коллок
.pdfПример Бернштейна. Имеется правильная пирамидка, 3 грани которой одноцветные (красная, черная и белая), а 4-я грань трехцветная (красно-черно-белая). В результате бросания может произойти одно из событий: A1 ={выпадет грань, на которой есть красный цвет}, A2 ={выпадет
грань, на которой есть черный цвет}, A3 ={выпадет грань, на которой есть белый цвет}. Вычислим вероятности
P A1 P A2 P A3 |
2 |
; P A1 A2 P A2 A3 P A1 A3 P A1 A2 A3 |
1 |
. |
||
4 |
4 |
|||||
Поскольку |
|
|
|
|||
P A2 A3 P A2 P A3 , |
P A1 A3 P A1 P A3 , |
|||||
P A1 A2 P A1 P A2 , |
P A1 A2 A3 P A1 P A2 P A3 ,
то события попарно независимы, но зависимы в совокупности.
Формулы умножения вероятностей.
1. |
n |
|
P( A1 ) P( A2 ) |
Для независимых событий P Ak |
|
||
|
k 1 |
|
|
2. |
P(AB)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B) . |
|
|
n n
3.P Ak P A1 Ak P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3
k 1 k 2
... P( An ).
| A1 A2 )... P( An | A1... |
An 1 ) . |
Пример 1. Студент знает 10 из 30 вопросов. Определить вероятность получения зачета, если для этого необходимо либо на оба предложенных вопроса, либо на один из них и один дополнительный.
Решение. Обозначим: Aj ={ j -й вопрос студент знает }, j 1, 2,3; B ={ студент получит зачет}. Вычислим искомую вероятность, применяя формулы сложения и умножения вероятностей:
P B P A1 A2 A1 A2 A3 A1 A2 A3 P A1 A2 P A1 A2 A3 P A1 A2 A3
P A1 P A2 | A1 P A1 P A2 | A1 P A3 | A2 A1 P A1 P A2 | A1 P A3 | A1 A2
|
10 |
|
10 1 |
|
10 |
|
20 |
|
|
10 1 |
|
20 |
|
10 |
|
|
10 1 |
. |
|
|
|
30 1 |
30 2 |
|
30 1 |
|
|||||||||||
|
30 30 1 30 |
|
30 |
|
|
30 2 |
Пример 2. В партии 2 дефектных и 8 годных изделий. Случайным образом по одному извлекаются изделия для контроля. Найти вероятность того, что второе извлеченное изделие дефектное. Решение. Обозначим Aj ={ j -е извлеченное изделие дефектное}, j 1, 2, ,10; B ={ второе
извлеченное изделие дефектное}. Вычислим искомую вероятность, применяя формулы сложения и умножения вероятностей:
P B P A1 A2 |
|
A2 P A1 A2 P |
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A1 |
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
P A1 P A2 |
| A1 P |
|
P A2 |
| |
|
|
2 |
|
1 |
|
8 |
|
2 |
|
18 |
|
1 |
. |
|||
A1 |
A1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
9 |
10 |
9 |
90 |
5 |
|
Независимые испытания. Формула умножения вероятностей для н/з испытаний.
Испытания независимые, если исход одного из них не влияет на исход (не связан с исходом) любого другого.
Пусть события A1 , A2 , , An являются результатами различных независимых испытаний. Они
n |
|
n |
являются причинно (физически) независимыми. Тогда P Ak |
P Ak |
|
k 1 |
|
k 1 |
Формальное определение |
независимых испытаний. Пусть вероятностные |
пространства |
||
i , Ai , Pi , i 1, , n соответствуют n различным испытаниям. Если для любых Ai |
Ai i 1, , n |
|||
|
n |
|
n |
|
выполнено соотношение P Ak |
P Ak , то испытания независимы. |
|
||
k 1 |
|
k 1 |
|
Пример 1. В охраняемое помещение можно пройти, преодолев 3 уровня безопасности. Вероятности преодоления каждого из них равны 0,2, 0,1 и 0,05 соответственно. Найти надежность (вероятность безотказной работы) этой системы безопасности.
Пример 2. P A P B 1. Являются ли события A, B независимыми событиями?
P AB P A P B P A B 2 P A B 1 P AB 1 .
Вывод. События A, B независимы.
Пример 3. Отец периодически проверяет дневник сына. 30 дней проверок не было. Возросла ли в этом случае «опасность» проверки дневника?
Указание. Надо сравнить условную и безусловную вероятности.
Формула полной вероятности.
Условие применимости. Известно, что событие А может произойти совместно только с одним из событий H1, H2, …, Hk. События H1, H2, …, Hk образуют полную группу событий.
Тогда, если до проведения испытания известны P(Hi) – априорные вероятности гипотез Hi, и условные вероятности P(A|Hi), то полную вероятность события A можно найти по формуле:
k |
k |
||
P( A) P( AH i ) P(H i ) P( A |
|
H i ). |
|
|
|||
i 1 |
i 1 |
Обоснование формулы: события H j |
– несовместны, поэтому события AH j – несовместны и |
||
k |
|
k |
k |
A AH j . Тогда |
P( A) P( A ) P( A (H1 H 2 ... H k )) P( ( AH i |
)) P( AH i ) . |
|
j 1 |
|
i 1 |
i 1 |
Пример 1. В компании застрахованы 2 клиента. При наступлении страхового случая с вероятностью pi каждому из них независимо от другого будет выплачена страховая сумма в i рублей, i 0,1, . Какова вероятность того, что им будет выплачено m рублей?
Решение. Пусть A |
|
|
H |
j |
|
|
|
|
|
им выплатят m рублей , |
|
|
выплата первому j руб. , тогда |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
P( A) P(H j ) P( A |
H j ) pm j p j |
|||||
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
j 0 |
Пример 2(задача про две урны).
Формула Байеса. В описанных выше условиях стало известно, что событие A произошло. Формула Байеса позволяет найти P(Hj | A) апостериорные вероятности (вероятности по данным эксперимента).
P(H j |
|
A) |
P(H j A) |
|
P(H j A) |
|
|||||
|
P( A) |
k |
|||
|
|
|
|
P( AH i ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
P(H j ) P( A | H j )
k
P(H i ) P( A | H i )
i 1
Пример 1. |
Двурукий бандит – это автомат с двумя ручками, причем вероятности успеха, |
||||
соответствующие нажатию на ту или иную ручку, различны и равны p1, p2 , p1 / p2 1. |
Каждый |
||||
раз игрок |
может нажать лишь |
одну ручку. Найти апостериорные вероятности |
событий: |
||
H1 левая ручка счастливая , H2 |
|
|
. |
|
|
H1 |
|
Решение. Пусть A произошел выигрыш , априорные вероятности P H1 P H2 12 . Тогда
|
|
|
P(H1 A) |
|
|
p |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
P(H1 |
|
A) |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
P( A) |
p1 |
1 |
|
p2 |
1 |
1 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Пример 2 (использование формул полной вероятности и Байеса). Изделие проверяется на стандартность одним из товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. а) Найти вероятность того, что первое изделие в результате проверки будет забраковано. б) Найти вероятность того, что первое изделие проверял второй товаровед, если оно было признано стандартным.
Решение. Определим события: A = {проверяемое изделие будет признано годным}, H1 ={изделие проверит 1-й товаровед}, H2 ={ изделие проверит 2-й товаровед}. По условию
H1 0, 55; H2 0, 45; A | H1 1 0, 9 0,1; A | H2 1 0, 98 0, 02.
Найдем по формуле полной вероятности
A H1 A | H1 H2 A | H2 0, 55 0,1 0, 45 0, 02 0, 055 0, 009 0, 064.
Применим формулу Байеса: |
H2 |
| A |
H2 A | H2 |
|
0, 45 0, 98 |
|
0, 441 |
0, 47; |
|
A |
1 0, 064 |
0, 936 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у больного туберкулезом равна 1 . Вероятность принять здорового человека за больного равна. Доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна . а) Найти вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании. б) Вычислить
найденную |
в пункте |
а) |
вероятность |
|
при |
следующих |
|
числовых |
значениях: |
||||||||||
1 0, 95, 0, 01, 0, 001. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Определим события: |
A |
= |
{обследуемый |
человек |
будет признан больным}, |
||||||||||||||
H1 ={обследуемый человек болен}, H2 ={ обследуемый человек здоров}. По условию |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
H1 ; H2 1 ; A | H1 1 ; A | H2 . |
|
|
|
||||||||||||||
Теперь, используя формулы полной вероятности и Байеса, найдем последовательно |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
H1 A | H1 H2 A | H2 1 1 ; |
|
|
|
|||||||||||||
|
A |
|
|
|
|||||||||||||||
H2 | A |
H2 A | H2 |
|
|
1 |
|
|
|
0, 999 0, 01 |
|
|
|
0, 00999 |
0, 91 |
|
|
||||
A |
|
|
|
|
|
0, 001 0, 95 0, 999 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 1 |
|
0, 01 0, 01094 |
|
|
|
||||||||||||
Пример 4 |
(Закон распределения суммы со случайным числом слагаемых). |
В некоторых |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задачах требуется найти распределение P(S |
x) |
суммы вида S i |
, где число слагаемых |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
X i |
|
|
– случайная величина. Например, |
количество обратившихся |
в страховую фирму, |
|
||||||||||||||||
возмещение, выплаченное i-му клиенту, Sτ сумма всех выплаченных возмещений. При этом |
не |
||||||||||||||||||
зависит от 1, 2 , (число обратившихся клиентов не зависит от величины возмещения). |
|
|
|||||||||||||||||
Строим гипотезы относительно : |
H j j , j 0,1, ; A S x , x . |
Затем |
|||||||||||||||||
вычисляем вероятность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
P(S x) P(S x, j) P(S j x) P( j). |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 4. Схема независимых повторных испытаний
Описание схемы независимых повторных испытаний с двумя исходами: успех и неудача. Вычисление вероятностей наблюдения определенного числа успешных испытаний с помощью формулы Бернулли. Приближенные вычисления вероятностей в схеме независимых повторных испытаний с помощью предельных теорем. Теорема Пуассона. Локальная теорема МуавраЛапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Следствия из интегральной теоремы об относительной частоте случайного события и вероятности наблюдения определенного числа успешных испытаний числа.
Схема независимых повторных испытаний. Формула Бернулли.
Схема испытаний Бернулли. Осуществляется n независимых испытаний, исходом каждого из
которых могут быть одно из противоположных событий А и А (успех или неудача). При этом в любом испытании P A p постоянна, P A 1 p q. Эту модель называют схемой
независимых повторных испытаний Бернулли.
Примеры испытаний Бернулли: страхование клиентов, перевозка штучных изделий, функционирование элементов, рождение детей.
Далее X – число появлений события А в n испытаниях.
Основные вероятностные задачи в схеме Бернулли.
Задача |
1. |
Найти |
P X m Pn m – вероятность m успешных испытаний (биномиальная |
вероятность). |
P m1 X m2 Pn m1 ,m2 – вероятность того, что число успешных |
||
Задача |
2. |
Найти |
испытаний будет лежать в пределах от m1 до m2 . Задачи решаются с помощью формулы Бернулли:
1)Pn m Сnm pm qn m , m 0,1, n;
2)Pn m1 ,m2 Pn m1 Pn m2 .
Схема вывода формулы Бернулли. Пусть Ai = {появление события А в i-м испытании}. Через {i1, i2, .. in} обозначим перестановку чисел 1, 2, …, n. Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn m P |
|
Ai1 |
Ai2 ... Aim |
|
|
im 1 |
|
|
i m 2 |
... |
|
n |
p ... p q ... q Сnm . ■ |
||
A |
A |
A |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
i1 |
im , |
|
|
|
|
n m |
|
|
|
m |
n m |
|||
|
im 1 in |
|
m множителей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Еще одна из задач связана с вычислением наивероятнейшего числа успехов m0 – числа успехов, которому соответствует наибольшее значение вероятности. Наивероятнейшее число успехов определяется путем решения неравенства: np q m0 np p . Количество решений – одно или два.
Приближенные вычисления в схеме Бернулли.
При n нахождение вероятности по формуле Бернулли сопряжено с преодолением проблемы вычислительного характера. Эта проблема решается либо с помощью нормального приближения, либо с помощью пуассоновского приближений. Также полезной оказывается формула Стирлинга.
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
Формула Стирлинга. При n n! |
|
или n! |
2 n nne n e |
n , |
|
n |
|
|
. |
|||||||
2 n |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
12n |
||||||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример. Точное значение 20! 2, 43 1018 ,10! 3628800; |
приближенное |
|
|
значение |
||||||||||||
20! 2, 42 1018 ,10! 3600000. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема Пуассона. Пусть число испытаний неограниченно растет n и p 0 так, что np , 0 . Тогда
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim P (m) |
|
|
e , m 0,1, . |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||||
Поэтому |
|
|
n n |
|
|
|
m! |
|
|
|
|
|
n(n 1) ... (n m 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P (m) |
pmqn m |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(np)m |
|
|
m |
|
|||||
|
|
n(n 1)...(n m 1) |
|
|
(1 p)n m |
e , |
||||||
|
nm |
|
|
m! |
m! |
|||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
Cn |
|
|
|
||||
|
|
A |
|
|
|
Bn |
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поскольку
lim A 1; |
lim B |
m |
|
|
; |
||
|
|||
n n |
n n |
m! |
Следствие. При n и np
m1
Pn m1, m2 m1!
lim |
( p)(n m) |
lim Cn = e n |
e . ■ |
n |
|
m1 1 |
m2 |
|
||
|
|
|
|
e . |
(m |
|
m ! |
||
1)! |
|
|||
1 |
|
|
2 |
Примечание. При конечном n вычисления проводятся по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (m) |
|
e при np. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
m! |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Точность пуассоновской аппроксимации характеризуется величиной np2 . |
|||||||||||||||||||||
Нормальное приближение |
Pn (m) и Pn m1, m2 . Введем обозначения: |
||||||||||||||||||||
|
x |
|
1 |
|
|
е |
х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
|
|
|
2 |
плотность стандартного нормального распределения; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
(t)dt |
|
|
|
e |
|
dt функция распределения стандартного нормальной |
|||||||||||||
2) |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
величины. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Свойства функций x , x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1) |
x x – четная функция, x |
– убывает относительно |
|
x |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
2) |
x возрастает от 0 |
до 1. |
|
|
|
|
3)x 1 x (используется для расчета при x < 0).
4)(0) = 0,5.
5)При х > 4,0 x 1,0000 (точность вычисления не превышает одну десятитысячную).
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. |
Пусть |
X – |
число появлений события A в n |
|||||||||||||
независимых повторных испытаниях, m1 |
и m2 |
изменяются таким образом, что значения |
||||||||||||||
|
|
mi |
np |
|
,i 1, 2, |
остаются ограниченными. Тогда при n |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
npq |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X np |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
P x |
x |
(x ) (x ). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
npq |
2 |
|
2 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
np |
m |
np |
||||||
Следствие 1. P |
m , m |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
n |
1 2 |
|
|
npq |
|
|
|
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно при n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
m np |
|||
P |
m , m |
P m X m |
P |
1 |
|
||
|
|
||||||
|
|
|
|||||
n |
1 2 |
1 |
2 |
|
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|
|
x np |
|
m np |
m np |
m np |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
npq |
|
|
npq |
|
|
|
|
npq |
|
|
|
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие 2 (оценка вероятности отклонения частости от вероятности).
|
|
|
|
m A |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||
|
P |
|
p |
2 |
|
|
1. |
|
|
||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pq |
|
|
|
||||||||||
Примечание. Считается, что для вычисления вероятностей вида |
P X m лучше использовать |
||||||||||||||||||||||
поправку на дискретность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 np |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
P X m |
m |
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
npq |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
При np3 / 2 1,07 ошибка такой аппроксимации не превышает 0,05. В таком случае |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m 0,5 np |
|
m 1 |
0,5 np |
||||||||||||||||
P |
m , m |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n |
1 2 |
|
|
|
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
npq |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если в схеме независимых повторных испытаний число
испытаний неограниченно растет ( n ), а m изменяется таким образом, что m np остается npq
ограниченным, то
|
|
|
P n (m) |
|
|
1 |
|
|||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
или P n (m) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
m np |
|
npq |
|
|||||||
n |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
npq |
npq |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. При ограниченном x |
|
|
m |
|
||||
m np x |
|
, |
n m nq x |
|
, |
p, |
||
npq |
npq |
|||||||
n |
||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
m np |
||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
||||
|
npq |
|
|
|
|
|
|
n m q. n
P |
m |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
pmqn m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
m! n m ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nne n e n |
|
pmqn m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 m |
mme m e m |
2 n m n m n m e n m |
|
e n m |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nn e pmqn m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 m |
mm |
|
|
2 n m n m n m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
m |
|
|
|
|
n m |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
nn pmqn m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n |
m |
|
n m |
|
mm n m n m |
|
|
|
npq |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
nq |
n m |
|
|
ln A ln |
np |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
m |
|
n m |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
np |
|
nq |
|
||
m ln |
|
|
n m ln |
|
|
|
|
||||
|
m |
n m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m ln 1 |
|
|
|
|
|
npq |
n m ln 1 |
|
|
|
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
n m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
m |
|
|
|
|
npq |
|
|
npq o |
|
|
|
|
|
n m |
|
|
|
npq |
|
|
|
|
|
npq o |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n m |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n m |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
npq o 1 |
|
x2npq m n m |
o 1 |
|
|
|
|
x2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
|
npq |
|
|
npq x |
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. ■ |
|||||||||||||||
|
|
|
2 n m |
|
2m n m |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рекомендации по выбору пуассоновского или нормального приближения. Считается, что n
при n 50 (еще лучше, если |
n 100). Если выполняются условия npq > 9 и |
1 |
|
p |
n |
|
, то |
|
n 1 |
n 1 |
|||||||
|
|
|
|
используется нормальное приближение. Во всех остальных случаях – пуассоновское приближение.
Пример 1 (использование локальной теоремы Муавра-Лапласа). Анализ итогов года показал,
что лишь 20% держателей страховых полисов потребовали возмещения страховых сумм. Найти в этих условиях вероятность того, что из 60 клиентов, вновь заключивших договор страхования, 15 клиентов также потребуют возмещения страховых сумм.
Решение. В условиях примера: испытание – страхование клиента, A ={наступление страхового события для отдельного клиента}, X – число страховых событий на 60 клиентов. Тогда
p 0, 2; n 60; |
np 60 0, 2 12; |
|
npq 60 0, 2 0,8 9, 6 9; |
||||||||||||
X 15 |
|
1 |
|
15 12 |
|
|
|
1 |
0, 97 |
|
0, 334 |
0,108. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3,1 |
|||||||
9, 6 |
9, 6 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3,1 |
|
|
Пример 2 (использование интегральной теоремы Муавра-Лапласа). Для мужчины, дожившего до 30-летнего возраста, вероятность смерти на 31-м году жизни равна 0,005. Застрахована группа в 10000 человек 30-летнего возраста, причем каждый застрахованный внес в качестве взноса 1,2 рубля, В случае смерти застрахованного страховая компания выплачивает наследникам 100 руб. Какова вероятность того, что к концу года: а) компания окажется в убытке; б) чистый доход компании будет не менее 9000 рублей; в) чистый доход компании будет в пределах от 4000 до 5500 рублей.
Решение. В условиях примера: испытание – страхование клиента, A ={смерть клиента}, X – число умерших клиентов из 10000 застрахованных. Тогда
|
|
p 0, 005; n 10000; np 10000 0, 005 50; npq 50 0, 995 49, 75; |
|||||||||
а) 12000 100 X 0 X 120 121 X 10000 |
|
||||||||||
10000 50 |
121 50 |
|
1411 10 1.0000 1.0000 0 |
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
49, 75 |
|
49, 75 |
|
|
|
|
б) 12000 100 X 9000 |
|
|
|
X 30 |
|
|
|
0 X 30 |
|
|
30 50 |
|
|
0 50 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
49, 75 |
|
|
49, 75 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,83 7, 09 1 0,9975 0 0, 0025 ;
|
|
|
80 50 |
|
65 50 |
|
|||||||
в) 4000 |
12000 100 X 5500 65 |
X 80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
49, 75 |
49, 75 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4, 25 2,13 1, 000 0,949 0, 001. .
Пример 3 (использование теоремы Пуассона). В районе проживают 1000 человек. Каждый из них независимо друг от друга с вероятностью 0,002 посещает аптеку. Найти вероятности событий: B ={в аптеку обратятся 3 человека}, C ={в аптеку обратятся менее трех человек}, D ={в аптеку
обратятся хотя бы 2 человека}, E ={в аптеку обратятся от двух до трех человек}. |
|
|||||||||||||||||||
Решение. В условиях |
примера: |
испытание |
– проживание отдельного человека в |
районе, |
||||||||||||||||
A ={обращение гражданина в аптеку}, X – |
суммарное число обращений в аптеку |
граждан |
||||||||||||||||||
проживающих в районе. Тогда |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
p 0, 002; n 1000; |
np 1000 0, 002 2; |
npq 2 0, 998 1.996 9. |
|
||||||||||||||||
Воспользуемся в вычислениях приближением Пуассона: |
|
|
||||||||||||||||||
(B) X 3 |
23 |
|
e 2 |
0,180; |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|||||
(C) X 3 ( X 0) ( X 1) ( X 2) |
|
|||||||||||||||||||
|
20 |
|
|
e 2 |
|
21 |
|
e 2 |
22 |
e 2 0,135 0, 271 0, 271 0, 677; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
0! |
|
|
|
|
1! |
2! |
|
|
|
|
|
|||||||||
(D) X 2 1 X 2 1 ( X 0) ( X 1) |
|
|||||||||||||||||||
1 |
20 |
|
e 2 |
|
|
21 |
e 2 1 0,135 0, 271 0, 594; |
|
|
|||||||||||
|
1! |
|
|
|||||||||||||||||
0! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(E) 2 X 3 ( X 2) ( X 3) |
|
|
||||||||||||||||||
|
22 |
e 2 |
|
23 |
|
|
e 2 0, 271 0,180 0, 451. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2! |
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Локальная теорема для арифметического (решетчатого) распределения.
Существует обобщение локальной теоремы Муавра-Лапласа.
Опр. Случайная величина X имеет решетчатое распределение, если при некотором h 0P X a kh 1. Наибольшее такое h называется шагом распределения.
k
Локальная теорема. Пусть X n – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин (НОРСВ), имеющих арифметическое распределение с шагом h , причем
существуют M X1 a, D X1 b2.
P X1 X n
Тогда при |
m na |
cb |
n, где c – некоторая константа: |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
m na |
2 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
exp |
2nb2 |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|||||
b |
|
2 n |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 5. Общие сведения о случайной величине
Интуитивное понятие случайной величины. Случайная величина как измеримая функция. Закон распределения случайной величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Теорема Лебега о разложении функции распределения. Дискретные, сингулярные и абсолютно непрерывные случайные величины. Плотность распределения вероятностей и ее свойства. Содержательные примеры случайных величин смешанного типа (пример из актуарной математики).
2.1. Основные понятия.
Далее испытание заключается в измерении (наблюдении) некоторого числового показателя,
имеющего случайную природу; ,A,P – заданное вероятностное пространство, а ,B
– вещественная прямая с борелевской -алгеброй B .
Определение (содержательное). Числовая величина , , определенная на
множестве элементарных событий, значение которой зависит от случая и непредсказуемо до завершения испытания, называется случайной величиной.
Случайные величины обозначают X, Y, Z , … или , , , . Конкретное (возможное) значение
с.в. будем обозначать x, множество всех возможных ее значений – X .
Опр. Если X - дискретное множество, то – дискретная случайная величина (ДСВ).
Примеры ДСВ. Количество произошедших за день правонарушений; количество обращений на станцию скорой помощи за определенный промежуток времени.
Опр. Если X – непрерывная область, то - непрерывная случайная величина (НСВ). Строгое определение НСВ будет дано позже через понятие плотности распределения.
Примеры НСВ. Доходы, расходы сырья, концентрация вещества, отклонение размера детали от номинала, температура воздуха в определенный день года; темп инфляции за месяц; масса мешка с сыпучим грузом.
ДСВ каждое из возможных значений принимает с положительной вероятностью. НСВ каждое конкретное значение принимает с нулевой вероятностью. Если случайная величина обладает обоими свойствами, то это случайная величина смешанного типа.
Определение (формальное). Действительная функция , |
определенная на измеримом |
||||
пространстве ,A |
называется A-измеримой или случайной |
величиной, если для любого |
|||
B B |
: B A, т.е. прообраз 1 B является измеримым множеством в . |
||||
Замечание. |
Если B ,B |
- две системы подмножеств, |
A B f 1 A B , то функция |
||
|
|
|
|
1 |
2 |
y f x – B ,B |
-измерима. |
|
|
Случайная величина исчерпывающим образом описывается посредством (закона) распределения вероятностей.
Примечание 1. Для того, чтобы была случайной величиной, необходимо и достаточно,
чтобы для любого x : x A. Вероятностную меру |
P , определенную на |
,B с помощью |
|
P B P 1 B P : B , |
|
называют распределением вероятностей случайной величины . Часто вместо того, чтобы задавать вероятностную мерусначала на ,A , ее сразуопределяют на ,B .
Закон распределения случайной величины – это множество возможных значений случайной величины и распределение вероятностей на этом множестве.
Распределение вероятностей может быть задано с помощью функции распределения (ф.р.), таблицы распределения или формулы, плотности, редко графически.
Примечание 2 (некоторые свойства измеримых функций).
1. Измеримая функция от измеримой функции есть измеримая функция.
Следствие. Борелевская функция от -измеримой числовой функции -измерима. Непрерывная функция от -измеримой числовой функции -измерима.
2. |
Действительная функция f |
|
x |
|
измерима тогда и только тогда, когда |
|
x: |
f |
|
x |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
для |
|||||||||
любого c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Сумма, разность, произведение двух измеримых функций измеримы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
Предел сходящейся при каждом x X последовательности измеримых функций измерим. |
|||||||||||||
Пример 1. Показать, что индикатор случайного события |
A, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
I A |
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
I A; I A |
A, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
является случайной величиной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Для любого |
x 0 |
: I |
A; |
|
A, при любом |
0 x 1 |
||||||||||||
|
|
|
x |
|||||||||||||||
: I A; x |
|
A, при любом 1 x |
: |
I A; x A. |
|
|||||||||||||
A |
|
|||||||||||||||||
При этом I A; 1 , I A; 0 – события на : |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
I A 1 1 I A 1 |
|
|
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
Пример 2. Определим , |
0;1 ;B=B0;1 . Тогда |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
x 0, |
|
|
|
|
: |
|
|
|
x : x |
|
0,x |
, 0 x 1, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
Вывод. Случайную величинуможно сразуопределять на числовой прямой.
2.2. Функция распределения случайной величины (ф.р.)
Ф.р. позволяет задать закон распределения любой с.в.
Опр. Функцией распределения с.в. называется числовая функция
заданная выражением F x P x .
Ф.р. F x определяет вероятность попадания с.в. левее точки x.
Основные свойства ф.р.
1. 0 F x 1 |
x . |
2.F 0, F 1.
3.Непрерывна слева.