание – упорядочение данных.

 

 

 

 

 

 

Исход – последовательность из n1 n2 -го значений.

 

 

 

 

При этом P A

 

n1 n2 1 !

 

1

; P B

n1 n2 2 !

 

1

 

 

.

 

 

n1 n2

 

n n

 

2

 

 

n1 n2 !

 

n1 n2 !

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

Пример 5 (семейная задача). В семье 4 сестры по очереди моют посуду. Из 4-х разбитых тарелок 3 разбито младшей сестрой. Можно ли ее оправдать, приписывая эти неудачи случайности. Решение. Вероятность случившегося события в предположении о равной вероятности разбития

каждой из тарелок каждой из сестер равна P A

C43 3

 

12

0, 05. Вероятность мала.

44

256

 

 

 

Вывод: происшедшее нельзя объяснить неблагоприятным стечением обстоятельств.

Статистическое определение вероятности.

Вероятность случайного события полагается равной его относительной частоте, вычисляемой по результатам n независимых повторных испытаний:

m( A)

Wn ( A) n P( A) .

Здесь m A – частота A (число появлений события A), а m A n – его относительная частота

(частость).

Дж. Граунт (1620-1675): относительная частота смерти детей в возрасте от 0 до 6 лет равна

71124/229250 = 1/3.

Геометрическое определение вероятности.

Множеству элементарных исходов испытания поставим в соответствие некоторую геометрическую область G, а случайному событию A – геометрическую область GA . Тогда, если все исходы испытания равновозможны, вероятность появления события A можно найти по

формуле геометрической вероятности: P( A) мера(GA ) . В качестве меры используется длина,

мера(G)

площадь, объем в зависимости от вида геометрической области.

Пример (задача о встрече). Два судна должны прибыть в порт назначения от 13 до 14 часов. в порту один причал для разгрузки. Продолжительности разгрузки судов 5 мин. и 10 мин. Найти вероятность того, что одному из них придется ожидать окончания разгрузки другого?

Решение. В данном случае:

испытание – прибытие двух судов,

x, y – моменты их прибытия.

 

 

 

 

 

 

 

По условию G x, y :13 x, y 14 ,

 

 

1

 

1

 

GA

x, y G : x y x

 

 

, y x y

 

.

12

6

 

 

 

 

 

Им соответствует изображение

y x 1/12

14

y x 1/ 6

13

14

Поэтому

 

SGA

1

 

5 / 6

2

 

11/12

2

P A

2

 

2

 

.

 

 

 

 

 

 

SG

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 2. Аксиоматическое построение теории вероятностей

Операции над событиями: пересечение, объединение, дополнение, разность, импликация. Основные свойства операций над событиями. Алгебра и -алгебра событий, событие как измеримое (наблюдаемое) множество. Аксиоматическое определение вероятности А.Н. Колмогорова. Вероятностное пространство, примеры вероятностных пространств. Следствия из аксиом: непрерывность вероятностной меры, свойства вероятности для объединения несовместных и совместныхсобытий, а также для объединения событий,образующихполную группу.

Действия над событиями и их геометрическая интерпретация. Свойства операций.

1.Пересечение (произведение) событий – событие, состоящее в их совместном появлении:

A B A B AB .

2.Объединение событий – событие, состоящее в появлении одного из них: A B. Сумма событий – объединение несовместных событий: A B.

3. Разность, симметрическая разность событий: A\ B AB,

A B A\ B B\ A.

4.Дополнение событий: A \ A. A – событие, противоположное к A.

5.Импликация событий: A B.

6.Равносильность событий: A B A B B A .

Примеры применения операций над событиями: сдача экзамена в «жестком» режиме,

освещение помещения люстрой, получил «3» – сдал экзамен.

Замечание. Возможна геометрическая интерпретаций операций над событиями с помощью диаграмм Эйлера-Венна, если испытанию поставить в соответствие бросание точки в прямоугольник, а каждомусобытию – круг в прямоугольнике.

Свойства операций над событиями.

1. Ассоциативность и коммутативность операций , – результат выполнения операций

 

объединения n

Ai и пересечения

n

Ai

не зависит

от порядка следования событий и

 

i 1

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

очередности выполнения операций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Взаимная дистрибутивность операций объединения и пересечения:

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

B

Ai

BAi .

3.

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

i 1

 

 

Двойственностьопераций объединения и пересечения(формулы де Моргана):

 

 

 

n

Ai

n

 

;

 

 

n

Ai

n

 

.

 

 

 

Ai

 

Ai

 

 

 

i 1

 

 

i 1

 

 

 

 

i 1

 

i 1

 

 

Примеры содержательной интерпретации операций над событиями.

Пример 1. Пусть Ai = {i-й квартал фирма завершит с прибылью}, i 1,2,34. Тогда

4 Ai – весь год с прибылью,

i 1

2 Ai – первое полугодие с прибылью,

i 1

A1 A2 A3 A4 – только первый квартал с прибылью,

4

Ak Ai – только один квартал с прибылью,

k 1

i k

4 Ai – по крайней мере (хотя бы) один квартал с прибылью.

i 1

Пример 2. Пусть – прибыль за год (в у.е.). Тогда

10 10 ,

5 10 ,

9

 

10 k , если показатель

может принимать только целочисленные значения

k 0

 

0,1,2,

 

Пример 3. Если A B, то A B A,

A B B.

Случайное событие и вероятностное пространство (аксиоматический подход).

Аксиоматический подход тесно связывает ТВ с современной теорией функций и теорией множеств.

Основная проблема. Если более чем счетно, то определяя событие как его подмножество, невозможно построить логически непротиворечивую теорию. Причина кроется в существовании неизмеримых множеств.

Решение проблемы. Выделяется определенный класс подмножеств, элементы которого и объявляются событиями.

Вспомогательные сведения.

Множество измеримо, если его можно «сколь угодно точно приблизить» элементарными множествами. На прямой – отрезками, в пространстве – параллелепипедами и т.д.

Пример неизмеримого множества (Колмогоров, Фомин). C – окружность длины 1, - иррациональное число. К одному классу отнесем те точки окружности, которые могут быть переведены одна в другую поворотом окружности на угол n ,n Z. Из каждого класса берем по одной точке. Полученное множество неизмеримо.

Алгебра множеств непустая система подмножеств A из :

1)A,

2)A A A A,

3)A,B A A B A.

-алгебра множеств (система подмножеств, замкнутая относительно счетного числа теоретикомножественных операций)непустая система подмножеств A из :

1)A,

2)A A A A,

3*) A1,A2, A A1 A2 A.

Задать топологическое пространство – задать некоторое множество X и указать те подмножества, которые считаются открытыми.

Пару ,A называют измеримое пространство.

Пример (борелевская -алгебра). Борелевская -алгебра – наименьшая -алгебра подмножеств топологического пространства, содержащая все его открытые подмножества. Ее элементы называются борелевскими множествами. На числовой прямой R борелевская -алгебра задается на интервалах, в многомерном пространстве – на параллелепипедах.

Примечание.

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

a,b

a

 

;b ;

a,b a;b

 

;

a

a;a

 

.

n

n

n

n 1

 

 

n 1

 

 

n 1

 

 

Далее – пространство элементарных событий, а A -алгебра множеств, заданная на этом пространстве. Все элементы из A называются событиями, все остальные элементы событиями не являются.

Испытание (trial) при аксиоматическом подходе – любое разбиение пространства элементарных событий на попарно непересекающиеся события, которые называются «исходами испытания».

Аксиоматическое определение вероятности (Колмогоров А.Н.)

Вероятность на ,A есть числовая функция, определенная на множествах из A и обладающая

свойствами.

 

 

А1.

P A 0 (аксиома неотрицательности).

А2.

P 1 (аксиома нормированности).

А3.

Для несовместных событий A1, ,An верна аксиома аддитивности:

 

 

n

 

n

 

P

Ak

P Ak .

 

k 1

 

k 1

А3*. Для несовместных событий A1, ,An, верна аксиома аддитивности:

 

 

 

 

 

P Ak .

P

Ak

k 1

 

k 1

Эквивалентным аксиоме А3* является требование аддитивности А3 и аксиома непрерывности А4. Функция множеств P A 0 непрерывна, т.е. для любой монотонной последовательности

событий Bn :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

limP B

P

 

limB

, где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

n n

 

 

B limB

 

 

B ,

если

B

 

– неубывающая последовательность (

B ),

 

 

 

n

n

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B limB

 

 

B , если

B

 

– невозрастающая последовательность (B ),

 

 

 

n

n

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

Bn – неубывающая последовательность. Тогда

Доказательство. Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B Bn Bn \ Bn 1 ,

 

B0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

n 1

 

 

 

 

 

 

В силусчетной аддитивности вероятностной меры

 

 

 

 

P B P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

Bn \ Bn 1

limP

Bj \ Bj 1 lim

P Bj P BjBj 1

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

n

j 1

 

n

j 1

 

 

 

n

 

 

 

 

j

 

 

 

 

j 1

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

n

P

B

P

B

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

limP B .

 

 

 

 

 

 

 

j 1

Предел существует по теореме о монотонной сходимости.

Тройка

,A,P – вероятностное пространство. Вероятность

на ,A называют

распределением вероятностей на или просто распределением на (на ,A ).

Пример 1.

Распределение на дискретном множестве можно задать,

определив вероятности

p1 P 1 , p2 P 2 , элементарных исходов 1, 2, , потребовав

p1 p2 1. В этом

случае событием является любое подмножество из , а его вероятность равна

P A P i .

 

i A

Пример 2. Распределение на непрерывном множестве R можно задать, определив вероятности на открытых интервалах ,x по правилу: P ,x F x с помощью функции

распределения F x , обладающей свойствами:

1)неубывающая и непрерывная слева,

2)0 F x 1.

Следствия из аксиоматического определения вероятности.

1. Формула сложения вероятностей для несовместных событий:

n

 

n

P Ak

P Ak .

k 1

 

k 1

Опр. События образуют полную группу (разбиение), если несовместны, а в результате испытания может произойти только одно из них.

2.Свойство полной группы событий:

P A1 P An 1

3.Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

4.Вероятность невозможного события равна 0.

5.Для любых событий A и B справедлива формула сложения вероятностей

P A B P A P B P AB

n n

6.P Ak 1 P Ak

k 1

 

k 1

 

P Ai P AAi j P AAi j Ak

 

 

i

i j

i j k

n

 

n

 

 

7. P Ak

Ak.

 

 

k 1

 

k 1

 

 

Тема 3. Вычисление вероятностей сложных событий

Условная вероятность события. События независимые попарно и в совокупности, пример Бернштейна. Формулы умножения вероятностей, полной вероятности и Байеса. Примеры вычисления вероятностей сложных событий.

Условная вероятность. Независимость событий.

Условная вероятность является еще одним из понятий аксиоматической теории. Позволяет оценить возможность наступления события A при поступлении дополнительной информации – стало известно, что произошло событие B .

Обозначение условной вероятности – P A | B PB A . Ее можно вычислить либо (в условиях применения формулы классической вероятности) по формуле

P

A | B

mAB

,

 

 

 

 

 

m

B

 

 

 

 

 

 

 

либо (в общем случае) по формуле условной вероятности

P A | B

 

P AB

,

P B 0.

 

 

 

 

P B

 

 

Событие B выполняет функцию комплекса условий,

при которых вычисляется вероятность

события A.

Условная вероятность обладает всеми свойствами безусловной вероятности, в том числе следующими:

1) P | B 1 , 2) P | B 0 , 3) P A | B 1 P A | B 0, 4) P A1 A2 | B P A1 | B P A2 | B .

Пример 1 (извлечение из урны). В урне 10 шаров, среди которых 4 белых и 6 черных. Случайным образом по одному без возвращения из урны извлекаются шары. Пусть Ai ={ i -й извлекаемый шар

белого цвета}. Тогда, поскольку все исходы испытаний (последовательных извлечений) равновозможны, то вычисления возможны по формуле классической вероятности (с учетом происшедших событий):

P A1

4

,

P A2

| A1

3

,

 

P A2

|

 

 

 

4

, P A5 |

 

 

 

A3 A4

 

2

.

 

A1

A1

A2

 

 

 

9

 

10

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 4

Пример 2 (вероятность дожития). Пусть

 

– продолжительность жизни элемента, причем

P t e t ,t 0, 0. Найдем при t

2

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P t2

| t1

 

P t2 t1

 

P t2

exp t2

t1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

P t1

 

 

 

 

P t1

 

 

 

Независимость событий. Формулы умножения вероятностей. Независимые испытания. Независимые события.

События A и B называются независимыми, если условная вероятность события A совпадает с его

безусловной вероятностью: P(A|B)=P(A) или P(B|A)=P(B) ,

или P(AB)=P(A) P(B) .

События A1 , A2 , , An называются независимыми в

совокупности, если для любого

подмножества событий вероятность произведения событий, входящих в это подмножество, равна

произведению вероятностей отдельных событий, т.е. r n,

1 j1 jr n,

Aj1 , , Ajr :

r

 

r

.

 

 

P Ajk

P Ajk

 

 

k 1

 

k 1

 

 

 

Из попарной независимости событий не следует независимость событий в совокупности.