Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

pdf математика / Теория вероятностей в примерах и задачах

.pdf

Скачиваний:

145

Добавлен:

29.03.2015

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

а условное математическое ожидание — формулой

		+∞
+∞		∫ yfXY (x,y)dy
M(Y \| X = x) = ∫	yfY \|X =x (y)dy =	−∞	.	(3.92)
M(Y \| X = x) = ∫	yfY \|X =x (y)dy =	+∞	.	(3.92)

−∞	∫ fXY	(x,y)dy
	∫ fXY	(x,y)dy
	−∞

Рассматривая условную плотность fY |X (y) как случайную величину, плотность распределения которой определяется при каждом y формулой (3.91), получим

+∞
M(Y \| X) = ∫ yfY \|X (y)dy .	(3.93)
−∞
Справедливы следующие результаты:
P{Y = yi } = M(P{Y = yi \| X = xj }) (для дискретных случайных величин);	(3.94)
fY (y) = MfY\|X (y) (для абсолютно непрерывных случайных величин);	(3.95)
формула полного математического ожидания:
MY = M[M(Y \| X)].	(3.96)
Справедлива также формула для дисперсии:
D(Y ) = M[D(Y \| X)]+ D[M(Y \| X)],	(3.97)
где условная дисперсия определяется формулой
D(Y \| X) = M {[Y −M(Y \| X)]2 \| X}.	(3.98)

305. В условиях задачи 276 найти условный закон распределения компоненты X при условииY = 0 .

РЕШЕНИЕ. Условный закон распределения случайной величины X при условии Y = 0 получа-

ем с помощью

формулы

условной

вероятности:

P{X = xi |Y = 0} =

P{(X =xi )∩(Y =0)}

, т. е.

P{Y =0}

P{X = −1 |Y = 0} =

P{(X =−1)∩(Y =0)}

= 0 , P{X=0|Y =0} =

P{(X =0)∩(Y =0)}

0,1

, P{X=1|Y =0} =

P{Y =0}

0,5

P{Y =0}

0,5

P{(X =1)∩(Y =0)}

0,4

. Таким образом,

условный закон распределения случайной величины X

0,5

P{Y =0}

при условии Y = 0 таков:

X |Y = 0

−1 0

306.В условиях задачи 276 найти условное математическое ожидание компо- ненты X при условииY .

307.Доказать справедливость формул (3.94) – (3.97).

308.Расписать формулу полного математического ожидания (3.96) для дис- кретных и абсолютно непрерывных случайных величин.

§3.7. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Пусть дана дискретная случайная величина X , заданная рядом распределения

X	x1	x2	xn	,	(3.99)

p	p1	p2	pn

и монотонная функция ϕ(x) . Тогда различным значениям X соответствуют различные значения Y = ϕ(X), причём вероятности соответствующих значений X = xi и Y = ϕ(xi ) одинаковы.

Поэтому ряд распределения случайной величины Y = ϕ(X) будет таким:

ϕ(x1) ϕ(x2 )

ϕ(xn )

(3.100)

В случае же, когда функция ϕ(x)

немонотонна, различным значениям X могут, вообще гово-

ря, соответствовать одинаковые значения Y = ϕ(X), при этом для отыскания вероятностей воз-

можных значений случайной величины Y = ϕ(X)

нужно сложить соответствующие вероятности

тех возможных значений X , при которых Y = ϕ(X) принимает одинаковые значения:

y1 = ϕ(x1)

y2 = ϕ(x2 )

yn = ϕ(xn )

∑

(3.101)

i: ϕ(xi )=y1

i: ϕ(xi )=y2

i: ϕ(xi )=yn

Пусть теперь X — непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения

fX (x). Если функция y = ϕ(x)

является строго монотонной и дифференцируемой (при этом су-

ществует обратная функция x = ψ(y)),

то плотность распределения случайной величины X вы-

числяют по формуле

(y) = f (ψ(y)) |ψ′(y)|.

(3.102)

Если же функция y = ϕ(x) немонотонна, то область возможных значений случайной величины X разбивают на участки монотонности функции ϕ(x) , в каждом интервале по формуле (3.102)

рассчитывается соответствующая функция f (i)(y)	= f	(ψ (y)) \|ψ′(y)\|, а затем все они суммируются:
Y	X	i	i
fY (y) = ∑fY(i)(y).			(3.103)
i

Для функции нескольких случайных величин удобнее искать не плотность распределения, а функцию распределения. Например, для функции двух аргументов Z = ϕ(X,Y ) функция рас- пределения вычисляется по формуле

				FZ (z) =	∫∫ fXY (x,y)dxdy .					(3.104)
					ϕ(x,y)<z
В частности, функция распределения суммы двух случайных величин Z = X +Y равна
						z	+∞

Z		∫∫	XY		= x + y,y = u −x} =	∫	∫	XY
Z		∫∫	XY			∫	∫	XY
F (z) =			f	(x,y)dxdy = {заменаu				f	(x,u −x)dx	du , (3.105)

	x +y<z
	x +y<z				−∞ −∞
поэтому					+∞
					+∞
				fZ (z) = ∫ fXY (x,z −x)dx .						(3.106)
					−∞
Формула (3.106) называется формулой композиции или формулой свёртки.
309.	Случайная величина X Exp(µ). Найти распределение случайной вели-

чиныY = e−µX .

РЕШЕНИЕ. По определению функции распределения FY (y) = P{Y < y} = P{e−µX < y} =


	0,	y<0,
	0,	y<0,
				{	µ }		{		µ }
				{	µ }		{		µ }
		0	y<1, Учитывая, что P{−µX<ln y}=P X >−		1				1
= P{−µX<lny},		0	y<1, Учитывая, что P{−µX<ln y}=P X >−			lny	=1−P X	−		lny

	1,	y	1.
	1,	y	1.


				1					y<0,
				1				0,	y<0,
X ( µ		)	−µ −		lny		Y
			−µ −		lny

=1−F −	1			µ						y<1, т.
				µ				(y) = y,	0

		lny =1− 1−e				=y , получаем окончательно F

									y	1,
								1,	y	1,

=1−P {X<−µ1 lny}=

е. Y R(0;1).

310.Случайная величина X имеет строго возрастающую функцию распреде- ления F(x). Найти распределение случайной величиныY = F(X).

311.Случайная величина X N(0;1). Найти плотность распределения слу- чайной величиныY = X 2 (т. е. Y χ12 ).

РЕШЕНИЕ. По определению функции распределения,

y −0

−

−0

F (y)

= P{Y < y} = P{X

< y} = P{ | X |< y} = P{ − y < X < y}

= Φ

−Φ

−

= Φ

(

y ) −Φ

(− y ) = 2Φ

(

y ) =

∫

2 dt = 2

∫

2 dt +

−1

∫

2 dt

−1.

2π

−∞

При этом плотность распределения случайной величины Y по свойству (3.27) равна

′

−

(y) = F ′

(y) =

∫

2 dt −

2π

2 y

y 2π

−∞

312. Случайная величина X

имеет плотность распределения fX (x). Найти

плотность распределения случайной величиныY = |1 −X|.

РЕШЕНИЕ. Решение сведём в таблицу:

fX (x) y = ϕ(x)

ψ (y), x = 1

ψ (y)

|ψ2(y)| = |ψ2(y)|

fY (y) = ∑fX (ψi(y)) |ψi′(y)| i

fX (x)

y= |1 −x |

x1 = 1 −y x2 = 1 + y

fY (y) = fX (1 −y) + fX (1 + y), y 0.

При y < 0 fY (y) = 0 , так как Y =|1 −X| 0 .

313. Случайная величина X R(−π2 ; π2 ). Найти плотность распределения слу-

чайной величиныY = cosX .

314. X1,X2,…,Xn — независимые случайные величины, равномерно распреде-

лённые на отрезке [0; 1]:					Xi R(0;1), i = 1,2,…,n . Найти функцию распределения
случайной величины X = max{X1,X2,…,Xn }.
РЕШЕНИЕ.	FX (x) = P{X<x} = P{max{X1,X2,…,Xn }<x} = P{(X1<x)∩(X2<x)∩ ∩(Xn<x)} =
								0,	x < 0,
		n				n
		n				n
= {независимость} =		∏	P{X	i	< x} =	∏	Xi	n	, x [0; 1],
		∏		i		∏	Xi
							F (x)	= x
		i=1				i=1		1,	x > 1.

315. X1,X2,…,Xn			— независимые случайные величины, каждая из которых
имеет плотность распределения f							(x) =		x [0; 1], Найти плотность распреде-
имеет плотность распределения f							(x) =	ax,	x [0; 1], Найти плотность распреде-
								0,	x [0; 1].

ления случайной величины X = min{X1,X2,…,Xn }.
316. Доказать, что F					= T2 .
			1k		k

	317.										Случайные величины																																			X1 N(a1, σ1), X2 N(a2, σ2).																																																													Найти закон рас-
пределения случайной величины X = X1 + X2 .
		РЕШЕНИЕ.																Математическое																											ожидание																			суммы															a = MX = M(X1 + X2) = MX1 + MX2 =
= a				1			+ a			2		,		σ2 = DX = D(X																		1			+ X						2			) = DX								1		+ DX										2			+ 2 cov(X															,X					2			) = σ2										+ σ2								+ 2ρσ σ												2	.			Применим
				1						2																						1									2											1												2																1							2										1									2										1				2
формулу композиции (3.106) к двумерной нормальной случайной величине (3.85):
																																																						+∞
																																			fX (x) = fZ (z) = ∫ fX1X2 (x1,x −x1)dx1 =
																																																						−∞																																																															2
																																														1												−a							2							(x					−a					)(x−x											−a					)					x−x								−a						2
																																														1							x		1			−a					1									(x					−a					)(x−x											−a					)					x−x						1		−a				2
																																																							1								1											1					1												1					2													1						2
																																	+∞ −																																		−2ρ																																	+
																																	+∞ −																																		−2ρ																																	+
																							1																											2
																							1																											2							σ																									σ			σ																							σ
																																												2(1−ρ													σ																									σ			σ																							σ
													=																						∫			e						2(1−ρ							)								1																									1				2																						2
													=			2π 1 −ρ2																			∫			e																																																																																	dx1 .
																2π 1 −ρ2												σ1σ2 −∞
		При замене u = x1 −a1, v = x −a , v−u=x−x1−a2 ,																																																												а числитель показателя экспоненты (без зна-
																																																																						x			1	−a				1		2													(x			1	−a					1		)(x−x							1		−a			2		)			x−x						−a	2		2
ка											«минус»)																	запишется																									так:																				1					1						−2ρ												1						1									1					2			+						1			2			=
ка											«минус»)																	запишется																									так:																															−2ρ																																			+												=
																																																																									σ																															σ			σ																		σ
																																																																									σ			1																												σ			σ	2																	σ	2
																																																																												1																													1			2																		2
		u2											u				v−u							(v−u)2													1								2		2																										2											2		2
=							−		2ρ													+									=											u				σ			− 2uv(ρσ1σ2 + σ1 ) + v																																				σ1							=
=		σ			2		−		2ρ				σ				σ					+				σ		2			=				σ	2		σ	2			u				σ			− 2uv(ρσ1σ2 + σ1 ) + v																																				σ1							=
		σ			1								σ	1			σ		2							σ		2							σ	1		σ	2
					1									1					2									2								1			2
																															2							2				2																2																																																										2							2
															vσ					(ρσ					+			σ	)								v σ								(ρσ					+ σ						)																																							vσ					(ρσ								+ σ							)							v	2
					1										vσ					(ρσ			2		+			σ	)								v σ					1			(ρσ			2		+ σ						)											2 2										1																		vσ					(ρσ						2		+ σ							)							v							2
																		1					2					1														1						2						1													2 2																															1								2							1																2

=									uσ −																								−																												+ v σ											=												uσ −																																			− (1								−ρ ) .
			2					2																																								2																						1							2				2																																										2
																																																2																						1																																																					2
	σ					σ																σ																																																					σ				σ																										σ
	σ					σ		2														σ																								σ																													σ				σ		2																								σ																	σ
			1					2																																						σ																															1				2																															) 2										σ
																																																																																														vσ					(ρσ						2	+σ						) 2
																																																																																																	1								2				1
																																																																																						uσ−
																																																																																						uσ−
																																																																																																							σ
																																																			1																		1		v		2			+∞								−																			σ
																																																																			−		1		v		2			+∞								−																	2					2		2
																																																																			−			(σ)																					2(1−ρ										2					2		2
		Подставляя, получим: fX (x) =																																																																e			2								∫ e																										)σ1 σ2												du				. Сделав новую
		Подставляя, получим: fX (x) =																																									2π 1 −ρ2 σ1σ2																							e			2								∫ e																										)σ1 σ2												du				. Сделав новую
																																											2π 1 −ρ2 σ1σ2																																	−∞
																																		uσ −								vσ1(ρσ2 + σ1)																																								σdu
																																		uσ −
замену												переменных																t =																						σ													,					dt =																													,							получаем																окончательно
замену												переменных																t =										σ σ							2		1		−ρ2														,					dt =							σ				σ		2				1 −ρ2												,							получаем																окончательно
																																								1					2																																1				2
													1					−		1	(v )2							1		+∞								−t2														1								−			1		(v )2												1								−				1		(x−a )2
													1					−			(v )2							1			∫ e							−t2														1								−					(v )2												1								−						(x−a )2										,													где											a=a1+a2 ,
fX (x) =																e				2		σ																		2 dt =																	e						2			σ				=													e					2					σ
fX (x) =												2πσ				e				2		σ						2π												2 dt =											2πσ						e						2			σ				=							2πσ						e					2					σ
																														−∞
																																	1
σ2 = σ2											+ σ2					+ 2ρσ σ										2	.
								1						2							1					2
	318.										Случайные																	величины																						Xi									распределены																																по										нормальному																								закону:
Xi					N(ai;σi ),																		ai					—							неслучайные																										постоянные																											(i = 1,2,…,n ).																														Найти									закон

распределения случайной величины X = ∑ciXi . i=1

319.Автомат заполняет банки кофе. Масса кофе и масса банки распределены нормально со средними 500 г, 50 г и средними квадратичными отклонениями 8 г, 6 г соответственно. Какова вероятность того, что масса готовой к продаже банки будет меньше 540 г?

320.Случайная величина X1 распределена равномерно на отрезке [1; 3], а слу-

чайная величина X2 распределена равномерно на отрезке [2; 6]. Найти плотность распределения случайной величины X = X1 + X2 .

321.Троллейбусы движутся с интервалом 8 мин, поезда метро — с интервалом 2 мин. Определить закон суммарного времени ожидания транспорта случайно выбранным пассажиром, пользующимся, чтобы добраться на работу, троллейбу- сом и метро (без пересадок в метро).

322.Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин, распределённых по закону Пуассона с параметрами λ1 и λ2 соответственно.

323.X и Y — независимые случайные величины, распределённые по равно- мерному закону на отрезке [0; 4]. Найти вероятность того, что квадратное уравне-

ние t2 + Xt +Y = 0 (относительно t ) имеет действительные корни.

РЕШЕНИЕ. Квадратное уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант неот- рицателен. Чтобы найти требуемую вероятность, воспользуемся формулой (3.102):

														4	x 2			4				4
P{X 2 − 4Y					X 2						1		1		4		1		x 2 dx =	1	x 3			1
															4
		0} = P	Y					=	∫∫			dxdy =		∫ ∫		dydx =		∫					=		.
		0} = P	Y					=				dxdy =				dydx =							=		.
		{		4			}				16		16				16		4	16 4	3	x=0		3
		{		4			}	y	x	2	16		16	0	0		16	0	4	16 4	3	x=0		3
								y	x	2	,			0	0			0
								0	x 4		4,
								0	y		4
324.	Доказать,		что			если			случайные				величины				χ2		и χ2	независимы, то
χ2 + χ2		= χ2															k1		k1
χ2 + χ2		= χ2		.
k1	k2	k1 +k2

Глава 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§4.1. НЕРАВЕНСТВА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

При доказательстве многих теорем теории вероятностей и математической статистики исполь- зуется ряд вспомогательных неравенств1.

НЕРАВЕНСТВО МАРКОВА. Если положительная случайная величина X имеет конечное математиче-

ское ожидание MX , то для любого ε > 0 справедливо неравенство
	P{X	ε} > 1 −	MX	.			(4.1)

			ε
НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЁВА. Если случайная величина X имеет конечное математическое ожидание
MX и дисперсию DX , то для любого ε > 0 справедливо неравенство
					DX
	P{\|X −MX \| ε} > 1 −					.	(4.2)
					ε2
НЕРАВЕНСТВО ЙЕНСЕНА.	Для любой случайной величины X и любой выпуклой [вогнутой] функции
g(x) справедливо неравенство
Mg(X) g(MX) [соответственно, Mg(X) g(MX)].							(4.3)
НЕРАВЕНСТВО КОШИ – БУНЯКОВСКОГО – ШВАРЦА. Для любых случайных величин X , Y справед-
ливо неравенство
	M \|XY\|	MX 2 MY 2 .					(4.4)
НЕРАВЕНСТВО ГЁЛЬДЕРА.	Для любых случайных величин X , Y при α (0; 1) справедливо неравенство
	M \|XY\| (M \|X\|1/α)α (M \|Y\|1/(1−α))1−α .						(4.5)

1 Впрочем, эти неравенства используются не только в теории вероятностей и математической статистике, но и повсеместно в математике. Читатели наверняка знакомы с большинством из приводимых неравенств из курса математического анализа.

НЕРАВЕНСТВО МИНКОВСКОГО. Для любых случайных величин X , Y при r	1 справедливо неравен-
ство
(M \|X +Y\|r )1/r (M \|X\|r )1/r + (M \|Y\|r )1/r .	(4.6)

325.Доказать неравенство Маркова (4.1).

326.Доказать неравенство Чебышёва (4.2).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проведём доказательство для дискретных случайных величин. В выражении

для

дисперсии

DX = ∑(xi −MX)2 pi отбросим из

суммы

те

слагаемые, для которых

(xi −MX)2> ε2 , т. е.

| xi −MX |

ε :

DX = ∑(xi −MX)2 pi

∑ (xi −MX)2 pi .

i: |xi −MX|>ε

∑ (xi −MX)2 pi > ∑ ε2pi = ε2

∑ pi .

i: |xi −MX|>ε

Но

∑

= P{|X−MX|>ε} , поэтому DX > ε2

∑

= ε2P{|X −MX|>ε}, откуда

i: |xi −MX|>ε

P{|X −MX|> ε}<

. При этом P{| X −MX | ε} = 1 −P{| X −MX |> ε} > 1 −

, что и требова-

лось доказать. В случае непрерывных случайных величин все суммы заменяются интегралами.

327. Доказать, что если случайная величина X имеет конечное математическое ожидание MX и дисперсию DX , то для любого ε > 0 справедливо неравенство

P{\|X −MX \|> ε}	DX	.
	2
	ε

328. ПРАВИЛО ТРЁХ СИГМ. С помощью неравенства Чебышёва оценить вероят- ность P{|X −MX|< 3σX } для произвольной случайной величины с конечным ма-

тематическим ожиданием и конечной дисперсией.

329.Для новогоднего праздника Петя должен сделать гирлянду из 400 электри- ческих лампочек. Он решает включить их параллельно. Лампочки оказались очень низкого качества — вероятность того, что какая-либо из них погаснет во время праздника, составляет 0,5. С помощью неравенства Чебышёва оценить вероятность того, что число горящих лампочек будет заключено между 100 и 300.

330.Инвестор покупает ценные бумаги за счёт кредита, взятого с процентной ставкой r под залог своей недвижимости. Доходность ценных бумаг X представ- ляет собой случайную величину с математическим ожиданием a > r и средним квадратичным отклонением σ. Оценить вероятность того, что инвестор не сможет вернуть кредит: а) не имея никаких сведений о характере закона распределения случайной величины X , зная только, что она положительна; б) предполагая слу- чайную величину X распределённой по нормальному закону.

331.Сумма всех вкладов в некотором банке составляет 2 000 000 ден. ед., а веро- ятность того, что случайно взятый вклад не превысит 10 000 ден. ед., равна 0,8. Оценить число вкладчиков банка.

РЕШЕНИЕ. Пусть n — число вкладчиков, а случайная величина X описывает размер случайно

выбранного вклада. Тогда средний размер вклада MX =						2 000 000	ден. ед., и по неравенству Мар-
выбранного вклада. Тогда средний размер вклада MX =						n	ден. ед., и по неравенству Мар-
			MX		200	n
кова P{X		10 000} 1 −	MX	или P{X 10 000} 1 −	200	. Но по условию P{X 10 000} = 0, 8 , от-
кова P{X		10 000} 1 −		или P{X 10 000} 1 −	n	. Но по условию P{X 10 000} = 0, 8 , от-
		10 000			n
куда 1 −	200	0, 8 и, значит, n		1 000 человек.
куда 1 −	n	0, 8 и, значит, n		1 000 человек.
	n

332.Средние ежедневные расходы на покупку канцелярских принадлежностей для офиса банка составляют 1 000 руб., а среднее квадратичное отклонение этой случайной величины не превышает 200 руб. Оценить вероятность того, что расхо- ды на канцелярские принадлежности в любой наугад выбранный день не превы- сят 2 000 руб, используя: а) неравенство Маркова; б) неравенство Чебышёва.

333.По статистическим данным в среднем 87% новорождённых доживают до 50 лет (т. е. вероятность дожития до 50 лет равна 0,87). С помощью неравенства Че- бышёва оценить вероятность того, что из 1 000 новорождённых доля (относитель- ная частота) доживших до 50 лет будет отличаться от вероятности не более, чем на 0,04 (по модулю).

334.Доказать неравенство Йенсена (4.3).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как функция	g(x) выпукла, то для любого x0 найдётся такое
λ = λ(x0 ), что для всех x	g(x) g(x0 ) + (x −x0 )λ(x0 ). Подставляем x0 = Mx :

g(x) g(Mx) + (x − Mx)λ(Mx), откуда, учитывая, что величины g(Mx) и λ(Mx) не являются случай-

ными, а M(x − Mx) = 0 , получаем Mg(x) g(Mx) , что и требовалось. Для вогнутых функций дока-

зательство аналогично.

335. Пусть X — положительная случайная величина с конечным математиче-

ским ожиданием. Доказать, что	1	M	1	.
	MX
			X

336.Доказать неравенство Коши – Буняковского – Шварца (4.4).

337.Доказать неравенство Гёльдера (4.5).

338.Доказать неравенство Минковского (4.6).

339. Доказать, что для любых случайных величин X , Y при α 1 справедливо неравенство M |X +Y|α M |X |α +M |Y|α.

§4.2. ВИДЫ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Последовательность случайных величин X1,X2,…,Xn,… сходится почти наверное к случайной величине X , если

P{nlim→∞Xn = X} = 1 .

п. н.

Сходимость почти наверное обозначается так: Xn →X .

Последовательность случайных величин X1,X2,…,Xn,… сходится по вероятности к случайной ве-

личине X , если для любого ε > 0

lim P{| Xn −X | ε} = 1 . n→∞

Сходимость по вероятности обозначается так: X P X n → .

Последовательность случайных величин X1,X2,…,Xn,… сходится по распределению (или слабо схо-

дится) к случайной величине X , если во всех точках x , в которых функция распределения FX (x)

непрерывна,

lim FXn (x) = FX (x). n→∞

Сходимость по распределению обозначается так: X X или X D X . n n →

Примером сходимости по распределению является формула Пуассона (2.12). Различные виды сходимости обладают следующими свойствами:

P	P	P	P	(4.7)
если Xn →X,Yn →Y , то Xn +Yn →X +Y,Xn Yn →X Y ;

P		P	;
если Xn →X	и ϕ(x) — непрерывная функция, то ϕ(Xn ) →ϕ(X)		;
P	и ϕ(x) непрерывна в точке x	P
если Xn →x0	и ϕ(x) непрерывна в точке x	0 , то ϕ(Xn ) →ϕ(x0);

если Xn →x = const,Yn Y , то Xn +Yn x +Y,Xn Yn x Y ;

из сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности:

п. н. P

если Xn →X , то Xn →X , но не наоборот!;

из сходимости по вероятности следует сходимость по распределению:

если Xn →X , то Xn X ;

из сходимости по распределению к константе следует сходимость по вероятности:

(4.8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

P	(4.13)
если Xn x = const , то Xn →x ;

Отметим также, что из сходимости по вероятности не следует сходимость математических ожиданий, дисперсий и других характеристик.

340. Доказать свойства (4.7) – (4.13).

341. Привести пример такой последовательности случайных величин Xn (n = 1,2,…,n,…), чтобы она сходилась по вероятности к некоторой случайной

величине X , но при этом lim MXn ≠ MX . n→∞

342. Доказать, что из сходимости почти наверное следует сходимость по веро- ятности, а обратное утверждение неверно.

§4.3. ТЕОРЕМЫ ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Под законом больших чисел понимается обобщённое название группы теорем, утверждающих, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины сходятся (в каком-то из смыслов, рассмотренных в предыдущем параграфе) к некоторым постоянным. Наиболее об- щей из этих теорем является теорема Чебышёва, также называемая просто законом больших чисел:

Если дисперсии некоррелированных случайных величин X1,X2,…,Xn ограничены сверху числом B , то для произвольного сколь угодно малого ε > 0 справедливо неравенство

∑Xi

∑MXi

i=1

−

> 1 −

(4.14)

и предельное равенство

nε

∑Xi

∑MXi

i=1

= 1 ,

(4.15)

lim

−

n→∞

∑ Xi

∑ MXi

т. е.

i=1

→

Законы больших чисел утверждают, что среднее арифметическое случайных величин при воз- растании их числа обладает свойством статистической устойчивости, т. е. сходится по вероятно- сти к неслучайной величине — среднему арифметическому математических ожиданий этих слу- чайных величин. Практическое применение законов больших чисел состоит в том, что среднее арифметическое, вычисленное по достаточно большому числу результатов измерений какой- либо величины, будет сколь угодно близко к измеряемой величине.

Статистическая устойчивость относительной частоты появления успеха в серии независимых испытаний доказывается в теореме Бернулли:

Если вероятность успеха в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна p , то для произ- вольного сколь угодно малого ε > 0 справедливо предельное равенство

nlim→∞P{	mn − p	ε} = 1 ,	(4.16)

где m — число успехов в серии из n испытаний.

Если для некоторой последовательности случайных величин вместо сходимости по вероятно-

	n				n
	∑	X			∑ MX
	∑	X	i		∑ MX
			i	п. н.	i=1	i
i=1				п. н.	i=1
сти имеет место сходимость почти наверное				→			, то говорят, что такая по-
сти имеет место сходимость почти наверное				→			, то говорят, что такая по-
	n				n
	n				n

следовательность удовлетворяет усиленному закону больших чисел.

343. Доказать теорему Чебышёва (4.14) – (4.15).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, если

X1,X2,…,Xn

— случайные величины, то величина

∑ Xi

x =

i=1

также является случайной, причём по свойствам математического ожидания и диспер-

∑ MXi

∑ DXi

сии Mx =

i=1

, Dx =

. Применим к случайной величине x неравенство Чебышёва:

∑ Xi ∑ MXi

∑ DXi

i=1

−

ε = P{| x − Mx |

ε} > 1 −

= 1 −

∑ DXi

∑ B

Учитывая, что все DX

< B ,

получим, что 1 −

i=1

> 1 −

i=1

= 1 −

, т. е. доказана спра-

ведливость неравенства (4.14). Переходя в этом неравенстве к пределу при n → ∞ , получаем ра- венство (4.15).

344. Последовательность некоррелированных случайных величин X1,X2,X3,… определяется по следующему правилу: случайная величина Xi принимает значе-

ния − n, 0, n с вероятностями n1 , 1 − n2 , n1 соответственно. Доказать, что для этой

последовательности выполняются условия теоремы Чебышёва.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Условия теоремы Чебышёва выполнены, поскольку MXi = 0, DXi = 2 .

345. Доказать, что для последовательности некоррелированных случайных величин X1,X2,X3,…, определяемых рядом распределения

Xi	−a		a
Xi	−a		a
				,
p		n+1	n
p		2n+1	2n+1
		2n+1	2n+1

выполняется усиленный закон больших чисел.

346. Доказать, что для последовательности некоррелированных случайных ве- личин X1,X2,X3,…, таких, что MXi = A, DXi B (i = 1,2,3,…), выполняется уси- ленный закон больших чисел.

347. Для определения среднего дохода налогоплательщиков города налоговой инспекцией была проведена проверка 250 жителей этого города, отобранных слу- чайным образом. Оценить вероятность того, что средний годовой доход жителей

	250
		∑ Xi
города отклонится от среднего арифметического	x =	i=1	годовых доходов вы-

	250

бранных 250 жителей не более, чем на 1 000 руб., если известно, что среднее квад- ратичное отклонение годового дохода не превыщает 2 500 руб.

РЕШЕНИЕ.

Согласно

неравенству

(4.14),

которым можно

пользоваться, поскольку все

∑ Xi

∑ MXi

2 500 2 500

i=1

(2 500)

, P

−

1 000

> 1

−

= 1

−

= 0, 975

250 1 000 1 000

1000

348. Доказать теорему Бернулли (4.16).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим альтернативные случайные величины X1,X2,…,Xn , определяе-

			не произошёл успехвi-м испытании (свероятностьюp),
		0,	не произошёл успехвi-м испытании (свероятностьюp),

мые по следующему правилу: X
мые по следующему правилу: X	i	=	произошёл успехвi-м испытании (свероятностью(1−p)).
	i	1,	произошёл успехвi-м испытании (свероятностью(1−p)).

Тогда MXi = p, DXi = p(1 − p), m = ∑ Xi

. Поскольку 0

1 , дисперсии случайных величин

i=1

Xi ограничены сверху единицей (так какDXi

= p(1 − p)

1 ),

и можно воспользоваться теоремой

Чебышёва (4.15), согласно которой

∑ Xi

∑ MXi

lim P {

ε} = lim P {

ε} = lim

i=1

n − p

− n

−

= 1 ,

n→∞

что и требовалось доказать.

§4.4. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

Законы больших чисел устанавливают факт приближения среднего значения большого числа случайных величин к некоторым постоянным в виде сходимости последовательностей случайных величин по вероятности и почти наверное. Но этим не ограничиваются закономерности, возни- кающие в результате суммарного действия случайных величин. Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, утверждающих, что достаточно большая сумма сравнительно малых случайных величин распределена приближённо по нормальному закону.

Рассмотрим последовательность X1,X2,…,Xn независимых случайных величин, и пусть

n MXi = ai , DXi = σi2 , bn = ∑σi2 .

i=1

Говорят, что для этой последовательности случайных величин выполняется условие Линдеберга, если

	n	∫ (xi −ai )2 fi(xi )dxi
	∑	∫ (xi −ai )2 fi(xi )dxi
	i=1\|x	−a	\|>τb
lim	i	i	n	= 0 .	(4.17)
lim			n	= 0 .	(4.17)
n→∞			n
n→∞			∑σi2

i=1

Приведём строгую формулировку теоремы Ляпунова, одной из теорем, носящих название

«центральная предельная теорема».

Если независимые случайные величины X1,X2,…,Xn удовлетворяют условию Линдеберга (4.17), то

случайная величина

∑(Xi −MXi )

Zn =	i=1
		n
		∑DXi
		i=1
сходится по распределению к стандартной нормальной случайной величине N(0; 1):
Z N(0; 1).			(4.18)
В практических приложениях важно следующее следствие из теоремы Ляпунова:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке pdf математика

#
29.03.201550.42 Кб57Схема исследования функции.pdf
#
29.03.2015502.38 Кб68Таблица значений функции Гаусса.pdf
#
29.03.201530.49 Кб76Таблица интегралов.pdf
#
29.03.201551.82 Кб69Таблица производных.pdf
#
29.03.201539.37 Кб62Таблица разложений функций в ряды.pdf
#
29.03.20151.21 Mб145Теория вероятностей в примерах и задачах.pdf
#
29.03.201549.38 Кб190Тригонометрические таблицы.pdf
#
29.03.201546.54 Кб68Тригонометрические формулы.pdf
#
29.03.2015107.58 Кб61Частное решение ДУ.pdf
#
29.03.201546.96 Кб63Школьная математика.pdf