- •2.6. Линейное программирование
- •Построить самостоятельно
- •1) Построить область планов задачи лп;
- •3) Передвигать параллельно эту прямую до тех пор, пока она не будет пересекать область допустимых планов задачи лп.
- •2.7. Задача об оптимальном плане выпуска стульев
- •2.7.1. Постановка транспортной задачи
- •Найти такие неотрицательные значения переменных хij , которые минимизировали бы функцию (2.48) и удовлетворяли бы ограничениям (2.49) и (2.50).
2.7. Задача об оптимальном плане выпуска стульев
Суть задачи. Мебельная фабрика может выпускать стулья двух типов ценою в 8 и 12 условных единиц (у.е.1[15]). Под этот заказ выделены материальные и людские ресурсы. Кроме того, известно, сколько досок, ткани и времени идет на изготовление каждого стула:
Стул |
Расход досок, м |
Расход ткани, м2 |
Расход времени, чел.-час. |
Первый |
2 |
0.5 |
2 |
Второй |
4 |
0.25 |
2.5 |
Ресурс |
490 |
65 |
320 |
Спрашивается, как нужно спланировать производство стульев, чтобы наделать их либо количеством, либо ценой поболее. Это и отображено в отчете о решении задачи на рис. 2.9.
Рис.2.23
2.7.1. Постановка транспортной задачи
Предположим, что некоторая компания имеет 4 завода, расположенных в разных пунктах (обозначим А, В, С, D). Необходимое сырье для выпуска продукции компания содержит на 3-х разных складах (обозначим 1, 2, 3). Известно, какое количество сырья требуется каждому заводу, например, в течение месяца. Заводу А необходимо 400т, В — 900т, С — 200т, D — 500т. Всего нужно 2000т. Также известно, что на первом складе находится 500т сырья, на втором — 700т, па третьем — 800т, т. е. общее количество — 2000т. И, наконец, существует информация о стоимости перевозки 1т сырья с любого склада на любой завод. Эти данные наглядно можно изобразить в виде матрицы
j A B C D
I
II
i III
Каждый элемент матрицы показывает стоимость перевозки одной тонны с соответствующего склада (строка матрицы) на конкретный завод (столбец матрицы). Так, например, число 10, стоящее во второй строке и в третьем столбце, показывает, что перевозка одной тонны со второго склада на завод С обойдется компании в $10. Так как запасов сырья столько же, сколько требуется заводам, то можно удовлетворить все потребности и, очевидно, существует много способов откуда, как и куда доставить это сырье.
Менеджер обязательно задастся целью: а как надо осуществить все перевозки, чтобы их общая стоимость была наименьшей? Он может потратить много времени, перебрав все возможные варианты, а может и использовать научный подход.
Давайте попробуем сформулировать данную проблему на языке математики. Рассматриваемая реальная ситуация очень напоминает нам конкретные ситуации, которые мы сводили к задачам ЛП.
Прежде всего нужно ввести переменные задачи. Обозначим через хij — количество сырья, которое перевозится из i — ого склада на j — ый завод. В нашем случае i = 1,2, 3; j = А, В, С, D. Так, например, x2B — это количество тонн сырья, перевозимое со второго склада на завод В.
Подсчитаем стоимость перевозки всего сырья, например, с первого склада:
Аналогичным способом вычисляется стоимость перевозок и для других складов. Теперь ясно, как подсчитать стоимость всех перевозок, которую обозначим через Z
(2.48)
Функция Z есть не что иное, как целевая функция, которую нужно минимизировать и она линейная.
Перейдем к ограничениям. По условиям задачи известно, что с каждого склада должно быть вывезено все сырье. Это значит, что сумма всех хij (для каждой i — той строки) должна быть равной количеству сырья, находящемуся на i — ом складе, т.е.
(2.49)
Кроме того, известно, что на каждый завод должно быть завезено определенное количество сырья, т.е.
(2.50)
Итак, мы имеем 3+4 = 7 ограничений и 3 • 4 = 12 переменных. Конечно, нужно учесть тот факт, что все хij не могут быть отрицательными. Таким образом, исходная проблема может быть сформулирована в форме задачи ЛП: