3. Организация и планирование эксперимента

Основные вопросы

3.1. Основные понятия и определения

3.2. Место планирования эксперимента в процедуре идентификации технических систем

Идентификацией называется процедура построения оптимальной в определенном смысле математической модели объекта (явления) по реализациям его входных и выходных сигналов.

В зависимости от априорной информации об объекте различают задачи идентификации в узком и широком смысле. Задача идентификации в узком смысле состоит в оценивании параметров объекта. При этом априорная информация об объекте достаточно велика, и известна структура системы, задан класс моделей, к которому данный объект относится. Степень информированности экспериментатора относительно зависимости функции отклика от параметров y(x) характеризуется тремя основными уровнями.

1. Вид функции y(,)известен. В этом случае задача поиска математической модели сводится к определению неизвестных параметров этой функции

(3.1)

2. Известно, что функция y(,)cовпадает с одной из функций списка

. (3.2)

Требуется определить, какая из функций является истинной и найти неизвестные параметры. В этом случае планируется так называемый дискриминационный эксперимент.

3. Вид функции y(,)неизвестен. В этом случае решается задача идентификации в широком смысле.

Наиболее благоприятен для экспериментатора случай, когда имеется информация об объекте, соответствующая первому уровню.

Планирование экспериментов на этом уровне началось развиваться примерно в середине 60-х годов ХХ века и к настоящему времени накоплен достаточно большой опыт, имеются разработанные экспериментальные планы для различных типов регрессионных моделей. При идентификации в широком смысле приходится предварительно решать большое число дополнительных задач. К этим задачам относятся: выбор структуры системы и задание вида математической модели, оце­нка степени стационарности, линейности, действующих факторов и т.д.

Структура идентификации в наиболее общем случае имеет следующий вид:

а) проведение оценочных экспериментов;

б) регрессионный анализ (выбор вида уравнения регрессии);

в) планирование экспериментов;

г) проведение экспериментов;

д) оценка коэффициентов модели (параметрическая идентификация);

е) проверка и подтверждение модели (диагностическая проверка);

ж) использование модели по ее назначению.

На первом этапе эксперимент проводится обычно традиционным способом однофакторного эксперимента и на основании однофакторных зависимостей выдвигается гипотеза о модели объекта (явления). Возможен переход сразу к этапу б) в случае наличия априорной информации о модели или выработки соответствующих гипотез относительно вида модели.

Задача регрессионного анализа – установить вид модели, число входных воздействий, определяющих выход системы, определение доверительных интервалов для оценок коэффициентов модели.

Под собственно планированием эксперимента понимается процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и до­статочных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

В рамках теории планирования эксперимента (ТПЭ) рассматривают две задачи:

1. Определение экстремальных условий, т.е. значений х_j, определяющих экстремум функцииy(,). Такая постановка характерна для численного решения задач многомерного поиска. Например, при проектировании органа управления летательным аппаратом задача кон­структора найти такой набор конструктивных параметров при наличии определенных ограничений, который обеспечит максимальную его эффективность, минимальный вес, минимальные габариты и т.д.

2. Построение модели объекта. В дальнейшем мы будем рассматривать аппарат ТПЭ применительно к этой задаче.

3. Функция отклика. Факторы и требования к ним

Если математическая модель объекта неизвестна, его рассматривают, как «черный ящик» (рис. 3.1) На вход объекта воздействуют факторыx₁…x_k,задаваемые в процессе исследования.

Рис.3.1. К постановке задачи о «черном ящике».

На выходе объекта наблюдают случайные величины y₁...y_n,которые являются исследуемыми характерис­тиками (параметрами) объекта. Случайные неуправляемые факторы вызывающие разброс выходных параметров объектаy₁...y_n.

Объект исследованиядолжен удовлетворять требованиювоспроизводимости, т.е. многократно повторенные опыты должны давать результаты с разбросом значений, не превышающих некоторую заданную величину. Объект должен бытьуправляемым(следует помнить, что нет абсолютно управляемых объектов). На реальный объект действуют как управляемые, так и неуправляемые факторы. Последние влияют на воспроизводимость результатов эксперимента и могут служить причиной ее нарушения.

Фактором называют независимую переменную величину, влияющую на функции отклика y₁...y_n. Каждый фактор имеет область определения - совокупность всех значений, которые может принимать фактор. Область определения всех факторов называется факторным пространством.

При исследовании процесса необходимо учитывать все существенныефакторы. Если по какой-либо причине влияние некоторых факторов невозможно учесть в эксперименте, то эти факторы должны быть стабилизированы на определенных уровнях в течение всего эксперимента. Если число факторов велико, то необходимо отсеять те факторы, которые оказывают незначительное влияние на параметр оптимизации. Отсеивание несущественных факторов производят на основеаприорного ранжированияили с помощью постановки так называемых отсеивающих экспериментов.

Ранжированиефакторов означает расположение факторов в упорядоченный ряд, например, в порядке убывания их влияния на функцию отклика.

Уровнями варьированияфакторов называют значения факторов, которые они могут иметь при проведении эксперимента. Уровень варьирования каждого фактора не должен выходить за пределы области определения фактора. Факторы должны быть:

1. управляемыми;

2. непосредственно воздействующими на объект исследования (трудно управлять фактором, который является функцией других факторов);

3. совместимыми, т.е. все комбинации уровней факторов должны быть осуществимы и безопасны;

4. независимыми, т.е. позволяющими экспериментатору устанавливать требуемые уровни любого фактора независимо от уровней других факторов.

Под математической модельюпонимают видфункции отклика

, (3.3)

связывающей выходной параметр объекта с факторами. Выбор модели зависит от задачи исследования и от предъявляемых требований к модели. Наиболее простой моделью является полином, линейный относительно неизвестных коэффициентота, которые определяются при обработке результатов эксперимента. Это обстоятельство позволило развиться аппарату теории планирования экспериментов именно для полиномиальных моделей. Для других моделей планирование требует более сложных специальных подходов.

Различают искомую функцию отклика, которая для двух факторов, например, имеет вид

(3.4)

и экспериментально полученную,

, (3.5)

в которой коэффициенты b_iявляются оценками коэффициентов искомой функцииβ_i. Полином включает линейные относительно факторов слагаемые, эффекты взаимодействия и слагаемые второго и более высоких порядков.

Поскольку существуют ошибки воспроизводимости эксперимента, функцию отклика следует рассматривать как случайную величину, рассеивание возможных значений которой характеризуется дисперсией воспроизводимости. Основное требование, которое предъявляется к модели, заключается в способности модели «предсказывать» значение функции отклика с требуемой точностью для дальнейших опытов. Это означает, что предсказанные по модели значения функции отклика должны отличаться от фактических не более, чем на некоторую наперед заданную величину. Модель, удовлетворяющая этому требованию, называетадекватной.