Задача д5 (тема: “Динамика плоскопараллельного движения твердого тела”)

Барабан радиуса весомимеет выточку (как у катушки) радиуса(рис. Д5.0-Д5.9, табл. Д5). К концам намотанных на барабан нитей приложены постоянные силы и, направления которых определяются углом; кроме сил на барабан действует пара с моментом; когда в таблице, направление момента противоположно показанному на рисунке. При движении, начинающемся из состояния покоя, барабан катится без скольжения по шероховатой наклонной плоскости с углом наклона α так, как показано на рисунках.

Пренебрегая сопротивлением качению, определить закон движения центра масс барабана, т.е., и наименьшее значение коэффициента тренияо плоскость, при котором возможно качение без скольжения. Барабан рассматривать как сплошной однородный цилиндр радиуса.

Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела».

Ответьте на вопросы:

1. Запишите дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

2. В каком случае дифференциальное уравнение вращательного движения вокруг подвижной оси имеет тот же вид, что и уравнение вращательного движения относительно неподвижной оси?

3. На какие простые движения и как раскладывается плоскопараллельное движение тела (кинематика)?

4. Запишите дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела.

5. Какое соотношение связывает угловую скорость катящегося тела и скорость его центра масс при качении без скольжения?

6. В каких пределах может изменяться сила трения при качении тела?

Рис. Д5.0	Рис. Д5.1
Рис. Д5.2	Рис. Д5.3
Рис. Д5.4	Рис. Д5.5
Рис. Д5.6	Рис. Д5.7
Рис. Д5.8	Рис. Д5.9

Таблица Д5

Номер условия	α
	град
0	30	60	0		0
1	30	30		0	0
2	0	30	0
3	30	–	0	0
4	30	90		0
5	0	60			0
6	30	0	0
7	0	60		0
8	30	90	0
9	30	60		0

Динамика плоскопараллельного движения твердого тела (краткие сведения из теории) Плоскопараллельное движение твердого тела – это составное движение. Выбирая за полюс центр масс C тела, раскладываем плоскопараллельное движение на переносное поступательное, при котором все точки движутся как полюс C, и относительное вращательное вокруг оси Cz, проходящей через C перпендикулярно плоскости сечения тела. Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела представляют собой систему уравнений: уравнение (1) движения центра масс и уравнение (2) вращательного движения твердого тела вокруг оси Cz, проходящей через центр масс тела и движущейся поступательно вместе с центром масс. Поэтому второе уравнение совпадает с уравнением вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. , (1) . (2) Проектируя векторное уравнение (1) на взаимно перпендикулярные оси x и y, параллельные плоскости сечения тела, получим уравнения движения тела в координатной (алгебраической форме): , , . Эти уравнения обычно дополняются кинематическими уравнениями, дающими, в частности, соотношение между угловым ускорением  тела и ускорением центра масс тела. Решая эту полученную систему динамических и кинематических уравнений, можно находить как ускорения, так и силы, в зависимости от условий и вопросов задачи (первая и вторая задачи динамики).

Указания. Задача Д5 – на применение дифференциальных уравнений плоскопараллельного движения твердого тела. При составлении уравнений следует, во избежание ошибок в знаках, направить координатную ось x в ту сторону, куда предполагается направленным движение центра барабана, и считать тогда все моменты положительными, когда они направлены в сторону вращения барабана. Если фактически направление движения центра другое, то в ответе получится, но найденное значениебудет верным. Силу трения, когда неясно, куда она направлена, можно направлять в любую сторону (результат от этого не зависит).

Составленные динамические уравнения следует дополнить кинематическими, дающими, в частности, соотношение между и угловым ускорением тела.

Определяя наименьшее значения коэффициента трения, при котором возможно качение без скольжения, учесть, что сила трения не может быть больше предельной, т.е. что , откуда. Следовательно, . Если при расчетах получится , то это означает, что силанаправлена в другую сторону и ; в остальном весь расчет будет верен (N в данной задаче не может получиться <0, так как барабан не отрывается от поверхности).

Пример Д5. Барабан (сплошной однородный цилиндр) радиуса и весомначинает катиться без скольжения из состояния покоя по наклонной плоскости с углом наклона α, на барабан действуют сила, направление которой определяется углом, и пара сил с моментом(рис. Д5).

Рис. Д5

Дано: ,,, , . Определить: –закон движения центра масс барабана; –­ наименьший коэффициент трения, при котором возможно качение без скольжения.

Решение. Барабан совершает плоскопараллельное движение под действием сил , ,, и пары сил, момент которой равен . Так как направление силы трения заранее неизвестно, выбираем его произвольно. Ось x проводим вдоль наклонной плоскости вниз, ось проводим перпендикулярно наклонной плоскости так, чтобы начальное положение центра масс находилось на осиy.

Составляем дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения барабана:

• дифференциальное уравнение движения центра масс в векторной форме:

;

• дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси:

; ; (1)

; ; (2)

• дифференциальное уравнение вращательного движения барабана относительно подвижной оси , проходящей через центр масс и движущейся поступательно вместе с центром масс барабана:

; . (3)

За положительное направление для моментов сил принято направление в ту сторону, куда будет вращаться барабан при движении центра от оси .

В систему уравнений (1)-(3) входят пять неизвестных: ,,, N, .Дополним эту систему двумя кинематическими уравнениями; для этого выполним кинематические расчеты. Так как в задаче , то

. (4)

Далее установим соотношение между и. Барабан катится без скольжения по неподвижной плоскости, поэтому (см. рис. Д5), следовательно, точка B является мгновенным центром скоростей барабана. Тогда

, , или

(5)

Подставляя кинематические уравнения (4), (5) в систему (1)-(3) и разделив уравнение (3) на R, получим

; (6)

; (7)

. (8)

В уравнениях (6)-(8) остались три неизвестные ,N, .

1) Определяем закона движения центра масс .

Сначала найдем .Для этого сложим почленно равенства (6) и (8), тем самым исключив неизвестную :

Подставляя численные значения, найдем

. (9)

Интегрируя уравнение (9), получим

; (10)

. (11)

Начальные условия: , (так как движение начинается из состояния покоя), (так как осьy проходит через начальное положение точки ). Подставляя эти начальные условия в (10) и (11), получим: ,. Окончательно находим следующий закон движения центра масс:

.

2) Определение минимального коэффициента трения , при котором возможно качение барабана без скольжения.

Сила трения должна удовлетворять условию

. (12)

Найдем нормальную реакцию N из уравнения (7):

.

. (13)

Значение проще всего найти из уравнения (8), заменив в нем его значением (9). Получим

.

Отсюда

. (14)