Уравнение движения и режимы работы электропривода, как динамической системы

Механическая часть электропривода представляет собой систему твердых тел, движущихся с различными скоростями. Уравнение движения ее можно определить на основе анализа запасов энергии в системе двигатель – рабочая машина, или на основе анализа второго закона Ньютона. Но наиболее общей формой записи дифференциальных уравнений, определяющих движение системы, в которой число независимых переменных равно числу степеней свободы системы, является уравнение Лагранжа:

,

где W_k– запас кинетической энергии; – обобщенная скорость;q_i– обобщенная координата;Q_i– обобщенная сила, определенная суммой элементарных работA_iвсех действующих сил на возможных перемещенияхq_i: .

При наличии в системе потенциальных сил формула Лагранжа принимает вид:

,

где L = W_k - W_n- функция Лагранжа, равная разности запасов кинетическойW_kи потенциальной энергииW_n.

В качестве обобщенных координат, т.е. независимых переменных, могут быть приняты как различные угловые, так и линейные перемещения в системе. В трехмассовой упругой системе за обобщение координаты целесообразно принять угловое перемещение масс ₁,₂,₃и соответствующие им угловые скорости₁,₂,₃.

Запас кинетической энергии в системе: .

Запас потенциальной энергии деформации упругих элементов, подвергающихся скручиванию:

.

Здесь М₁₂иМ₂₃– моменты упругого взаимодействия между инерционными массамиJ₁иJ₂, J₂иJ₃, зависящие от величины деформации₁-₂и₂-₃.

На инерционную массу J₁действуют моментыМиМ_с1. Элементарная работа приложенных кJ₁моментов на возможном перемещении_₁.

Следовательно, обобщенная сила .

Аналогично рассчитывается элементарная работа всех приложенных ко 2-й и 3-й массам моментов на возможных перемещениях ₂и₃:, откудаи, откудат.к. ко 2-й и 3-й массам электромагнитный момент двигателя не приложен.

Функция Лагранжа L = W_k - W_n.

Учитывая значения Q₁, Q₂ иQ₃и подставив их в уравнение Лагранжа, получим систему уравнений движения трехмассовой упругой системы, в которойd/dt = p – параметр (аргумент преобразований Лапласа)

;

;

.

Здесь 1-е уравнение определяет движение инерционной массы J₁, 2-е и 3-е уравнения движение инерционных массJ₂иJ₃.

Движение двухмассовой системы при Мс₃= 0,М₂₃= 0J₃ =0 описывается системой:

;

.

Вслучае жесткого приведенного механического звена; . Уравнение движения имеет вид–основное уравнение движения электропривода.

В системе электропривода некоторых механизмов содержится кривошипно-шатунные, кулисные, карданные передачи. Для таких механизмов радиус приведения непостоянен, зависит от положения механизма. Так для кривошипно-шатунного механизма, изображенного на рис. .

Получить уравнение движения в этом случае можно также на основе формулы Лагранжа или на основе составления энергетического баланса системы двигатель – рабочая машина. Воспользуемся последним условием. Пусть J –суммарный приведенный к валу двигателя момент инерции всех жестко и линейно связанных вращающихся элементов, а m – суммарная масса элементов жестко и линейно связанных с рабочим органом механизма, движущаяся со скоростью V. Связь между  и V нелинейная, причем . Запас кинетической энергии в системе:

,

т.к. ,и;

здесь - суммарный приведенный к валу двигателя момент инерции системы.

Динамическая мощность:

.

Динамический момент:

,

или т.к. , то.

Полученные уравнения движения позволяют анализировать возможные режимы движения электропривода как динамической системы.

В электроприводе возможны 2 режима работы: установившийсяипереходный. Причем установившийся режим может быть статическим или динамическим.

Установившийся статический режим электропривода с жесткими связями имеет место в случае, когда ,,. Для механизмов, у которыхМ_сзависит от угла поворота (например, кривошипно-шатунных), даже приистатический режим отсутствует, а имеет место установившийся динамический режим. Во всех остальных случаях, т.е. прииимеет место переходный режим.

Переходным процессом электропривода как динамической системы называют режим его работы при переходе от одного установившегося состояния к другому, когда изменяется ток, момент и скорость двигателя.

Переходные процессы всегда связаны с изменением скорости движения масс электропривода, поэтому всегда являются динамическими процессами.

Без переходного режима не совершается работа ни одного электропривода. Электропривод работает в переходных режимах при пуске, торможении, изменении скорости, реверсе, свободном выбеге (отключение от сети и движении по инерции).

Причинами возникновения переходных режимов являются или воздействия на двигатель с целью управления им изменением подводимого напряжения или его частоты, изменением сопротивления в цепях двигателя, изменение нагрузки на валу, изменение момента инерции.

Переходные режимы (процессы) возникают также в результате аварии или др. случайных причин, например, при изменении величины напряжения или его частоты, обрыве фаз, возникновении не симметрии питающего напряжения и т.п. Внешняя причина (возмущающее воздействие) является только внешним толчком, побуждающим электропривод к переходным процессам.