Лекция-4. Линейное програм­мирование

Линейное программирование (ЛП) — это одна из математических задач оптимизации, которая широко применяется в инженерной деятельности.

Например, при выборе варианта технологического оборудования для изготовления тех или иных деталей желательно обеспечить их минимальную себестоимость [13]. Менеджеры предприятия, производящего несколько видов продукции, должны знать, сколько и какого вида продукции необходимо выпускать, чтобы доход был как можно больше или издержки как можно меньше [11]. С использованием ЛП решаются задачи перевозок, снабжения и многие другие.

4.1. Ограничения и целевая функция задач лп

Все модели ЛП имеют две основные составляющие части: целевую функцию и ограничения.

Целевая функция описывает некоторое количество, которое долж­но быть минимизировано или максимизировано. Например, целевая функция может иметь смысл цены продажи или затрат выпускаемой продукции какого-то предприятия. Возникает естественный вопрос: сколько и какого вида продукции необходимо изготовить предприя­тию, чтобы получить максимальную прибыль, или снизить себестои­мость, время изготовления и т. д. При составлении задачи учитываются также ограничения на функционирование исследуемого объекта.

Пример.

Качество железной руды, добываемой на четырех шахтах, зависит от количества трех основных компонент, которые мы условно обозна­чим через А, В, С. В частности, каждая тонна руды должна содержать по крайней мере 5 кг компонента А, 100 кг компонента В и 30 кг компонента С. Содержание компонентов в руде, добываемой в каждой из шахт, по­казано в таблице 2.12

Анализ приведенных данных показывает, что, например, руда из первой шахты удовлетворяет требованиям по содержанию компонентов А и С, но не удовлетворяет требованиям по содержанию компонента В. Соответствующие выводы можно легко сделать и по остальным шахтам.

Пример задачи ЛП Таблица 4.1

	№ шахты
компоненты руды	1	2	3	4
	содержание компонентов в 1 тонне руды в кг.
А -(5)	10	3	8	2
В-(100)	90	150	75	175
С -(30)	45	25	20	37
Цена руды $	800	400	600	500

Однако, руда из каждой шахты имеет свою цену, а именно:

одна тонна из шахты 1 стоит $800,

из шахты 2 $400,

из шахты 3 $600,

из шахты 4 $500.

Чем должен руководствоваться менеджер предприятия, покупающего руду? Естественно тем, чтобы цена была как можно меньшей и при этом, чтобы руда была необходимого качества. Дан­ную реальную проблему можно сформулировать как математическую задачу.

Обозначим через Х₁ количество руды, которое должно содержать­ся в одной тонне смеси, добываемой из шахты 1. Аналогично: Х₂, — количество руды из шахты 2, Х₃— количество руды из шахты 3, Х₄ — количество руды из шахты 4.

Цена одной тонны смеси будет выражаться целевой функцией:

. (4.1)

Выражение будет определять содержание компонентов А в одной тонне смеси. Так как это количество по условию должно быть не менее 5, то получаем:

(4.2)

Точно также получим:

(4.3)

(4.4)

Необходимо учесть, что вес смеси -1 тонна, т. е.

000 (2.5)

Все величины Х₁ , Х₂ , Х₃ , Х₄ должны быть неотрицательны.

(4.6)

Необходимо найти такие неотрицательные значения Х₁, Х₂, Х₃, Х₄, которые бы минимизировали функцию (2.26) и удовлетворяли бы ограничениям (2.27 -2.31).

Из выше изложенного следует, что задачи линейного программирования — это такие задачи, в которых целевая функция есть линейная функция, а ограничения — линейные равенства или неравенства.

4.2. Общая постановка задач ЛП

Как правило, большинство реальных проблем, которые можно сформулировать как задачи ЛП, имеют дело с достаточно большим количеством факторов. Поэтому приведем формулировку задач ЛП в общем виде, т. е. когда число неизвестных равно n, а число ограни­чений равно m.

Найти такие значения неизвестных х₁, х₂, . . . , х_n, которые бы максимизировали (или минимизировали) целевую функцию

( 2.32)

удовлетворяли бы ограничениям:

,

……………………………………… ( 2.33)

,

( 2.34)

Знак ≤ подразумевает, что ограничения могут иметь вид "=", "≥","≤".

Выражение ( 2.32) - целевая функция задачи ЛП;

Неравенства (2.33) и (2.34) — ограничения задачи ЛП.

Величины С₁, С₂, ..., С_п в выражении (2.32) называются коэффициентами целевой функции;

a_ij (i=1, 2, . . . , m; j=l, 2, . . . , n) — коэффициенты условий (2.33);

b_i — правые части ограничений (2.33);

условия (2.34) — условия неотрицательности.

Соотношение между числом условий т и количеством неизвестных п, как правило, произвольно.

Все ограничения задачи образуют некоторую область в n-мерном пространстве, которую называют областью решений или областью планов задачи ЛП.

Любая точка n-мерного пространства называется решением или планом задачи ЛП, если ее координаты (х₁, х₂, . . . , х_n) удовлетворяют всем ограничениям задачи ЛП.

План называется оптимальным, если его координаты обеспечивают минимум или максимум целевой функции.

Ограничения, имеющие первоначально вид неравенств, можно свести к равенствам добавлением в каждое ограничение новых переменных, число которых равно числу ограничений.

Для иллюстрации этой возможности рассмотрим задачу, в которой ограничения, например имеют вид

,

, (2.35)

.

Правые части всех неравенства превосходят на какую-то неотрицательную величину левые части. Если мы к левым частям добавим новые неотрицательные переменные х₃, х₄ и х₅ соответственно, то при определенных значениях этих неизвестных неравенства станут равенствами, т. е.

,

, (2.36)

В другом примере ограничения имели вид:

,

, (2.37)

,

Здесь уже левые части первых трех неравенств превосходят на ка­кую-то неотрицательную величину правые части. Необходимо от левых частей отнять некоторые неотрицательные переменные х₅, х₆, х₇ такие, что неравенства превратятся в равенства, т. е.

,

, (2.38)

.

Переменные, которые надо прибавить к левым частям неравенств вида «<» или отнять от левых частей неравенств вида «>», чтобы неравенства превратились в равенства, назы­ваются вспомогательными или дополнительными переменными.

Значения дополнительных пере­менных не известны заранее. При вводе дополнительных переменных задача ЛП изменяется, т. к. увеличивается число неизвестных. Эти новые неиз­вестные должны быть введены в целевую функцию. Дополнительные переменные имеют конкретную интерпретацию.

Если ограничения задачи ЛП записаны в виде неравенств, то говорят, что данная задача запи­сана в стандартном виде. Если все ограничения имеют вид равенств, то говорят, что данная задача ЛП представлена в каноническом виде.

Можно использо­вать векторы и матрицы для записи задачи ЛП. Действительно, из коэффициентов ограничений a_ij без труда составляется мат­рица:

(2.39)

Запишем матрицы неизвестных, правых частей и целевой функции, соответст­венно

X = , B = , . (2.40)

Тогда стандартную задачу ЛП можно записать так:

, (2.41)

, (2.42)

,

Задания

1. Предприятие ИВЦ «Техномаш» выпускает два вида огнетушителей – порошковые и аэрозольные. Цифро­вые данные о месячной производительности приведены в таблице. Сколь­ко огнетушителей каждого типа должно производить предприятие в месяц, чтобы прибыль была максимальной?

Цехи предрприятия	Количество нормо-часов для изготовления одного изделия		Максимально возможное количество нормо- часов
	порош- ковые	аэрозоль- ные
Механо-сварочный	26	14	1008
Сборочный	4	3	124
Прибыль за одно изделие	40	30